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第一章 行列式 1

第一节 n阶行列式的定义 1

一、基本内容提要 1

1.排列及其逆序数 1

2.有关排列的主要结论 1

3.n阶行列式的定义 1

二、重点、难点与疑点问答 2

三、典型例题 3

1.有关排列与逆序的问题 3

2.有关行列式定义的问题 4

3.按定义计算行列式 5

第二节 行列式的计算 7

一、基本内容提要 7

1.行列式的性质 7

2.余子式与代数余子式 7

3.按行（列）展开公式 7

4.一些特殊行列式的值 8

5.按κ行（列）展开定理 9

二、重点、难点与疑点问答 9

三、典型例题 11

1.应用行列式的性质 11

2.化为上（下）三角形行列式 13

3.按行（列）展开公式的应用 16

4.递推公式法与数学归纳法 19

5.利用范德蒙德行列式 23

6.分块行列式 25

单元复习题 27

第二章 矩阵及其运算 31

第一节 矩阵及其运算 31

一、基本内容提要 31

1.矩阵的概念 31

2.一些特殊的矩阵 31

3.矩阵的运算及性质 32

4.特殊矩阵的重要结果 33

二、重点、难点与疑点问答 33

三、典型例题 37

1.矩阵的基本运算 37

2.求方阵的幂 38

3.对称矩阵和反对称矩阵 39

第二节 逆矩阵 41

一、基本内容提要 41

1.逆矩阵的概念 41

2.矩阵可逆的充分必要条件 41

3.逆矩阵的性质 41

4.利用公式求逆矩阵 41

5.方阵的行列式 41

6.有关伴随矩阵的结果 42

二、重点、难点与疑点问答 42

三、典型例题 43

1.利用定义与公式求逆矩阵 43

2.有关矩阵可逆性的证明 45

3.方阵的多项式问题 47

4.有关伴随矩阵的性质 48

5.方阵行列式的计算 49

6.解矩阵方程 50

第三节 克拉默（Cramer）法则 53

一、基本内容提要 53

1.克拉默法则 53

2.等价说法 53

3.齐次方程组的情形 53

二、重点、难点与疑点问答 54

三、典型例题 54

第四节 矩阵分块法 59

一、基本内容提要 59

1.分块矩阵的概念 59

2.常用的分块方法 59

3.分块矩阵的运算及性质 59

二、重点、难点与疑点问答 60

三、典型例题 61

单元复习题 66

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 70

第一节 矩阵的初等变换与初等矩阵 70

一、基本内容提要 70

1.矩阵的初等变换与初等矩阵 70

2.等价矩阵与等价标准形 71

3.初等矩阵与初等变换的性质 71

4.利用初等变换求逆矩阵 72

5.利用初等变换解矩阵方程 72

二、重点、难点与疑点问答 72

三、典型例题 74

第二节 矩阵的秩 80

一、基本内容提要 80

1.矩阵的秩的概念 80

2.初等变换与矩阵的秩 80

3.有关矩阵秩的公式 80

4.利用初等变换求矩阵的秩 80

二、重点、难点与疑点问答 81

三、典型例题 82

1.计算矩阵的秩 82

2.关于非零子式 84

3.有关矩阵秩的证明题 85

第三节 线性方程组的解 90

一、基本内容提要 90

1.n元线性方程组 90

2.齐次线性方程组有非零解的条件 90

3.非齐次线性方程组有解的条件 90

4.利用初等变换解线性方程组 90

二、重点、难点与疑点问答 91

三、典型例题 92

单元复习题 98

第四章 向量组的线性相关性 102

第一节 向量组的线性相关性 102

一、基本内容提要 102

1.n维向量的概念 102

2.向量的线性运算 102

3.向量组的线性相关性概念 103

4.线性相关性的理论 103

5.一些有用的结果 104

二、重点、难点与疑点问答 104

三、典型例题 106

1.线性相关的基本概念 106

2.判断向量组的线性相关性 109

3.有关线性表示的问题 115

第二节 向量组的秩 119

一、基本内容提要 119

1.向量组的等价 119

2.极大线性无关组的概念 119

3.向量组的秩 120

4.向量组的秩与矩阵的秩的关系 120

5.向量组的秩的求法 120

二、重点、难点与疑点问答 120

三、典型例题 122

1.求向量组的秩与极大无关组 122

2.求相应的参数 124

