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第八章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系 1

一、空间点的直角坐标 1

二、空间两点间的距离 3

第二节 向量代数 4

一、向量及其线性运算 4

二、向量的坐标表示 6

三、向量的数量积与向量积 13

第三节 平面与直线 18

一、平面及其方程 18

二、直线及其方程 23

第四节 曲面与空间曲线 29

一、曲面及其方程 29

二、空间曲线 32

三、旋转曲面 36

四、二次曲面 38

习题八 42

第九章 多元函数微分学 47

第一节 多元函数的基本概念 47

一、邻域 47

二、区域 47

三、聚点 49

四、n维空间 49

五、多元函数定义 49

六、多元函数的运算 52

七、多元复合函数及隐函数 53

第二节 多元函数的极限与连续性 53

第三节 偏导数 57

一、偏导数的定义及其计算法 57

二、高阶偏导数 61

第四节 全微分及其应用 63

一、全微分的定义 63

二、全微分的应用 67

三、高阶微分 69

第五节 复合函数的偏导数 70

一、复合函数的求导法则 70

二、全微分形式的不变性 75

第六节 隐函数的导数 76

一、一个方程的情形 76

二、方程组的情形 79

习题九 82

第十章 多元函数微分学的应用 86

第一节 二元函数的泰勒公式 86

第二节 曲线的切线与法平面 89

第三节 曲面的切平面与法线 92

第四节 方向导数 95

第五节 无约束极值与有约束极值 97

一、无约束极值 97

二、条件极值 102

习题十 104

第十一章 多元函数积分学（黎曼积分） 106

第一节 二重积分 106

一、二重积分的概念 106

二、二重积分的性质 109

三、二重积分的计算 112

四、二重积分的换元法 118

第二节 三重积分 124

一、三重积分的概念 124

二、三重积分的计算 126

三、三重积分的换元法 130

第三节 广义二重积分 136

第四节 重积分的应用 138

一、空间曲面的面积 139

二、空间几何体的体积 142

三、平面薄片的重心 144

四、平面薄片的转动惯量 147

五、平面薄片对质点的引力 148

六、三重积分应用举例 149

第五节 对弧长的曲线积分 151

一、对弧长的曲线积分的概念 151

二、对弧长的曲线积分的性质 152

三、对弧长的曲线积分的计算法 153

第六节 对面积的曲面积分 156

一、对面积的曲面积分的概念 156

二、对面积的曲面积分的计算 157

第七节 黎曼积分小结 159

习题十一 161

第十二章 对坐标的曲线和曲面积分 169

第一节 对坐标的曲线积分的概念 169

一、引例 169

二、对坐标的曲线积分的定义 170

三、性质 171

第二节 对坐标的曲线积分的计算 172

第三节 曲线积分与路径无关的条件 178

一、格林公式 178

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 184

第四节 对坐标的曲面积分的概念 189

一、有向曲面概念 189

二、引例——流向曲面一侧的流量 190

三、对坐标的曲面积分的概念 192

第五节 对坐标的曲面积分的计算 194

第六节 高斯公式与斯托克斯公式 197

一、高斯公式 197

二、斯托克斯公式 200

第七节 两类曲线积分、曲面积分的联系 202

一、两类曲线积分之间的联系 202

二、两类曲面积分之间的联系 203

三、高斯公式、斯托克斯公式的另一种表示 205

习题十二 207

第十三章 无穷级数 211

第一节 常数项级数的概念和性质 211

一、常数项级数的概念 211

二、常数项级数的性质 214

三、柯西审敛原理 216

第二节 正项级数敛散性判别法 217

第三节 任意项级数敛散性判别法 223

一、交错级数收敛性判别法 223

二、绝对收敛与条件收敛 225

第四节 函数项级数 228

一、函数项级数的概念 228

二、函数项级数的一致收敛性 230

三、一致收敛级数的判别法 231

四、一致收敛级数的基本性质 232

第五节 幂级数 235

一、幂级数及其收敛性 235

二、幂级数的一致收敛性 240

三、幂级数的和函数的性质 240

四、幂级数的运算 242

第六节 函数展开成幂级数 243

一、泰勒级数 243

二、函数展开成幂级数 246

三、函数的幂级数展开式在近似计算中的应用 251

第七节 周期函数的傅里叶级数 254

一、三角级数、三角函数系的正交性 254

二、周期函数展开成傅里叶级数 256

第八节 非周期函数的傅里叶展开 262

第九节 任意区间上的傅里叶级数 264

第十节 傅里叶级数的复数形式 266

第十一节 傅里叶变换 268

第十二节 傅里叶变换的应用 270

一、离散频谱 270

二、连续频谱 271

习题十三 273

第十四章 向量函数与场论 279

第一节 向量函数的概念 279

一、向量值函数的概念 279

二、线性向量值函数 280

第二节 向量函数的极限与连续性 281

一、向量函数的极限 281

二、向量函数的连续性 281

第三节 向量函数的导数 282

第四节 场论初步 286

一、场的概念 286

二、梯度场 286

三、散度场 287

四、旋度场 290

五、管量场与有势场 292

习题十四 294

习题参考答案 296