高等数学与线性代数解题指南PDF电子书下载

第一部分 高等数学 1

第一章 函数、极限、连续 1

1-1 一元函数 1

一、求函数的表示式和定义域的方法 1

二、求函数的值的方法 3

1-2 函数的极限 5

一、求待定式极限的方法 6

二、求非待定式极限的方法 15

三、函数极限的局部逆问题的求解方法 15

四、函数极限综合题的求解方法 16

五、求分段函数的极限的方法 17

六、无穷小的阶的比较方法 18

1-3 函数的连续性 20

一、函数的连续性讨论 20

二、确定函数的间断点及其类型 21

三、在闭区间上的连续函数的性质的应用 22

第二章 一元函数的微分学 26

2-1 导数和微分 26

一、求函数的导数的基本方法 26

二、不同形式的函数的求导方法 30

三、求函数的高阶导数的方法 32

四、求函数的微分的方法 34

2-2 导数和微分的应用 37

一、求平面曲线的切线和法线方程 37

二、研究函数的单调增减性 38

三、求函数的极值和最值 39

四、研究曲线的凹凸性 42

五、证明中值命题 43

六、证明方程的根的存在性与个数 47

七、证明不等式 49

八、求曲线的曲率、曲率半径和曲率圆 53

第三章 一元函数的积分学 58

3-1 不定积分 58

一、求不定积分的三种基本方法 58

二、几种特殊类型的函数的积分法 64

3-2 定积分 73

一、计算定积分的基本方法 73

二、奇偶函数的定积分计算法 75

三、分段函数（含带绝对值的函数）的定积分的计算方法 75

四、证明定积分等式的方法 76

五、证明定积分不等式的方法 77

六、应用积分中值定理证明中值命题的方法 78

七、估计定积分的值和证明具体函数的积分不等式的方法 78

八、求由定积分定义的函数的极限、导数、极值和研究这种函数的单调增减性的方法 79

九、广义积分的计算方法 81

3-3 定积分的应用 86

一、定积分在几何上的应用 86

二、定积分在物理学上的应用 91

第四章 向量代数和空间解析几何 95

4-1 向量代数 95

一、向量的基本概念及几何意义 95

二、向量的坐标表示 95

三、向量的运算 96

4-2 空间解析几何 96

一、求方程问题 96

二、求距离与交角 98

第五章 多元函数的微分学 103

5-1 多元函数的基本概念 103

一、二元函数的定义域与值域 103

二、二元函数的极限 103

三、二元函数的连续性讨论 105

5-2 多元函数的微分法 107

一、求偏导数的基本方法 107

二、求复合函数的偏导数的方法 108

三、求隐函数的偏导数的方法 110

四、证明偏微分方程成立及转化方程 113

五、求全微分的方法 115

六、利用全微分进行近似计算 116

七、方向导数与梯度 116

八、多元函数的连续性、偏导数的存在性、方向导数的存在性及可微性的讨论 117

5-3 偏导数的应用 122

一、求空间曲线的切线与法平面方程 122

二、求曲面的切平面与法线方程 123

三、多元函数的泰勒展式 126

四、求多元函数的极值 127

五、多元函数极值的应用 129

第六章 多元函数的积分学 135

6-1 重积分 135

一、重积分的计算 135

二、重积分在几何上的应用 140

三、证明积分等式的方法 145

四、证明积分不等式的方法 146

五、求由重积分定义的函数的极限、导数等 147

六、重积分在物理、力学上的应用 147

6-2 曲线积分 156

一、对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）的计算 156

二、对坐标的平面曲线积分（第二类曲线积分）的计算 159

三、对坐标的空间曲线积分的计算 165

四、曲线积分的应用 167

五、两类曲线积分的关系 168

6-3 曲面积分 170

一、对面积的曲面积分的计算 170

二、对坐标的曲面积分的计算 171

三、曲面积分的应用 174

四、曲面积分的证明题 174

6-4 场论初步 176

一、基本概念、基本公式的测试形式 176

二、奥高公式、斯托克斯公式的应用 177

第七章 无穷级数 180

7-1 常数项级数 180

一、判别正项级数的敛散性的方法 180

二、判别交错级数的收敛性的方法 182

三、判别任意项级数的收敛性的方法 183

四、关于常数项级数敛散性的证明题的证明方法 184

五、求收敛的常数项级数的和的方法 186

7-2 幂级数 189

一、求幂级数的收敛半径和收敛域的方法 189

二、求幂级数在收敛域内的和函数的方法 191

三、利用幂级数的和函数求收敛常数项级数的和的方法 194

四、关于幂级数的敛散性的阿贝尔定理的应用 195

五、将函数展开成幂级数的方法 196

六、幂级数的应用 199

七、求一般函数项级数的收敛域的方法 200

7-3 傅里叶级数 203

一、狄里克雷定理的应用 203

二、将函数在［-l,l］上展成傅里叶级数的方法 203

三、将函数在［0,l］上展成正弦级数或余弦级数的方法 205

