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引论 1

第一章 复数 6

1.复数及其运算 6

1.复数概念 6

2.复数的加法与乘法 6

3.复数的减法与除法 8

1.复数的几何表示法 10

2.复数的加法与减法的几何意义 10

2.复数的几何表示法、关于模与辐角的定理 10

3.模与辐角的概念 11

4.关于模与辐角的定理 12

5.数？的几何表示法 14

6.复数的积与商的几何作图 15

3.极限 16

1.极限理论的基本原则 16

2.极限点概念 17

3.有界的与无界的复数序列 18

4.波尔察诺-维尔斯脱拉斯定理 19

5.复数序列的收敛概念 20

6.极限理论的基本定理 21

7.哥西判别法 21

4.复数球面、无穷远点 23

1.复数在球面上的表示法。无穷远点 23

2.测地投影的公式 25

3.测地投影的基本性质 26

4.保角性 27

1.收敛级数与发散级数的概念 28

5.级数 28

2.收敛级数的一个必要条件 29

3.绝对收敛级数的概念 30

4.级数的加法与减法 31

5.关于二重级数的一个定理 32

6.级数的项的重排 34

7.级数的乘法 35

第一章 习题 37

1.复变函数概念 39

第二章 复变数与复变函数 39

1.复变函数 39

2.区域的概念。约当曲线 40

3.复变函数的连续性 44

4.关于一致连续性的定理。海涅-波勒尔预备定理 47

2.函数级数 49

1.一致收敛级数的概念 49

2.关于级数的和的连续性的定理 51

3.一致收敛级数的判别法 53

1.冪级数的收敛区域的概念 54

3.冪级数 54

2.阿贝尔第一定理 55

3.收敛圆 56

4.上极限的概念 58

5.收敛半径的定义 59

6.冪级数的一致收敛性 63

7.阿贝尔第二定理 64

2.在一个区域内解析函数的概念 68

1.导数概念 68

4.变复函数的微分法、初等函数 68

3.微分概念 70

4.哥西黎曼条件 71

5.调和共轭函数 75

6.冪级数的微分法 76

7.指数函数、三角函数与双曲线函数 78

8.单叶函数、反函数 83

9.根式、对数函数与反正弦函数 85

10.多值函数的分支、关于支点的概念 87

11.黎曼曲面的概念 94

5.保角映射 99

1.导数的辐角的几何意义 99

2.导数的模的几何意义 102

3.保角映射 103

4.第二类保角映射 104

5.微分的几何意义 106

6.映射W=f(z)的主要部分 108

第二章 习题 110

第三章 线性变换与其他的简单变换 113

1.线性函数 113

1.整线性函数 113

2.函数w=？ 115

3.一般线性函数 116

4.线性函数关于圆周的性质 117

5.线性变换的参变数与不变量 118

6.把上半平面变成自己的映射 120

7.在线性变换下互相对称的点对的不变性 121

8.把圆变成上半平面的映射 122

9.圆变成自己的映射 123

10.用对称映射来表示线性变换 124

11.线性变换的不同类型 126

12.重点的性质 130

13.椭圆式变换的几何意义 132

14.把圆变到自己的变换的特征 132

1.罗拔切夫斯基几何圆上的欧几里得图像 134

2.线性变换与罗拔切夫斯基几何 134

2.给定附标的两点间非欧距离的计算法 135

3.非欧几里得圆周 136

4.曲线的非欧长度 137

5.非欧几里得面积 137

6.远环 138

7.超环 138

8.罗拔切夫斯基几何在半平面上的欧几里得图像 139

9.圆周的非欧长度 140

10.罗拔切夫斯基几何中的平行角 141

11.圆与三角形的非欧几里得面积 142

3.若干初等函数与这些函数构成的映射 144

1.冪函数与根式 144

2.指数函数与对数函数 148

第三章 习题 150

第四章 哥西定理·哥西积分 153

1.复变积分 153

1.复变积分的概念 153

2.复变积分的基本性质 156

3.一致收敛级数的积分法 157

4.哥西定理 158

6.在解析函数理论的建立中的各种不同的观点 159

1.基本预备定理 160

2.哥西定理 160

2.哥西定理证明的简化 163

3.哥西定理的证明 164

4.复数域中的不定积分概念 167

5.哥西定理扩充到复闭路的情形 171

6.对数函数 173

7.预备定理 176

8.哥西定理的推广 179

3.哥西积分 180

1.哥西公式 180

2.哥西公式扩充到复闭路的情形 182

3.哥西型积分 184

4.区域内解析函数的一切高级导函数的存在性 188

5.摩勒尔定理 189

7.哥西型积分的极限值 190

8.当边界函数满足火伊尔德-立勃希茲条件时哥西型积分的极限值 196

9.波哇松积分 204

第四章 习题 206

第五章 解析函数项级数、解析函数的冪级数展开式 209

1.一致收敛的解析函数项级数 209

1.维尔斯脱拉斯第一定理 209

2.戴劳级数 215

1.维尔斯脱拉斯定理在冪级数上的应用 215

2.解析函数的冪级数展开式 217

3.全纯函数的概念以及它与解析函数概念的等惯性 221

4.解析函数的唯一性 221

5.最大模原理 225

6.解析函数的零点 228

7.零点的级 229

8.冪级数系数的哥西不等式 230

9.李乌威尔定理 231

10.维尔斯脱拉斯第二定理 231

第五章 习题 232