数学物理方法 1PDF电子书下载

第一章 线性代数和二次型 1

§1．线性方程和线性变换 1

1．矢量 1

2．正交矢量组．完备性 3

3．线性变换．矩阵 4

4．双线型、二次型和赫米特型 9

5．正交变换和复正交变换 11

§2．合线性参数的线线性变换 13

§3．二次型和赫米特型的主轴变换 18

1．根据极大值原理作主轴变换 18

2．本徵值 20

3．推广于赫米特型 22

4．二次型的惰性定理 22

5．二次型的预解式的表示 22

6．与二次型相联属的线性方程组的解 23

§4．本徵值的极小-极大性 25

1．用一极小-极大问题表徵本徵值 25

2．应用．约束 26

§5．补充材料及问题 27

1．线性独立性及格莱姆行列式 27

2．行列式的哈达马不等式 28

3．正则变换的广义处理 29

4．无穷多个变数的双线型和二次型 32

5．无穷小线性变换 32

6．微扰 34

7．约束 35

8．矩阵或双线型的初等除数 35

9．复正交矩阵的谱 36

参考文献 37

第二章 任意函数的级数展开 38

§1．正交函数组 38

1．定义 38

2．一组函数的正交化 39

3．贝塞不等式．完备性关系．平均逼近 40

4．无穷多个变数的正交变换和复正交变换 43

5．在多个自变数及更一般的假定下上述结果的正确性 44

6．多变数完备函数组的造成 44

§2．面数的聚点定理 45

1．函数空间的收敛性 45

§3．独立性测度和维数 48

1．独立性测度 48

2．一函数敍列的渐近维数 49

1．维尔司察斯逼近定理 51

§4．维尔司察斯逼近定理．幂函数和三角函数的完备性 51

2．推广到多元函数的情形 52

3．函数及其微商同时用多项式逼近 53

4．三角函数的完备性 53

§5．富理叶级数 54

1．基本定理的证明 54

2．重富理叶级数 57

3．富理叶系数的数量级 58

4．基本区间长度的更改 58

5．例 58

1．基本定理 60

§6．富理叶积分 60

2．把上节结果推广到多元函数的情形 62

3．互逆公式 62

§7．富理叶积分的例子 63

§8．勒上特多项式 64

1．从幂函数1，x，x~2，…的正交化作出勒上特多项式 64

2．母函数 66

3．勒上特多项式的其它性质 67

(a)递推公式 67

(b)微分方程 67

1．导至勒上特多项式的问题的推广 68

(c)最小性 68

§9．其它正交组的例子 68

2．切比雪夫多项式 69

3．雅可比多项式 71

4．赫米特多项式 72

5．拉盖尔多项式 73

6．拉盖尔和赫米特函数的完备性 75

§10．补充材料和问题 76

1．等周问题的胡维茨解 76

3．富理叶积分和平均收敛性 78

2．互逆公式 78

4．由富理叶级数和积分所得的谱分解 79

5．稠密函数组 79

6．赫·明兹关于幂函数完备性的一个定理 80

7．费叶求和定理 80

8．梅林反演公式 81

9．吉普斯现象 83

10．关于格莱姆行列式的一个定理 85

11．勒贝格积分的应用 85

参考文献 87

1．符号和基本概念 89

§1．引论 89

第三章 线性积分方程 89

2．以积分表示的函数 90

3．退化核 90

§2．退化核的佛莱特蒙定理 91

§3．对任意核的佛莱特蒙定理 94

§4．对称核及其本徵值 96

1．对称核的本徵值的存在性 97

2．本徵函数和本徵值的全体 99

3．本徵值的极大-极小性质 104

1．展开定理 105

§5．展开定理及其应用 105

2．非齐次线性积分方程的解 107

3．累次核的双线公式 108

4．美塞定理 109

§6．诺依曼级数和预解核 110

§7．绋莱特蒙公式 112

§8．积分方程理论的另一推导 116

1．一个引理 116

2．对称核的本徵函数 117

3．非对称核 118

4．本徵值和本徵函数对核的连续依赖性 118

§9．本理论的推广 119

1．问题 120

§10．第三章的补充材料和问题 120

2．奇异积分方程 121

3．依·斯米特关于绋莱特蒙定理的推导 121

4．解对称积分方程的恩斯可克法 122

5．决定本徵函数的开洛格法 123

6．核的形式函数及其本徵值 123

7．没有本徵函数的一个非对称核例子 123

9．亚贝尔积分方程 124

10．属于一非对称核的共轭正交组 124

8．伏泰拉积分方程 124

11．第一类积分方程 125

12．无穷多变数法 126

13．本徵函数的极小性 126

