2004数学复习指南 理工类PDF电子书下载

篇前篇 高数解题的四种思维定式 1

第一篇 高等数学 7

第一章 函数·极限·连续 7

一、函数 7

1．函数的定义 7

2．函数的定义域的求法 8

3．函数的基本性质 9

4．分段函数 14

5．初等函数 14

二、函数的极限及其连续性 18

1．概念 18

2．重要定理与公式 20

三、极限的求法 28

1．未定式的定值法 28

2．类未定式 32

3．数列的极限 33

4．极限式中常数的确定（重点） 38

5．杂例 41

习题一 45

第二章 导数与微分 48

一、定义·定理·公式 48

1．导数与微分的定义 48

2．定理 50

3．导数与微分的运算法则 50

4．基本公式 51

5．弧微分 51

二、各类函数导数的求法 52

1．复合函数微分法 52

2．参数方程微分法 53

3．隐函数微分法 54

4．幂指函数微分法 55

5．函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法 56

6．分段函数微分法 56

三、高阶导数 57

1．定义与基本公式 57

2．高阶导数的求法 58

习题二 61

第三章 不定积分 64

一、不定积分的概念与性质 64

1．不定积分的概念 64

2．基本性质 64

3．基本公式 65

二、基本积分法 66

1．第一换元积分法（也称凑微分法） 66

2．第二换元积分法 70

3．分部积分法 74

三、各类函数积分的技巧及分析 80

1．有理函数的积分 80

2．简单无理函数的积分 81

3．三角有理式的积分 83

4．含有反三角函数的不定积分 86

5．抽象函数的不定积分 87

6．分段函数的不定积分 88

习题三 89

第四章 定积分及广义积分 93

一、定积分性质及有关定理与公式 93

1．基本性质 93

2．定理与公式 96

二、定积分的计算法 100

1．牛顿—莱布尼兹公式 100

2．定积分的换元积分法 100

3．定积分的分部积分法 102

三、特殊形式的定积分计算 103

1．分段函数的积分 103

2．被积函数带有绝对值符号的积分 105

3．被积函数中含有“变上限积分”的积分 106

4．对称区间上的积分 108

5．被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分 109

6．由三角有理式与其它初等函数通过四则或复合而成的函数的积分 110

7．杂例 112

四、定积分有关命题证明的技巧 114

1．定积分等式的证明 114

2．定积分不等式的证明 122

习题四（1） 127

五、广义积分 130

1．基本概念及判敛法则 130

2．广义积分的计算及判敛 131

习题四（2） 135

第五章 中值定理的证明技巧 137

一、连续函数在闭区间上的性质 137

1．基本定理 137

2．有关闭区间上连续函数的命题的证法 137

习题五（1） 139

二、微分中值定理及泰勒公式 140

1．基本定理 140

2．泰勒公式 141

三、证题技巧分析 144

1．欲证结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=0的命题证法 144

2．欲证结论：至少？一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=k(≠0)及其代数式的证法 146

