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第1章 绪论 1

1.0 引言 1

1.0.1 数值分析的意义 1

1.0.2 数值分析的内容 3

1.1 误差 4

1.1.1 误差的来源 4

1.1.2 绝对误差和相对误差 4

1.1.3 有效数字 5

1.1.4 误差的传播 6

1.2 算法的稳定性 8

习题1 11

第2章 线性方程组的直接解法 13

2.0 概述 13

2.1 Gauss消元法 15

2.1.1 顺序消元法 15

2.1.2 列选主元Gauss消元法 18

2.1.3 按比例主元消元法 21

2.2 矩阵的三角分解与应用 22

2.2.1 矩阵的LU分解 22

2.2.2 对称正定矩阵的Cholesky分解法（平方根法） 25

2.2.3 解三对角线性方程组的“追赶”法 27

2.3 直接方法的误差分析 28

2.3.1 向量范数和矩阵范数 28

2.3.2 矩阵的条件数和误差分析 31

2.4 综述 35

习题2 36

第3章 线性方程组的迭代解法 39

3.0 概述 39

3.1 迭代法的一般理论 41

3.1.1 迭代公式的构造 41

3.1.2 迭代法的收敛性和误差估计 42

3.2 经典迭代法介绍 43

3.2.1 雅可比迭代法 43

3.2.2 高斯-赛德尔迭代法 45

3.2.3 逐次超松弛迭代法 47

3.2.4 经典迭代法的收敛条件 49

3.3 现代迭代法介绍 54

3.3.1 最速下降法 54

3.3.2 共轭梯度法 55

3.4 综述 57

习题3 58

第4章 函数插值 61

4.0 引言 61

4.1 Lagrange插值 63

4.1.1 Lagrange插值介绍 64

4.1.2 余项误差 67

4.2 Newton插值 70

4.2.1 差商的定义与性质 70

4.2.2 Newton插值介绍 71

4.2.3 差分及等距节点Newton插值公式 74

4.3 Hermite插值 76

4.4 分段插值与样条插值 81

4.4.1 多项式插值的缺陷与分段插值 81

4.4.2 三次样条函数插值 83

4.5 综述 87

习题4 87

第5章 最佳逼近 90

5.0 引言 90

5.1 离散最小二乘逼近 91

5.1.1 最小二乘线性拟合 91

5.1.2 最小二乘多项式拟合 94

5.1.3 曲线拟合 96

5.2 最佳平方逼近 97

5.3 综述 103

习题5 103

第6章 数值积分与数值微分 106

6.0 引言 106

6.1 牛顿-科茨求积分式 107

6.1.1 数值积分的基本思想 107

6.1.2 插值型求积法 109

6.1.3 牛顿-科茨求积公式介绍 110

6.1.4 代数精度 112

6.1.5 牛顿-科茨求积公式的截断误差及稳定性 113

6.2 复化求积公式 115

6.2.1 复化梯形求积公式 115

6.2.2 复化辛普森求积公式 117

6.3 龙贝格求积法 118

6.3.1 外推方法 118

6.3.2 龙贝格求积法介绍 119

6.4 高斯求积公式 121

6.4.1 高斯求积公式的基本理论 121

6.4.2 常用高斯求积公式 123

6.4.3 高斯求积公式的余项与稳定性 125

6.5 数值微分 126

6.5.1 插值型求导公式 127

6.5.2 数值微分的外推算法 130

6.6 综述 131

习题6 132

第7章 非线性方程和方程组的数值解法 135

7.0 引言 135

7.1 方程求根的二分法 136

7.2 一元方程的不动点迭代法 137

7.2.1 不动点迭代法及其收敛性 138

7.2.2 局部收敛性和加速收敛法 141

7.3 一元方程的常用迭代法 144

7.3.1 牛顿迭代法 144

7.3.2 割线法与抛物线法 146

7.4 非线性方程组的数值解法 148

7.4.1 非线性方程组的不动点迭代法 148

7.4.2 非线性方程组的牛顿法 151

7.4.3 非线性方程组的拟牛顿法 153

7.5 综述 155

习题7 155

第8章 矩阵特征值问题的数值解法 158

8.0 引言 158

8.1 矩阵特征值问题的有关理论 159

8.2 乘幂法和反幂法 160

8.2.1 乘幂法和加速方法 160

8.2.2 反幂法和原点位移 163

8.3 QR算法 165

8.3.1 Householder变换和Givens变换 165

8.3.2 矩阵正交相似于上Hessenberg阵 168

8.3.3 QR算法及其收敛性 169

8.3.4 带原点位移的QR算法 173

8.4 Jacobi方法 175

8.5 综述 179

习题8 180

第9章 常微分方程初值问题的数值解法 182

9.0 引言 182

9.1 欧拉方法 183

9.1.1 欧拉方法及有关的方法 183

9.1.2 局部误差和方法的阶 186

9.2 龙格-库塔方法 187

9.2.1 龙格-库塔方法的基本思想 187

9.2.2 几类显式龙格-库塔方法 188

9.3 单步法的收敛性和稳定性 191

9.3.1 单步法的收敛性 191

9.3.2 单步法的稳定性 192

9.4 一阶微分方程组的数值解法 194

9.4.1 一阶微分方程组和高阶方程 194

9.4.2 刚性方程组 195

9.5 综述 197

习题9 197

实验 200

实验1 线性方程组求解 200

实验2 函数插值 204

实验3 函数拟合 208

实验4 数值积分 212

实验5 非线性方程的数值解法 216

实验6 矩阵特征值问题的解法 220

实验7 常微分方程数值解法 225

习题答案 229

参考文献 235