14．极性积分方程 126

15．可对称化的核 126

16．由函数方程决定预解核 127

17．正(负)定核的连续性 127

18．汉姆斯坦定理 127

参考文献 127

1．函数的极大和极小 129

第四章 变分法 129

§1．变分法的问题 129

2．汎函 131

3．变分法的典型问题 132

4．变分法特有的困难 135

§2．直接解 136

1．等周问题 136

2．雷莱-里茨方法．极小化敍列 136

3．其它直接方法．有限差法．无穷多个变数法 138

4．关于变分直接方法的一般讨论 142

1．变分法中“最简单的问题” 143

§3．欧勒方程 143

2．多个未知函数的问题 145

3．高阶微商的出现 147

4．多个自变数的情形 148

5．欧勒微分式之恒等于零 150

6．齐次形的欧勒方程 152

7．条件的放宽．布阿-雷蒙和哈尔定理 154

8．变分问题和函数方程 158

§4．欧勒微分方程的积分 159

§5．边界条件 160

1．自由边界的自然边界条件 161

2．几何问题．横交条件 163

§6．二级变分及勒上特条件 165

§7．带附加条件的变分问题 167

1．等周问题 167

2．有限附加条件 169

3．微分方程作为附加条件 170

§8．欧勒方程的不变性 171

1．欧勒式作为函数空间的梯度。欧勒式的不变性 171

2．△u的变换．球坐标 173

3．椭球坐标 174

§9．变分问题之变换为正则形和回转形 178

1．带附加条件的一般极小问题的变换 179

2．最简单的一些变分问题的回转变换 180

3．变分问题向正则形的变换 184

4．推广 185

§10．变分法和数学物理微分方程 187

1．一般的讨论 187

2．振动的?和振动的杆 189

3．膜与板 190

§11．互逆二次变分问题 194

1．一给定微分方程的变分问题 198

§12．补充材料和练习 198

2．等周问题的可逆性 199

3．圆形光线 199

4．弟多问题 199

5．空间问题的例 199

6．示性曲线及其应用 199

7．变动的区域 200

8．纳特尔关于不变变分问题的定理．质点力学问题中的积分 202

9．重积分的横交条件 205

11．静电学中的汤姆生原理 206

10．曲面上的欧勒微分式 206

12．弹性体的平衡问题．卡斯铁格里阿诺原理 207

13．翘曲的变分问题 210

参考文献 211

第五章 振动和本微值问题 213

§1．线性微分方程述引 213

1．叠加原理 213

2．齐次和非齐次问题．边界条件 214

3．形式关系．伴随微分式．格林公式 214

4．线性函数方程——线性方程组的类似和极限情形 217

§2．有限自由度的系统 217

1．简正形振动．简正坐标．运动的普遍理论 218

§3．?的振动 221

2．振动系统的一般性质 221

1．均匀?的自由运动 222

2．受追振动 224

3．一般的不均匀的?和斯特姆-利欧维本徵值问题 225

§4．杆的振动 228

§5．膜的振动 230

1．关于均匀膜的一般本徵值问题 230

2．受迫运动 231

4．矩形膜 232

3．节线 232

5．圆形膜．贝塞函数 233

6．不均匀的膜 236

§6．板的振动 236

1．概述 236

2．圆形边界 237

§7．关于本徵函数法的一般性问题 238

1．振动及平衡问题 238

2．热传导及本徵值问题 240

§8．三维连续体的振动．分离变数法 241

§9．本徵函数和势论中的边值问题 242

1．圆、球，球壳 243

2．柱形区域 245

3．拉美问题 245

§10．斯特姆-利欧维型问题．奇异边界点 249

1．贝塞函数 249

2．任意阶的勒上特函数 250

3．雅可比及切比雪夫多项式 251

4．赫米特及拉盖尔多项式 252

1．当自变数趋向无穷时解的有界性 254

§11．斯特姆-利欧维方程的解的渐近行为 254

2．更确切一点的结果．(贝塞函数) 255

3．当参数增大时的有界性 256

4．解的渐近表示 257

5．斯特姆-利欧维本徵函数的渐近表示 258

§12．具有连续谱的本徵值问题 261

1．三角函数 261

2．贝塞函数 261

3．无穷平面的膜振动方程的本徵值问题 261

4．薛汀格本徵值问题 262

1．单重本徵值 264

§13．微扰理论 264

2．重本徵值 265

3．微扰理论的一例 268