3．欲证结论：在(a,b)内至少？ξ,η,ξ≠η满足某种关系式的命题的证法 151

习题五（2） 151

第六章 常微分方程 153

一、基本概念 153

1．微分方程 153

2．微分方程的阶 153

3．微分方程的解 153

二、一阶微分方程 154

1．各类一阶方程解法一览表 154

2．解题技巧及分析 155

三、可降阶的高阶方程 163

1．可降阶的高阶方程解法一览表 163

2．解题技巧及分析 163

四、高阶线性微分方程 164

1．二阶线性微分方程解的结构 164

2．二阶常系数线性微分方程 166

3．n阶常系数线性方程 167

4．欧拉方程 172

五、微分方程的应用 173

1．在几何中的应用 173

2．在力学中的应用 175

习题六 176

第七章 一元微积分的应用 179

一、导数的应用 179

1．利用导数判别函数的单调增减性 179

2．利用导数研究函数的极值与最值 180

3．关于方程根的研究 186

4．函数作图 190

二、定积分的应用 193

1．微元法及其应用 193

2．平面图形的面积 195

3．立体体积 197

4．平面曲线的弧长 198

5．旋转体的侧面积 199

6．变力作功、引力、液体的静压力 199

习题七 201

第八章 无穷级数 204

一、基本概念及其性质 204

二、数项级数判敛法 205

1．正项级数∞∑n=1 un(un≥0)敛散性的判别法 205

2．交错级数∞∑n=1(-1)n-1un(un＞0)的判敛法 210

3．任意项级数 211

4．杂例 213

三、幂级数 217

1．函数项级数的概念 217

2．幂级数 219

四、无穷级数求和 225

1．幂级数求和函数 225

2．数项级数求和 229

五、傅立叶级数 234

1．概念、定理 234

2．周期与非周期函数的傅立叶级数 236

习题八 240

第九章 矢量代数与空间解析几何 243

一、矢量的概念及其性质 243

1．概念及其运算 243

2．矢量之间的关系 244

二、平面与直线 248

三、投影方程 253

四、曲面方程 254

柱面与旋转面方程 254

习题九 258

第十章 多元函数微分学 260

一、基本概念及定理与公式 260

1．二元函数的定义 260

2．二元函数的极限及连续性 261

3．偏导数、全导数及全微分 262

4．基本定理 263

二、多元函数微分法 265

1．简单显函数u=f(x,y,z)的微分法 265

2．复合函数微分法 266

3．隐函数微分法 269

三、多元函数微分学在几何上的应用 272

1．空间曲线在某点处的切线和法平面方程 272

2．空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程 273

四、多元函数的极值 275

1．概念、定理与公式 275

2．条件极值与无条件极值 275

习题十 281

第十一章 重积分 283

一、概念·性质·公式 283

1．概念 283

2．性质 283

3．公式 285

二、二重积分的解题技巧 287

1．？Df(x,y)dσ的解题程序 287

2．极坐标系中积分限的确定 288

3．典型例题分析 289

三、二重积分的证题技巧 296

1．有关等式的证明 296

2．二重积分不等式的证明 299

四、三重积分的计算 301

1．？f(x,y,z)d？的解题程序 301

2．坐标系的选择 301

3．球面坐标系中积分限的确定 302

4．更换积分次序 303

5．三重积分计算 303

习题十一 305

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步 310

一、曲线积分的概念及性质 310

1．对弧长的曲线积分 310

2．对坐标的曲线积分 310

3．两种曲线积分之间的关系 311

二、曲线积分的理论及计算方法 311

1．基本定理 311

2．对弧长的曲线积分的计算方法 312

3．对坐标的曲线积分∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy的计算法 313

三、曲面积分的概念与性质 319

1．对面积的曲面积分 319

2．对坐标的曲面积分 319

3．两种曲面积分之间的关系 320

四、曲面积分的理论与计算方法 320

1．基本定理 320

2．对面积的曲面积分的计算法 321

3．对坐标的曲面积分的计算法 322

五、曲面面积的计算法 327

六、场论初步 328

1．概念与公式 328

2．例题选讲 330

习题十二 332

第十三章 函数方程与不等式证明 334

一、函数方程 334

1．利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 334

2．利用极限求解函数方程 335

3．利用导数的定义求解方程 336

4．利用变上限积分的可导性求解方程 336

5．利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 337

6．利用解微分方程的方法求解f(x) 338

二、不等式的证明 341

1．引入参数法 341

2．利用微分中值定理 342

3．利用函数的单调增减性（重点） 344

4．利用函数的极值与最值 345

5．利用函数图形的凹凸性 347

6．利用泰勒展开式 347

7．杂例 349

习题十三 350

第二篇 线性代数 353

第一章 行列式 353

一、行列式的概念 353

1．排列与逆序 353

2．n阶行列式的定义 354

二、性质、定理与公式 355

1．行列式的基本性质 355

2．行列式按行（列）展开定理 358

3．重要公式与结论 358

三、典型题型分析 359

题型Ⅰ 抽象行列式的计算 359

题型Ⅱ 低阶行列式的计算 360

题型Ⅲ n阶行列式的计算 361

四、杂例 367

习题一 368

第二章 矩阵 371

一、矩阵的概念与运算 371

1．矩阵的概念 371

2．矩阵的运算 371

二、逆矩阵 374

1．逆矩阵的概念 374

2．利用伴随矩阵求逆矩阵 374

3．矩阵的初等变换与求逆 375

4．分块矩阵及其求逆 376

5．矩阵的秩及其求法 377

三、典型题型分析 377

题型Ⅰ 求逆矩阵 377

题型Ⅱ 求矩阵的高次幂Am 379

题型Ⅲ 有关初等矩阵的命题 381

题型Ⅳ 解矩阵方程 382

题型Ⅴ 求矩阵的秩 384

题型Ⅵ 关于矩阵对称、反对称命题的证明 385

题型Ⅶ 关于方阵A可逆的证明 386

题型Ⅷ 与A的伴随阵A有关联的命题的证明 387

