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第八章 多元函数微分法及其应用 1

§1 多元函数的概念 1

一、二元函数的概念 1

二、区域 2

三、二元函数的几何表示 3

四、多元函数及点函数的概念 3

习题8—1 3

§2 极限与连续 4

一、二元函数的极限 4

二、二元函数的连续性 6

习题8—2 7

§3 偏导数 8

一、偏导数的定义及其计算 8

二、二元函数偏导数的几何解释 10

三、高阶偏导数 10

习题8—3 11

§4 全微分及其应用 12

一、全微分的定义 12

二、全微分与偏导数 13

三、全微分在近似计算上的应用 15

一、复合函数的偏导数 16

习题8—4 16

§5 复合函数微分法 16

二、全导数 18

三、复合函数的高阶偏导数 19

四、全微分形式不变性 19

习题8—5 20

§6 隐函数微分法 21

一、一个方程确定的隐函数 21

二、方程组确定的隐函数 23

习题8—6 25

一、空间曲线的切线及法平面 26

§7 多元函数微分法的几何应用 26

二、曲面的切平面及法线 27

习题8—7 30

§8 方向导数与梯度 31

一、方向导数 31

二、梯度 32

习题8—8 33

§9 二元函数的泰勒公式 34

§10 多元函数的极值 37

一、多元函数的极值 37

习题8—9 37

二、多元函数的最大值与最小值 39

三、条件极值 拉格朗日乘数法 40

习题8—10 42

总习题八 43

第九章 重积分 45

§1 重积分的概念与性质 45

一、重积分的概念 45

二、重积分的性质 48

三、二重积分的几何意义 48

一、在直角坐标系中二重积分的计算法 49

习题9—1 49

§2 二重积分的计算法 49

习题9—2(1) 54

二、在极坐标系中二重积分的计算法 55

习题9—2(2) 58

三、二重积分的一般变量代换 60

习题9—2(3) 62

§3 三重积分的计算法 62

一、在直角坐标系中三重积分的计算法 62

习题9—3(1) 65

二、在柱坐标系中三重积分的计算法 66

三、在球坐标系中三重积分的计算法 67

习题9—3(2) 69

§4 重积分的应用 70

一、曲面的面积 70

二、重心 72

三、转动惯量 74

习题9—4 76

总习题九 77

二、第一型曲线积分的性质 79

一、第一型曲线积分的定义 79

§1 第一型曲线积分 79

第十章 曲线积分与曲面积分 79

三、第一型曲线积分的计算法 80

习题10—1 82

§2 第二型曲线积分 83

一、第二型曲线积分的定义 83

二、第二型曲线积分的性质 84

三、第二型曲线积分的计算法 84

四、两类曲线积分的关系 86

习题10—2 87

§3 格林(Green)公式及其应用 88

一、格林公式 88

二、曲线积分与路径无关的条件 92

三、全微分的原函数 93

习题10—3 96

§4 第一型曲面积分 97

习题10—4 99

§5 第二型曲面积分 100

一、第二型曲面积分的定义 100

二、第二型曲面积分的性质 101

三、第二型曲面积分的计算法 102

§6 高斯(Gauss)公式 散度 105

习题10—5 105

习题10—6 109

§7 斯托克司(Stokes)公式 旋度 110

习题10—7 115

总习题十 115

第十一章 级数 117

§1 常数项级数 117

一、常数项级数的概念 117

二、级数的基本性质 118

三、柯西收敛准则 121

习题11—1 122

一、正项级数及其敛散性的判别法 123

§2 常数项级数敛散性的判别法 123

二、交错级数及其收敛判别法 129

三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛 130

习题11—2 135

§3 幂级数 136

一、函数项级数的一般概念 136

二、幂级数及其收敛性 137

三、幂级数的运算 140

§4 函数展开成幂级数 143

一、泰勒级数 143

习题11—3 143

二、初等函数展开式 145

习题11—4 150

§5 幂级数在近似计算中的应用举例 150

一、函数值的近似计算 150

二、积分值的近似计算 152

三、欧拉公式 153

习题11—5 153

§6 付里叶级数 154

一、三角级数、三角函数系的正交性 154

二、以2n为周期的函数的付里叶级数 155

四、在有限区间内的函数的付里叶级数 159

三、奇偶函数的付里叶级数 159

五、周期变换 163

习题11—6 165

总习题十一 166

第十二章 微分方程 168

§1 微分方程的基本概念 168

习题12—1 170

§2 可分离变量的微分方程 170

§3 可化为可分离变量的微分方程 172

一、齐次方程 172

习题12—2 172

二、可化为齐次的方程 174

三、其它可化为可分离变量方程 174

习题12—3 175

§4 一阶线性微分方程 176

一、线性方程 176

二、贝努利方程 178

习题12—4 179

§5 全微分方程 180

习题12—5 182

§6 一阶微分方程应用举例 183

习题12—6 186

§7 可降阶的高阶微分方程 187

一、y ＝f(x)型的微分方程 187

二、y ＝f(x、y )型的微分方程 187

三、y ＝f(y，y )型的微分方程 189

习题12—7 191

§8 高阶线性微分方程及其解的结构 191

习题12—8 196

§9 二阶常系数齐次线性微分方程 196

习题12—9 199

一、f(x)＝e~(λx)p_m(x)型 200

§10 二阶常系数非齐次线性微分方程 200

二、f(x)＝e~x[P_1(x)cosβx＋P_n(x)sinβx]型 203

习题12—10 205

§11 欧拉方程 205

习题12—11 207

§12 微分方程的幂级数解法举例 207

习题12—12 209

§13 常系数线性微分方程组解法举例 209

习题12—13 210

总习题十二 211

习题答案 213