§14．格林函数(影响函数)及化微分方程为积分方程 269

1．格林函数及常微分方程的边值问题 269

2．格林函数的造出；广义格林函数 272

3．微分方程和积分方程的等价 274

4．高阶常微分方程 277

5．偏微分方程 278

1．常微分方程 284

§15．格林函数的例 284

2．对圆恶化球△u的格林函数 288

3．格林函数和保角映像 289

4．在球面上的势方程的格林函数 289

5．在一直角平行六面体中△u＝0的格林函数 290

6．在一矩形内△u的格林函数 294

7．圆形环的格林函数 296

§16．第五章的补充材料 298

1．?振动的例 298

2．自由悬挂的绳的振动；贝塞函数 299

3．振动方程明显解的例子．马久函数 300

4．合有参数的边界条件 301

6．方程△u＋λu＝0的解的解析延拓 302

5．微分方程组的格林张量 302

7．关于△u＋λu＝0的解的节线的定理 303

8．无穷重数的本徵值的例 303

9．展开定理的有效范围 303

参考文献 303

第六章 变分法在本微值问题上的应用 305

§1．本徽值的极值性质 305

1．经典的极值性质 305

2．推广 308

3．当区域具有分隔组成部分时的本徵值问题 310

4．本徵值的极大-极小性质 311

§2．由本徽值的极值性质所得的一般结论 312

1．一般定理 312

2．本徵值的无限增大 316

3．斯特姆-利欧维问题中本徵值的渐近性质 317

4．奇异微分方程 318

5．关于本徵值增大的进一步讨论．负本徵值的出现 319

6．本徵值的连续性 321

§3．完备性和展开定理 325

1．本徵函数的完备性 325

2．展开定理 327

3．展开定理的推广 328

§4．本徵值的渐近分布 329

1．在矩形上的方程△u＋λu＝0 329

2．在有限多个方形或立方体所作成的区域上的方程△u＋λu＝0 331

3．把结果推广于一般的微分方程L[u]＋λρu＝0 333

4．对一任意区域本徵值的渐近分布 335

4．联属勒上特函数．(高阶勒上特函数) 338

5．对微分方程△u＋λu＝0而言本徵值的渐近分布规律较精确的形式 340

§5．薛汀格型的本徵值问题 341

§6．本徵函数的节 346

§7．补充材料和问题 349

1．本徵值的极小性质．由完备性所作的推导 349

2．用没有节这个形质来刻划第一个本徵函数 351

3．本徵值的另外一些极小性质 352

4．本徵值的渐近分布 352

5．双参数本徵值问题 353

6．包含参数的边界条件 353

7．闭曲面的本徵值问题 353

8．当有奇点出现时本徵值的估计 354

9．板和膜的极小定理 354

10．变质量分布的极小问题 355

11．斯特姆-利欧维问题的节点．极大-极小原理 355

参考文献 356

第七章 本徵值问题所定义的特殊函数 357

§1．线性二阶微分方程的初步讨论 357

1．积分变换的应用 358

§2．贝塞函数 358

2．汉克函数 359

3．贝塞函数和诺曼函数 361

4．贝塞函数的积分表示式 362

5．汉克函数和贝塞函数的另一积分表示式 364

6．贝塞函数的幂级数展开 370

7．各贝塞函数间的关系 372

8．贝塞函数的零点 378

9．诺曼函数 381

§3．勒上特函数 385

1．许肋弗里积分 385

2．拉普拉斯的积分表示式 386

3．第二类勒上特函数 387

§4．应用积分变换方法于勒上特、切比雪夫，赫米特及拉盖尔方程 388

1．勒上特函数 388

2．切比雪夫函数 390

3．赫米特函数 390

4．拉盖尔函数 391

1．2n＋1个，n-阶球面调和函数的确定 392

§5．拉普拉斯球面调和函数 392

2．函数组的完备性 393

3．展开定理 394

4．泊松积分 394

5．马克斯威-西尔法斯特的球面调和函数表示式 395

§6．渐近展开 400

1．斯特林公式 401

2．当变量值大时汉克和贝塞函数的渐近计算 402

3．马鞍点法 404

4．应用马鞍点法计算大参量和大变量的汉克函数和贝塞函数 405

6．达布方法 409

5．马鞍点法的一般讨论 409

7．应用达布方法于勒上特多项式的渐近展开 410

§7．第七章附录．球面调和函数的变换 411

1．导言及符号 411

2．正交变换 412

3．球面调和函数的一个母函数 414

4．变换公式 416

5．直角坐标下的表示式 418

附加参考文献 420

索引 423