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第一章 引言 1

1.1 参数摄动 1

1.1.1 一个代数方程 2

1.1.2 van der Pol振荡器 3

1.2 坐标摄动 5

1.2.1 零阶贝塞耳(Bessel)方程 5

1.2.2 一个简单的例子 6

1.3 阶的符号和标准函数 7

1.4 渐近展开式与渐近序列 10

1.4.1 渐近级数 10

1.4.2 渐近展开式 12

1.4.3 渐近展开式的唯一性 15

1.5 收敛级数与渐近级数 15

1.6 非一致展开式 17

1.7 渐近展开式的基本运算 19

练习 21

第二章 直接展开式及非一致性的根源 24

2.1 无限域 24

2.1.1 Duffing方程 24

2.1.2 弱非线性不稳定性的一个模型 26

2.1.3 薄翼的超音速绕流 27

2.1.4 球体的小雷诺(Reynolds)数绕流 29

2.2 小参数与最高阶导数相乘 32

2.2.1 一个二阶的例子 32

2.2.2 物体的大雷诺(Reynolds)数绕流 34

2.2.3 张弛振荡 35

2.2.4 受预应力的环状板的非对称弯曲 36

2.3 偏微分方程类型的改变 38

2.3.1 一个简单的例子 38

2.3.2 在斜面上向下流动的液体的长波 39

2.4 奇点的出现 43

2.4.2 地球-月球-宇宙飞船问题 44

2.4.1 奇点的转移 44

2.4.3 热弹性表面波 46

2.4.4 转点问题 49

2.5 坐标系的作用 50

练习 54

第三章 伸缩坐标法 57

3.1 伸缩参数的方法 59

3.1.1 Lindstedt-Poincaré方法 59

3.1.2 Mathieu方程的过渡曲线 61

3.1.3 Mathieu方程的特征指数(Whittaker方法) 63

3.1.4 三体椭圆限制问题中三角点的稳定性 66

3.1.5 三体椭圆限制问题中三角点的特征指数 68

3.1.6 一个简单的线性特征值问题 71

3.1.7 一个拟线性特征值问题 74

3.1.8 拟线性的Klein-Gordon方程 78

3.2 Lighthill技巧 80

3.2.1 一个一阶微分方程 82

3.2.2 一维地球-月球-宇宙飞船问题 85

3.2.3 实心圆柱在静止空气中的均匀膨胀 86

3.2.4 薄翼的超音速绕流 90

3.2.5 使用精确特征的展开式--非线性弹性波 93

3.3 Temple技巧 97

3.4.1 Duffing方程 99

3.4 重正化技巧 99

3.4.2 弱非线性不稳定的一个模型 100

3.4.3 薄翼的超音速绕流 101

3.4.4 奇点的移动 102

3.5 伸缩坐标方法的局限性 102

3.5.1 弱非线性不稳定的一个模型 104

3.5.2 小参数乘最高阶导数 105

3.5.3 地球-月球-宇宙飞船问题 106

练习 107

第四章 匹配渐近展开和复合渐近展开的方法 113

4.1 匹配渐近展开的方法 114

4.1.1 引言--Prandtì的技巧 114

4.1.2 高阶近似和匹配方法的改进 117

4.1.3 一个二阶变系数方程 125

4.1.4 滑动轴承的雷诺方程 128

4.1.5 受预应力环形板的非对称弯曲 131

4.1.6 热弹性表面波 136

4.1.7 地球-月球-宇宙飞船问题 139

4.1.8 球体的小雷诺数绕流 142

4.2 复合展开的方法 147

4.2.1 一个二阶常系数方程 148

4.2.2 一个二阶变系数方程 151

4.2.3 一个热方程的初边值问题 153

4.2.4 复合展开方法的局限性 156

练习 157

第五章 参数变易及平均法 161

5.1 参数变易 161

5.1.1 Schr？dinger方程的依赖于时间的解 162

5.1.2 非线性稳定的一例 164

5.2 平均法 166

5.2.1 van der Pol技巧 166

5.2.2 Krylov-Bogoliubov技巧 167

5.2.3 推广的平均法 170

5.3 Struble技巧 173

5.4 Krylov-Bogoliubov-Mitropolski技巧 175

5.4.1 Duffing方程 176

