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第四篇 向量代数与空间解析几何 1

第十一章 向量代数 1

11.1空间直角坐标系 1

一、空间直角坐标系 1

二、空间两点间的距离 4

习题11-1 5

11.2向量及其线性运算 6

一、向量的概念 6

二、向量的线性运算 7

习题11-2 13

11.3向量的坐标 14

一、向量在数轴上的投影 14

二、向量的坐标 16

三、向量线性运算的坐标表示式 18

四、向量的模及方向余弦的坐标表示式 18

习题11-3 20

11.4向量的数量积和向量积 21

一、向量的数量积 21

二、向量的向量积 25

习题11-4 29

学习指导（十一） 30

复习练习题（十一） 34

第十二章 空间解析几何 37

12.1平面及其方程 37

一、平面的点法式方程 37

二、平面的一般式方程 39

三、两平面的夹角及平行与垂直的条件 41

习题12-1 43

12.2空间直线及其方程 44

一、空间直线的点向式方程和参数式方程 45

二、空间直线的一般式方程 46

三、空间两直线的夹角及平行与垂直的条件 48

四、空间直线与平面的夹角及平行与垂直的条件 49

习题12-2 51

12.3曲面及其方程 52

一、曲面的方程的概念 52

二、柱面及其方程 54

三、旋转曲面及其方程 57

习题12-3 59

12.4空间曲线及其方程 60

一、空间曲线的一般方程 60

二、空间曲线的参数方程 62

三、空间曲线在坐标面上的投影 63

习题12-4 65

12.5二次曲面简介 66

一、椭球面 66

二、抛物面 68

三、双曲面 70

习题12-5 72

学习指导（十二） 73

复习练习题（十二） 79

测验作业题（六） 81

第五篇 多元函数微分学 82

第十三章 多元函数及其微分法 82

13.1多元函数的基本概念 82

一、多元函数的概念 82

二、二元函数的极限 90

三、二元函数的连续性 94

习题13-1 97

13.2偏导数 99

一、偏导数的定义及其求法 99

二、二元函数f（x，y）的偏导数的几何意义 104

三、高阶偏导数 105

四、混合偏导数与求导次序无关的条件 107

习题13-2 108

13.3全微分及其应用 110

一、全微分的概念 110

二、函数可微的条件 113

三、全微分在近似计算中的应用 116

习题13-3 118

13.4多元复合函数的求导方法 119

一、多元复合函数的全导数 120

二、多元复合函数的偏导数——链式法则 121

三、全微分形式的不变性 125

四、多元复合函数的高阶偏导数举例 127

习题13-4 131

13.5隐函数的一阶导数或偏导数公式 133

一、由方程F（x，y）=0确定的隐函数y=y（x）的导数公式 133

二、由方程F（x，y，z）=0确定的隐函数z=z（x，y）的偏导数公式 135

习题13-5 138

学习指导（十三） 139

复习练习题（十三） 153

第十四章 偏导数的应用 158

14.1偏导数在几何中的应用 158

一、空间曲线的切线方程和法平面方程 158

二、空间曲面的切平面方程和法线方程 161

习题14-1 166

14.2二元函数的极值 167

一、二元函数极值的概念 167

二、二元函数极值的求法 169

习题14-2 172

14.3函数的最大值与最小值，条件极值与拉格朗日乘数法 173

一、函数的最大值与最小值 174

二、函数的条件极值与拉格朗日乘数法 177

习题14-3 183

学习指导（十四） 184

复习练习题（十四） 195

测验作业题（七） 199

第六篇 多元函数积分学 201

第十五章 重积分及其应用 201

15.1二重积分的概念和性质 202

一、二重积分的概念 202

二、二重积分的性质 206

习题15-1 209

15.2直角坐标系下二重积分的计算法 210

习题15-2 219

15.3极坐标系下二重积分的计算法 221

一、二重积分∫∫Df（x，y）dσ的极坐标形式 221

二、把极坐标系下的二重积分化为二次积分计算 223

习题15-3 228

15.4二重积分的应用 229

一、立体的体积 229

二、平面图形的面积 232

三、曲面的面积 232

四、平面薄片的质量与重心 235

习题15-4 237

15.5三重积分的概念与计算法 238

一、三重积分的概念 238

二、直角坐标系下三重积分的计算法 239

三、柱面坐标系下三重积分的计算法 241

