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第十二章 不定积分 1

第一节 不定积分的概念与性质 1

一、原函数与不定积分的概念 1

二、基本积分公式表 2

三、不定积分的性质 3

习题12-1 5

第二节 换元积分法 5

一、第一类换元法(凑微分法) 6

二、第二类换元法 9

习题12-2 12

第三节 分部积分法 14

习题12-3 17

第四节 几种特殊类型函数的积分 18

一、有理函数的积分 18

二、三角函数的有理式的积分举例 22

三、简单无理函数的积分举例 23

四、杂例 24

习题12-4 28

第五节 积分表的使用 29

习题12-5 31

第十三章 定积分 32

第一节 定积分概念 32

一、定积分问题举例 32

二、定积分定义 33

习题13-1 35

第二节 定积分的性质 中值定理 36

一、积分的线性性质 36

二、积分对区间的可加性 36

三、积分的估值性质 37

四、积分中值定理 37

习题13-2 39

第三节 微积分基本公式 40

一、变速直线运动中位置函数与速度之间的联系 40

二、积分上限的函数及其导数 40

三、牛顿--莱布尼兹公式 42

习题13-3 44

第四节 定积分的换元法和分部积分法 45

一、定积分的换元积分法 45

二、定积分的分部积分法 48

三、杂例 50

习题13-4 50

第五节 广义积分 52

一、无穷限的广义积分 52

二、无界函数的广义积分 54

习题13-5 56

第十四章 多元函数积分学 57

第一节 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念和性质 57

一、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 57

二、积分的性质 60

习题14-1 60

第二节 二重积分的计算 61

一、利用直角坐标计算二重积分 61

二、二重积分的换元积分法 65

习题14-2 68

第三节 二重积分的计算 71

一、利用直角坐标计算三重积分 71

二、三重积分的换元积分法 72

习题14-3 76

第四节 第一类曲线积分的计算 77

一、平面曲线弧长的计算 77

二、第一类曲线积分的计算 78

习题14-4 81

第五节 第一类曲面积分的计算 81

一、曲面面积的计算 81

二、第一类曲面积分的计算 83

习题14-5 86

第六节 第二类曲线曲积分 87

一、第二类曲线积分的概念 87

二、第二类曲线积分的计算 89

三、两类曲线积分之间的联系 92

习题14-6 93

第七节 第二类曲面积分 94

一、第二类曲面积分的概念 94

二、第二类曲面积分的计算 97

三、两类曲面积分之间的联系 100

习题14-7 101

第八节 格林公式及其应用 102

一、格林(Green)公式 102

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 104

三、二元函数的全微分求积 105

习题14-8 108

第九节 高斯公式 通量与散度 109

一、高斯公式 109

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 111

三、通量与散度 112

习题14-9 113

第十节 斯托克斯公式 环流量与旋度 114

一、斯托克斯公式 114

二、空间曲线积分与路径无关的条件 116

三、环流量与旋度 117

习题14-10 118

第十五章 积分学应用 120

第一节 元素法 120

第二节 平面图形的面积 121

一、应用定积分计算平面图形的面积 121

二、应用二重积分计算平面图形的面积 123

三、应用曲线积分计算平面图形的面积 123

习题15-2 124

第三节 空间立体的体积 124

一、应用定积分计算立体的体积 124

二、应用二重积分计算立体的体积 127

三、应用三重积分计算立体的体积 128

习题15-3 128

第四节 变力作功 流体压力 引力 129

一、变力作功 129

二、液体压力 130

三、引力 131

习题15-4 133

第五节 重心转动惯量 134

一、重心 134

二、转动惯量 137

习题15-5 138

第六节 物体的动能 冲量 140

一、物体的动能 140

二、冲量 141

习题15-6 142

第七节 积分学在电学中的应用 142

一、交流电的平均功率 142

二、电势与电场强度 143

三、电场力及电场力作功 144

习题15-7 145

第十六章 无穷级数 146

第一节 常数项级数的概念和性质 146

一、常数项级数的概念 146

二、无穷级数的基本性质 147

三、级数收敛的必要条件 148

四、柯西审敛原理 148

习题16-1 149

第二节 常数项级数的审敛法 150

一、正项级数及其审敛法 150

二、交错级数及其审敛法 153

三、绝对收敛与条件收敛 154

习题16-2 155

第三节 广义积分的审剑法Γ函数 157

一、广义积分的审剑法 157

二、Γ函数 158

习题16-3 160

第四节 幂级数 160

一、函数项级数的一般概念 160

二、幂级数及其收敛性 161

三、幂级数的运算 163

习题16-4 165

第五节 函数展开成幂级数 165

一、泰勒级数 166

二、函数展开成幂级数 167

三、欧拉公式 170

习题16-5 171

第六节 付里叶级数 171

一、三角级数、三角函数系的正交性 172

二、以2π为周期的函数的付里叶级数 173

三、奇偶函数的付里叶展开式 175

四、在有限区间内函数的付里叶级数 176

五、周期为2l的周期函数的付里叶级数 178

习题16-6 180

第七节 付里叶级数的复数形式 181

第十七章 常微分方程 183

第一节 微分方程的基本概念 183

习题17-1 184

第二节 可分离变量的微分方程 185

习题17-2 186

第三节 齐次方程 187

一、齐次方程 187

二、可化为齐次的方程 188

习题17-3 189

第四节 一阶线性微分方程 190

一、线性方程 190

二、贝努里方程 191

习题17-4 192

第五节 全微分方程 193

习题17-5 194

第六节 可降阶的高阶微分方程 195

一、y(n)=f(x)型的微分方程 195

二、y =f(x,y )型的微分方程 195

三、y =f(y,y )型的微分方程 196

习题17-6 198

第七节 线性微分方程解的结构 199

习题17-7 200

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 201

习题17-8 204

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程 204

习题17-9 207

第十节 常系数非齐次线性方程的算子解法 207

习题17-10 210

第十一节 欧拉方程 211

习题17-11 212

第十二节 微分方程的幂级数解法 212

一、一阶微分方程的幂级数解法 212

二、二阶齐次线性方程的幂级数解法 213

习题17-12 214

第十三节 常系数线性微分方程组 214

习题17-13 216

第十八章 微分方程应用及模型 217

第一节 根据规律列方程类模型 217

一、凹镜的曲面方程 217

二、悬链线方程 218

三、小振幅的质点振动 219

四、R-L-C电路 223

第二节 微元分析法模型 224

一、容器漏水问题 224

二、杆件中热的传递 225

第三节 模拟近似法模型 226

一、人口模型 226

二、传染病传播模型 229

习题 231

第十九章 数值计算初步 232

第一节 数值积分 232

一、矩形法 232

二、梯形法 233

三、抛物线法(辛卜生法) 233

四、利用幂级数计算定积分 235

习题19-1 236

第二节 一元方程的近似解 236

一、对半分法 236

二、牛顿法 237

三、弦截法 238

习题19-2 240

第三节 解线性方程组的迭代法 240

一、雅可比迭代法 240

二、高斯--塞德尔迭代法 241

三、松驰迭代法 242

习题19-3 243

第四节 一阶常微分方程初值问题的数值解 243

一、欧拉方法 243

二、梯形方法 243

三、龙格--库塔法的基本思路 245

习题19-4 245

附录Ⅰ 几种常用的曲线 246

附表Ⅱ 积分表 249

习题参考答案 255