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第一章 绪论 1

1.1 数值分析的研究对象 1

1.2 误差知识与算法知识 1

1.2.1 误差的来源与分类 1

1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字 3

1.2.3 函数求值的误差估计 5

1.2.4 算法及其计算复杂性 7

1.3 向量范数与矩阵范数 10

1.3.1 向理范数 10

1.3.2 矩阵范数 12

习题 18

第二章 线性方程组的解法 21

2.1 Gauss消去法 22

2.1.1 顺序Gauss消去法 23

2.1.2 列主元素Gauss消去法 25

2.2 直接三角分解法 28

2.2.1 Doolittle分解法与Crout分解法 28

2.2.2 选主元的Doolittle分解法 34

2.2.3 三角分解法解带状线性方程组 37

2.2.4 追赶法求解三对角线性方程组 41

2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法 43

2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组 45

2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 45

2.3.2 关于病态线性方法组的求解问题 48

2.4 迭代法 51

2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性 51

2.4.2 Jacobi迭代法 55

2.4.3 Gauss-Seidel迭代法 60

2.4.4 逐次超松驰迭代法 64

习题 69

第三章 矩阵特征值与特征向量的计算 74

3.1 幂法和反幂法 74

3.1.1 幂法 74

3.1.2 反幂法 79

3.2 Jacobi方法 81

3.3 QR方法 87

3.3.1 矩阵的QR分解 87

3.3.2 矩阵的拟上三角化 92

3.3.3 带双步位移的QR方法 95

习题 100

第四章 非线性方程与非线性方法组的迭代解法 103

4.1 非线性方程的迭代解法 103

4.1.1 对分法 103

4.1.2 简单迭代法及其收敛性 104

4.1.3 简单迭代法的收敛速度 109

4.1.4 Steffensen加速收敛方法 112

4.1.5 Newton法 115

4.1.6 求方程m重根的Newton法 120

4.1.7 割线法 123

4.1.8 单点割线法 127

4.2 非线性方程组的迭代解法 131

4.2.1 一般概念 131

4.2.2 简单迭代法 134

4.2.3 Newton法 138

4.2.4 离散Newton法 140

习题 142

第五章 插值与逼近 144

5.1 代数插值 144

5.1.1 一元函数插值 144

5.1.2 二元函数插值 152

5.2 Hermite插值 156

5.3 样条插值 160

5.3.1 样条函数 160

5.3.2 三次样条插值问题 166

5.3.3 B样条为基底的三次样条插值函数 168

5.3.4 三弯矩法求三次样条插值函数 172

5.4 三角插值与快速Fourier变换 177

5.4.1 周期函数的三角插值 177

5.4.2 快速Fourier变换 180

5.5 正交多项式 183

5.5.1 正交多项式概念与性质 183

5.5.2 几种常用的正交多项式 187

5.6 函数的最佳平方逼近 193

5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法 193

5.6.2 正交函数系在最佳平方逼近中的应用 197

5.6.3 样条函数在最佳平方逼近中的应用 203

5.6.4 离散型的最佳平方逼近 205

5.6.5 曲线拟合与曲面拟合 207

习题 219

第六章 数值积分 226

6.1 求积公式及其代数精度 226

6.2 插值型求积公式 228

6.3 Newton-Cotes求积公式 230

6.4 Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性 236

6.5 复化求积法 237

6.5.1 复化梯形公式与复化Simpson公式 237

6.5.2 区间逐次分半法 242

6.6 Romberg积分法 244

6.6.1 Richardson外推技术 244

6.6.2 Romberg积分法 247

6.7 Gauss型求积公式 249

6.7.1 一般理论 249

6.7.2 几种Gauss型求积公式 255

6.8 二重积分的数值求积法 263

6.8.1 矩形域上的二重积分 263

6.8.2 一般区域上的二重积分 266

习题 267

第七章 常微分方程初值问题的数值解法 271

7.1 一般概念 271

7.2 显式单步法 273

7.2.1 显式单步法的一般形式 273

7.2.2 Runge-Kutta方法 275

7.2.3 相容性、收敛性和绝对稳定性 282

7.3 线性多步法 289

7.3.1 线性多步法的一般形式 289

7.3.2 预报-校正格式 294

7.3.3 相容性和收敛性 295

7.3.4 绝对稳定性 297

7.4 步长的选择 305

7.5 常微分方程组与刚性问题 307

7.5.1 常微分方程组初值问题的数值解法 307

7.5.2 刚性问题 313

习题 316

第八章 偏微分方程的差分解法 321

8.1 椭圆型方程第一边值问题 321

8.1.1 差分方程的建立 322

8.1.2 边界条件的使用 324

8.1.3 差分方程组解的存在唯一性 327

8.2 抛物型方程初边值问题 328

8.2.1 差分方程的建立与定解条件的离散化 329

8.2.2 差分方程的稳定性 340

8.3 双曲型方程的特征--差分解法 344

8.3.1 一阶双曲型方程 344

8.3.2 一阶双曲型方程组 350

8.3.3 二阶双曲型方程 351

习题 353

参考书目 357