四、利用函数的傅里叶级数展开式，求收敛常数项级数的和的方法 207

五、其他情况举例 208

第八章 微分方程 213

8-1 一阶微分方程 213

一、用变量分离法解方程 213

二、齐次方程的解法 215

三、全微分方程的解法 217

四、线性方程的解法 218

五、伯努利方程的解法 219

8-2 可降阶的高阶微分方程 221

一、方程y(n)=f（x）的解法 221

二、方程y″＝f（x,y′）的解法 221

三、方程y″＝f（y,y′）的解法 222

8-3　　高阶线性微分方程 223

一、高阶常系数齐次线性微分方程的解法 223

二、二阶常系数线性微分方程的解法 223

三、欧拉方程的解法 226

四、高阶常系数非齐次线性微分方程的解法 227

五、二阶线性方程的通解讨论 227

六、含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法 228

七、微分方程的幂级数解法 230

八、二阶齐次线性微分方程的逆问题解法 231

九、求解积分微分方程 231

十、杂例 232

8-4 微分方程的应用 237

一、在几何上的应用 237

二、在物理上的应用 239

第二部分 线性代数 242

第九章 n行列式 242

一、计算n阶行列式的基本方法 242

二、计算n阶行列式的其他方法 245

三、证明行列式等式的方法 249

第十章 矩阵 253

10-1 矩阵的运算 253

一、矩阵的线性运算与乘法运算 253

二、求方阵的幂 254

三、关于矩阵运算的证明题举例 255

四、求与给定矩阵可交换的矩阵 256

10-2 矩阵的逆阵 257

一、求矩阵的逆阵的方法 257

二、解矩阵方程 259

三、有关逆阵证明题的证明方法 261

四、方阵的行列式的计算 263

五、求分块矩阵的逆阵 263

10-3 矩阵的秩 268

一、求矩阵的秩的方法 268

二、关于矩阵的秩的证明题举例 268

第十一章 向量 270

11-1 向量的运算 270

11-2 向量组的线性相关性 270

一、把一个向量用一向量组线性表示的方法 270

二、判别向量组线性相关性的方法 272

三、向量组线性相关性的讨论 274

四、证明向量组线性相关或线性无关 275

五、向量组线性相关或线性无关的充要条件的证明方法 276

11-3 向量组的秩 279

一、求向量组的秩与最大无关组的方法 279

二、关于向量组的秩的证明题举例 279

三、判别两向量组等价的方法 280

四、关于等价向量组的证明题举例 280

11-4 向量空间 281

一、判断一个向量集合是否构成向量空间的方法 281

二、求向量空间的基底和维数的方法 282

三、求向量空间中的向量在给定基底下的坐标的方法 282

四、求n维向量空间的基变换和过渡矩阵 283

五、求n维向量空间中的向量在不同基底下的坐标变换公式 284

11-5 正交向量组 285

一、已知向量空间的一个基，求它的一个正交单位基的方法 285

二、已知向量空间的一个正交向量组，求它的一个正交单位基的方法 286

第十二章 线性方程组 288

12-1 n阶线性方程组 288

一、解n阶线性方程组的克莱姆法则 288

二、n阶线性方程组的矩阵解法 289

12-2 齐次线性方程组 290

一、齐次线性方程组恒相容（有解） 290

二、齐次线性方程组解的性质 290

三、齐次线性方程组解的情况 290

12-3 非齐次线性方程组 292

一、线性方程组有解的判别定理 292

二、非齐次线性方程组解的性质 292

三、非齐次线性方程组解的情况 293

12-4 用初等行变换求解线性方程组 294

一、用初等行变换求解齐次、非齐次线性方程组 294

二、非齐次线性方程组的系数及自由项中含有待定参数时求解的讨论 297

第十三章 矩阵的特征值与特征向量 301

13-1 矩阵的特征值与特征向量 301

一、矩阵的特征值与特征向量的概念 301

二、特征值与特征向量的求法 302

三、关于特征值与特征向量的逆问题的解法 303

13-2 相似矩阵 305

一、相似矩阵的概念、性质 305

二、判断方阵与对角形矩阵相似的方法 307

13-3 实对称矩阵的相似矩阵 308

一、用相似变换化实对称矩阵为对角形矩阵的方法 308

二、用正交变换化实对称矩阵为对角形矩阵的方法 309

三、正交矩阵的性质及有关证明 311

四、利用矩阵的对角化求方阵的幂 311

第十四章 二次型 314

14-1 二次型及其矩阵表示 314

一、二次型及其矩阵表示 314

二、二次型的秩 314

14-2 二次型的标准形 315

一、用配方法化二次型为标准形 316

二、用正交变换化二次型为标准形 317

14-3 正定二次型与正定矩阵 320

一、正定矩阵的性质 320

二、正定二次型（或正定矩阵）的判别方法 321

三、二次型中含有待定系数时正定性的讨论 323

附录 1994年全国工学硕士研究生人学考试数学（试卷二）参考解答及评分标准 326