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引言 1

第1章 复数与复变函数 3

1.1 复数 3

1.1.1 复数的概念 3

1.1.2 复数的代数运算 3

1.1.3 复数的表示法 4

1.1.4 共轭复数与复数的模 5

1.1.5 复数的n次方根 10

1.1.6 复球面（无穷远点） 11

习题1.1 13

1.2 复平面上的点集 14

1.2.1 平面点集的初步概念 14

1.2.2 区域与Jordan曲线 15

习题1.2 17

1.3 复变函数 18

1.3.1 复变函数的概念 18

1.3.2 复变函数的极限与连续性 20

习题1.3 24

小结 24

总习题1 25

第2章 解析函数 26

2.1 解析函数的概念 26

2.1.1 复变函数的导数与微分 26

2.1.2 解析函数的概念与性质 28

习题2.1 29

2.2 函数解析的充要条件 30

习题2.2 33

2.3 初等函数 34

2.3.1 指数函数、三角函数和双曲函数 34

2.3.2 对数函数 36

2.3.3 幂函数 37

2.3.4 反三角函数与反双曲函数 38

习题2.3 39

小结 39

总习题2 39

第3章 复变函数的积分 41

3.1 复变函数积分的概念及性质 41

3.1.1 复变函数积分的概念 41

3.1.2 复变函数积分存在的条件及计算方法 42

3.1.3 复变函数积分的基本性质 44

习题3.1 46

3.2 柯西（Cauchy）积分定理及应用 46

3.2.1 柯西积分定理 47

3.2.2 解析函数的原函数与不定积分 47

3.2.3 闭路变形原理与复合闭路定理 49

习题3.2 52

3.3 柯西积分公式与解析函数的高阶导数 52

3.3.1 柯西积分公式与均值定理 52

3.3.2 解析函数的无穷可微性与高阶导数 54

习题3.3 56

3.4 解析函数与调和函数的关系 56

习题3.4 59

小结 59

总习题3 60

第4章 复级数 62

4.1 复数项级数 62

4.1.1 复数列的极限 62

4.1.2 复数项级数的概念与审敛性 62

习题4.1 64

4.2 幂级数 64

4.2.1 复变函数项级数的概念 64

4.2.2 幂级数的概念与收敛性 65

4.2.3 幂级数的运算与性质 68

习题4.2 70

4.3 泰勒（Taylor）级数 70

4.3.1 解析函数的泰勒展开定理 71

4.3.2 函数的泰勒级数展开法 72

习题4.3 75

4.4 洛朗（Laurent）级数 75

4.4.1 双边幂级数 75

4.4.2 洛朗级数展开定理 76

4.4.3 函数的洛朗级数展开法 79

习题4.4 81

小结 81

总习题4 81

第5章 留数及其应用 83

5.1 函数的孤立奇点 83

5.1.1 孤立奇点 83

5.1.2 函数的零点与极点的关系 87

5.1.3 函数在无穷远点的性态 89

习题5.1 91

5.2 留数 91

5.2.1 留数的定义和计算 91

5.2.2 留数定理 95

5.2.3 函数在无穷远点的留数 96

习题5.2 98

5.3 留数在定积分计算中的应用 98

5.3.1 形如？R（cosθ，sinθ）dθ的积分 99

5.3.2 形如？R（x）dx的积分 100

5.3.3 形如？R（x）eiax dx（a＞0）的积分 101

5.3.4 被积函数在实轴上有孤立奇点的积分 102

习题5.3 104

5.4 辐角原理及其应用 104

5.4.1 对数留数 104

5.4.2 辐角原理 106

5.4.3 儒歇定理 108

习题5.4 108

小结 109

总习题5 110

第6章 保形映射 111

6.1 保形映射的概念 111

6.1.1 导数的几何意义 111

6.1.2 保形映射的概念 113

习题6.1 114

6.2 分式线性映射 114

6.2.1 分式线性映射的三种特殊形式 115

6.2.2 分式线性映射的性质 116

6.2.3 唯一决定分式线性映射的条件 120

6.2.4 两个典型区域的分式线性映射 120

习题6.2 123

6.3 几个初等函数所构成的映射 123

6.3.1 幂函数与根式函数 123

6.3.2 指数函数与对数函数 125

6.3.3 复合映射举例 126

习题6.3 127

小结 127

总习题6 128

第7章 傅里叶变换 130

7.1 傅里叶（Fourier）积分定理 130

7.1.1 积分变换的定义 130

7.1.2 傅里叶积分定理 131

习题7.1 135

7.2 傅里叶变换及逆变换 135

7.2.1 傅里叶变换及逆变换的定义 135

7.2.2 傅里叶变换举例 136

习题7.2 136

7.3 广义傅里叶变换 137

7.3.1 狄克拉δ-函数的性质 137

7.3.2 广义傅里叶变换 140

习题7.3 142

7.4 傅里叶变换的性质 142

7.4.1 傅里叶变换的基本性质 142

7.4.2 傅里叶变换的卷积性质 144

习题7.4 145

7.5 傅里叶变换的应用 145

7.5.1 傅里叶变换在求常系数常微分方程的应用 146

7.5.2 傅里叶变换对某些积分方程的应用 146

习题7.5 147

小结 147

总习题7 149

第8章 拉普拉斯变换 150

8.1 拉普拉斯（Laplace）变换的定义及存在性定理 150

8.1.1 拉普拉斯变换的定义 150

8.1.2 拉普拉斯变换的存在性定理 151

习题8.1 152

8.2 拉普拉斯变换的性质 153

8.2.1 拉普拉斯变换的基本性质 153

8.2.2 初值及终值定理 156

习题8.2 157

8.3 卷积性质及卷积定理 157

8.3.1 卷积性质 157

8.3.2 卷积定理 158

习题8.3 159

8.4 拉普拉斯逆变换 159

8.4.1 反演公式 159

8.4.2 求拉普拉斯逆变换 161

习题8.4 163

8.5 拉普拉斯变换的应用 163

8.5.1 利用拉普拉斯变换求常微分方程和积分方程的解 163

8.5.2 利用拉普拉斯变换求常微分方程组的解 165

习题8.5 167

小结 167

总习题8 168

部分习题参考答案 170

参考文献 182