5.4.2 van der Pol振荡器 178

5.4.3 Klein-Gordon方程 179

5.5 运用正则变量的平均法 181

5.5.1 Duffing方程 184

5.5.2 Mathieu方程 185

5.5.3 弹簧摆 187

5.6 von Zeipel过程 191

5.6.1 Duffing方程 193

5.6.2 Mathieu方程 196

5.7 用李级数和李变换的平均法 203

5.7.1 李级数和李变换 204

5.7.2 一般的算法 205

5.7.3 一般算法的简化 209

5.7.4 程序的梗概 211

5.7.5 正则系统的算法 214

5.8 用拉格朗日函数的平均法 219

5.8.1 一个色散波的模型 220

5.8.2 波-波相互影响的一个模型 222

5.8.3 非线性Klein-Gordon方程 224

练习 226

6.1 方法的叙述 231

第六章 多重尺度方法 231

6.1.1 多变量变型(导数展开方法) 240

6.1.2 两个变量的展开方法 244

6.1.3 推广方法--非线性尺度 245

6.2 导数展开方法的应用 248

6.2.1 Duffing方程 248

6.2.2 van der Pol振荡器 250

6.2.3 van der Pol方程的强迫振荡 253

6.2.4 参数共振--Mathieu方程 258

6.2.5 具有迟滞振幅限制的van der Pol振荡器 263

6.2.6 在椭圆限制三体问题中三角点的稳定性 266

6.2.7 一个摆动弹簧 268

6.2.8 弱非线性不稳定的一个模型 271

6.2.9 波-波相互作用的一个模型 273

6.2.10 导数展开方法的局限性 276

6.3 两变量展开方法 277

6.3.1 Duffing方程 277

6.3.2 van der Pol振荡器 280

6.3.3 在椭圆限制三体问题中三角点的稳定性 283

6.3.4 这个方法的局限性 283

6.4 推广方法 284

6.4.1 具有变系数的二阶方程 284

6.4.2 具有变系数的一般二阶方程 288

6.4.3 具有慢变恢复力的线性振荡器 290

6.4.4 具有一个转点的例子 292

6.4.5 具有慢变系数的Duffing方程 295

6.4.6 重返大气层动力学 299

6.4.7 地球-月球-宇宙飞船问题 303

6.4.8 色散波的一个模型 307

6.4.9 非线性Klein-Gordon方程 309

6.4.10 推广方法的优点及局限性 311

练习 312

第七章 线性方程的渐近解 316

7.1.1 非正则奇点近旁的展开 317

7.1 二阶微分方程 317

7.1.2 零阶贝塞耳函数对大变量的展开 320

7.1.3 Liouville问题 322

7.1.4 含大参数方程的高阶近似 323

7.1.5 小参数乘最高阶导数 325

7.1.6 具有慢变系数的齐次问题 326

7.1.7 重返大气层导弹动力学 328

7.1.8 具有慢变系数的非齐次问题 329

7.1.9 逐次Liouville-Green(WKB)近似 332

7.2 一阶常微分方程组 333

7.2.1 非正则奇点附近的展开 334

7.2.2 方程组的渐近分块 335

7.2.3 次正规解 339

7.2.4 含有参数的方程组 340

7.2.5 带有慢变系数的齐次方程组 341

7.3 转点问题 343

7.3.1 渐近展开的匹配方法 344

7.3.2 Langer变换 348

7.3.3 双转点问题 350

7.3.4 高阶转点问题 354

7.3.5 高阶近似 354

7.3.6 带有一个简单转点的一个非齐次问题--首阶近似 360

7.3.7 带有一个简单转点的一个非齐次问题--高阶近似 362

7.3.8 带有一个二阶转点的非齐次问题 365

7.3.9 含奇点的转点问题 366

7.3.10 高阶的转点问题 368

7.4 波方程 369

7.4.1 Born或Neumann展开及Feynman图 370

7.4.2 重正化方法 376

7.4.3 Rytov方法 381

7.4.4 一个几何光学近似 382

7.4.5 在焦散的一致展开式 386

7.4.6 光顺方法 389

练习 391

文献与作者索引 395