3.有关向量组秩的证明题 126

第三节 线性方程组的解的结构 130

一、基本内容提要 130

1.齐次线性方程组解的结构与基础解系 130

2.非齐次线性方程组解的结构 130

3.n元齐次线性方程组Am×nx=0有非零解的条件 130

4.非齐次线性方程组Am×nx=b有解的充分必要条件 131

二、重点、难点与疑点问答 131

三、典型例题 133

1.求解线性方程组（用基础解系表示） 133

2.同解方程与公共解问题 137

3.基础解系与解的结构 142

4.解的理论的应用 147

第四节 向量空间 150

一、基本内容提要 150

1.n维向量空间的概念 150

2.维数与基 150

3.基变换与坐标变换 150

二、重点、难点与疑点问答 150

三、典型例题 152

单元复习题 156

第五章 相似矩阵及二次型 160

第一节 向量的内积 160

一、基本内容提要 160

1.内积的概念 160

2.长度与夹角 161

3.标准（规范）正交基 161

4.施密特正交化方法 161

5.正交矩阵与正交变换 162

二、重点、难点与疑点问答 162

三、典型例题 163

第二节 方阵的特征值与特征向量 167

一、基本内容提要 167

1.特征值与特征向量 167

2.求特征值与特征向量的步骤 167

3.特征值与特征向量的性质 167

二、重点、难点与疑点问答 168

三、典型例题 169

1.求给定矩阵的特征值与特征向量 169

2.伴随矩阵、正交矩阵等的特征值 175

3.有关特征值的和与积 176

4.已知特征值、特征向量及其性质的问题 178

第三节 相似矩阵与矩阵的对角化 180

一、基本内容提要 180

1.相似矩阵 180

2.相似矩阵的性质 180

3.矩阵的相似对角化 180

二、重点、难点与疑点问答 181

三、典型例题 182

1.关于相似矩阵的概念 182

2.方阵的对角化问题 187

3.求方阵的高次幂 194

第四节 实对称矩阵的相似对角化 199

一、基本内容提要 199

1.实对称矩阵的对角化 199

2.正交矩阵Q的求法 199

二、重点、难点与疑点问答 199

三、典型例题 200

第五节 二次型及其标准形 207

一、基本内容提要 207

1.二次型及其矩阵表示 207

2.可逆线性变换 207

3.矩阵的合同 208

4.（实）二次型的标准形与规范形 208

5.化实二次型为标准形的方法 208

二、重点、难点与疑点问答 209

三、典型例题 211

1.二次型及其矩阵表示 211

2.正交变换法 212

3.由标准形求参数及正交变换 218

4.有关二次型的秩及其矩阵的特征值问题 221

5.配方法 223

第六节 正定二次型 227

一、基本内容提要 227

1.正定二次型 227

2.（顺序）主子式 227

3.实二次型（实对称矩阵）正（负）定的充分必要条件 227

二、重点、难点与疑点问答 228

三、典型例题 228

1.确定二次型的正定性 228

2.判定定理及应用 231

单元复习题 236

第六章 线性空间与线性变换 241

第一节 线性空间 241

一、基本内容提要 241

1.线性空间的概念 241

2.简单性质 242

3.线性子空间 242

4.维数、基、坐标 242

5.基变换和坐标变换 242

6.线性空间的同构 243

7.常见的线性空间 243

二、重点、难点与疑点问答 244

三、典型例题 244

1.判定集合是否构成线性空间 244

2.关于子空间的判定与证明 246

3.关于线性空间的维数、基与坐标 248

4.求不同基之间的过渡矩阵及坐标变换 250

第二节 线性变换 254

一、基本内容提要 254

1.线性变换的概念 254

2.线性变换的基本性质 254

3.线性变换的矩阵表示 254

4.线性变换在不同基下的矩阵互相相似 255

二、重点、难点与疑点问答 255

三、典型例题 255

1.判定变换是否为线性变换 255

2.求线性变换在某组基下的矩阵 257

3.有关线性变换的性质、值域和核 259

单元复习题 262

部分参考答案与提示 265

第一章单元复习题 265

第二章单元复习题 267

第三章单元复习题 268

第四章单元复习题 270

第五章单元复习题 271

第六章单元复习题 274