四、球面坐标系下三重积分的计算法 243

习题15-5 248

学习指导（十五） 249

复习练习题（十五） 260

第十六章 曲线积分 262

16.1对弧长的曲线积分 262

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 262

二、对弧长的曲线积分的计算法 265

习题16-1 268

16.2对坐标的曲线积分 269

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 269

二、对坐标的曲线积分的计算法 273

习题16-2 279

16.3格林（Green）公式及其应用 279

一、格林（Green）公式 280

二、利用格林公式计算曲线积分 282

三、利用格林公式计算平面图形的面积 284

习题16-3 285

16.4平面上曲线积分与路径无关的条件 286

习题16-4 290

学习指导（十六） 290

复习练习题（十六） 298

测验作业题（八） 300

第七篇 无穷级数 301

第十七章 常数项级数 301

17.1常数项级数的概念与性质 301

一、常数项级数及其收敛与发散的概念 301

二、无穷级数的基本性质 306

三、级数收敛的必要条件 308

习题17-1 311

17.2正项级数及其敛散性的判别法 312

一、正项级数收敛的充要条件 312

二、正项级数敛散性的判别法 314

习题17-2 323

17.3任意项级数的收敛性的判别法 324

一、交错级数及其收敛性的判别法 324

二、任意项级数的收敛性——绝对收敛与条件收敛 326

习题17-3 329

学习指导（十七） 329

复习练习题（十七） 341

第十八章 幂级数与傅里叶级数 345

18.1幂级数及其收敛性 346

一、幂级数及其收敛性的概念 346

二、阿贝尔（Abel）定理 347

三、幂级数的收敛半径与收敛区间 348

习题18-1 352

18.2幂级数的运算 353

一、幂级数的加法、减法与乘法 353

二、幂级数的微分和积分运算 354

习题18-2 357

18.3把函数展开成幂级数 357

一、泰勒级数与泰勒级数展开式 357

二、把函数展开成幂级数 361

习题18-3 367

18.4函数的幂级数展开式的应用 368

一、在近似计算中的应用 368

二、欧拉（Euler）公式 372

习题18-4 373

18.5把函数展开成傅里叶（Fourier）级数 373

一、三角级数及三角函数系的正交性 373

二、把以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 375

三、把定义在区间［-π，π］上的函数展开成傅里叶级数 381

四、把定义在区间［0，π］上的函数展开成正弦（或余弦）级数 384

五、把以2l为周期的函数展开成傅里叶级数 388

习题18-5 390

学习指导（十八） 391

复习练习题（十八） 409

测验作业题（九） 411

第八篇 常微分方程 414

第十九章 一阶微分方程 414

19.1微分方程的基本概念 414

一、引例 414

二、微分方程的基本概念 416

习题19-1 418

19.2变量可分离的微分方程及齐次微分方程 419

一、变量可分离的微分方程 420

二、齐次微分方程 422

习题19-2 425

19.3线性微分方程 425

习题19-3 430

19.4一阶微分方程的应用举例 431

习题19-4 435

学习指导（十九） 436

复习练习题（十九） 445

第二十章 高阶微分方程 448

20.1可降阶的高阶微分方程 448

一、y（n）=f（x）型 448

二、y″=f（x，y′）型 449

三、y″=f（y，y′）型 451

习题20-1 452

20.2二阶线性微分方程 453

一、二阶线性微分方程的概念 453

二、二阶线性齐次微分方程解的性质及通解结构 454

三、二阶线性非齐次微分方程的通解结构及解的性质 457

习题20-2 459

20.3二阶线性常系数齐次微分方程的解法 460

习题20-3 465

20.4二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 466

一、f（x）=Pm（x）eλx型 466

二、f（x）=eλx（Acosωx+Bsinωx）型 471

习题20-4 473

20.5二阶微分方程的应用举例 474

习题20-5 482

学习指导（二十） 483

复习练习题（二十） 491

测验作业题（十） 493