题型Ⅸ 关于矩阵秩的命题的证明 388

习题二 390

第三章 向量 395

一、基本概念 395

1．向量的概念与运算 395

2．向量间的线性关系 395

3．向量组的秩和矩阵的秩 396

4．向量空间 397

二、重要定理与公式 398

三、典型题型分析 399

题型Ⅰ 讨论向量组的线性相关性 399

题型Ⅱ 有关向量组线性相关性命题的证明 402

题型Ⅲ 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 408

题型Ⅳ 有关向量组线性表示命题的证明 409

题型Ⅴ 求向量组的极大线性无关组 411

题型Ⅵ 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 413

题型Ⅶ 与向量空间有关的命题 417

习题三 419

第四章 线性方程组 422

一、概念、性质、定理 422

1．克莱姆法则 422

2．线性方程组的基本概念 422

3．线性方程组解的判定 423

4．非齐次组Ax=b与齐次组Ax=0解的关系 423

5．线性方程组解的性质 424

6．线性方程组解的结构 424

二、典型题型分析 425

题型Ⅰ 基本概念题（解的判定、性质、结构） 425

题型Ⅱ 含有参数的线性方程组解的讨论 428

题型Ⅲ 讨论两个方程组的公共解 433

题型Ⅳ 有关基础解系的证明 435

题型Ⅴ 综合题 436

习题四 440

第五章 特征值和特征向量 444

一、概念与性质 444

1．矩阵的特征值和特征向量的概念 444

2．特征值与特征向量的计算方法 444

3．相似矩阵及其性质 445

4．矩阵可相似对角化的充要条件 445

5．对称矩阵及其性质 445

二、重要公式与结论 446

三、典型题型分析 447

题型Ⅰ 求数值矩阵的特征值与特征向量 447

题型Ⅱ 求抽象矩阵的特征值、特征向量 448

题型Ⅲ 特征值、特征向量的逆问题 449

题型Ⅳ 相似的判定及其逆问题 451

题型Ⅴ 判断4是否可对角化 452

题型Ⅵ 综合应用问题 455

题型Ⅶ 有关特征值、特征向量的证明题 460

习题五 462

第六章 二次型 465

一、基本概念与定理 465

1．二次型及其矩阵表示 465

2．化二次型为标准型 465

3．用正交变换法化二次型为标准形 466

4．二次型和矩阵的正定性及其判别法 466

二、典型题型分析 469

题型Ⅰ 二次型所对应的矩阵及其性质 469

题型Ⅱ 化二次型为标准形 470

题型Ⅲ 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 473

题型Ⅳ 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 474

习题六 477

第三篇 概率论与数理统计 479

第一章 随机事件和概率 479

一、基本概念、性质与公式 479

1．随机试验和随机事件 479

2．事件的关系及其运算 479

3．事件的概率及其性质 481

4．条件概率与事件的独立性 482

5．重要概型 483

6．重要公式 484

二、典型题型分析 485

题型Ⅰ 古典概型与几何概型 485

题型Ⅱ 事件的关系和概率性质的命题 488

题型Ⅲ 条件概率与积事件概率的计算 490

题型Ⅳ 全概率公式与Bayes公式的命题 491

题型Ⅴ 有关Bernoulli概型的命题 494

习题一 496

第二章 随机变量及其分布 499

一、基本概念、性质与公式 499

1．概念与公式一览表 499

2．重要的一维分布 502

3．重要的二维分布 503

二、典型题型分析 504

题型Ⅰ 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题 504

题型Ⅱ 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数 508

题型Ⅲ 求一维随机变量函数的分布 511

题型Ⅳ 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查 514

题型Ⅴ 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论 516

题型Ⅵ 求两个随机变量的简单函数的分布 523

习题二 528

第三章 随机变量的数字特征 534

一、基本概念、性质与公式 534

1．一维随机变量的数字特征 534

2．二维随机变量的数字特征 536

3．几种重要的数学期望与方差 537

4．重要公式与结论 538

二、典型题型分析 538

题型Ⅰ 求一维随机变量的数字特征 538

题型Ⅱ 求一维随机变量函数的数学期望 542

题型Ⅲ 求二维随机变量及其函数的数字特征 545

题型Ⅳ 有关数字特征的证明题 555

题型Ⅴ 应用题 556

习题三 558

第四章 大数定律和中心极限定理 562

一、基本概念与定理 562

1．切比雪夫不等式 562

2．中心极限定理 562

3．重要公式与结论 563

4．注意 563

二、典型题型分析 563

题型Ⅰ 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 563

题型Ⅱ 有关中心极限定理的命题 565

习题四 568

第五章 数理统计的基本概念 569

一、基本概念、性质与公式 569

1．几个基本概念 569

2．三个抽样分布——X2分布、t分布与F分布 570

3．正态总体下常用统计量的性质 570

4．重要公式与结论 571

二、典型题型分析 572

题型Ⅰ 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量 572

题型Ⅱ 求统计量的分布 573

习题五 575

第六章 参数估计 577

一、基本概念、性质与公式 577

1．矩估计与极大似然估计 577

2．估计量的评选标准 578

3．区间估计 579

4．重要公式与结论 580

二、典型题型分析 581

题型Ⅰ 求矩估计和极大似然估计 581

题型Ⅱ 评价估计的优劣 585

题型Ⅲ 区间估计或置信区间的命题 586

习题六 589

第七章 假设检验 591

一、基本概念与公式 591

1．显著性检验的基本思想 591

2．假设检验的基本步骤 591

3．两类错误 591

4．正态总体未知参数的假设检验 592

5．假设检验与区间估计的联系 592

二、典型题型分析 593

题型Ⅰ 正态总体的均值和方差的假设检验 593

题型Ⅱ 有关两类错误的命题 594

习题七 595