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第1章　集合与函数 1

1.1 集合 1

1.1.1　集合的概念 1

1.1.2　集合的运算 3

1.1.3　区间和邻域 4

习题1.1 6

1.2　函数 6

1.2.1　函数的概念 6

1.2.2　函数的几种特性 9

1.2.3　基本初等函数 11

1.2.4　初等函数 16

习题1.2 16

1.3　建立函数关系式 17

习题1.3 18

复习题1 19

习题参考答案 20

第2章 函数的极限与连续 23

2.1　函数的极限 23

2.1.1　数列的极限 23

2.1.2　函数的极限 25

习题2.1 28

2.2　无穷小量与无穷大量 29

2.2.1　无穷小量 29

2.2.2　无穷大量 31

2.2.3　无穷大量与无穷小量的关系 32

习题2.2 32

2.3　极限的运算法则 33

2.3.1　极限的基本性质 33

2.3.2　极限的运算法则 33

习题2.3 36

2.4　两个重要的极限 36

2.4.1　判定极限存在的两个准则 37

2.4.2　两个重要极限公式 37

习题2.4 40

2.5　函数的连续性 40

2.5.1 函数连续的概念 41

2.5.2　初等函数的连续性 42

2.5.3　函数的间断点 44

2.5.4　闭区间上连续函数的性质 45

习题2.5 46

复习题2 47

习题参考答案 48

第3章　函数的导数与微分 50

3.1　导数的概念 50

3.1.1 引例 50

3.1.2　导数的概念 51

3.1.3　导数的几何意义 53

3.1.4　可导与连续的关系 54

习题3.1 54

3.2　函数和、差、积、商的求导法则 55

习题3.2 56

3.3　反函数求导法则和复合函数求导法则 57

3.3.1　反函数求导法则 57

3.3.2　复合函数求导法则 58

3.3.3　初等函数的求导 59

习题3.3 60

3.4　隐函数的求导及参数方程的求导 61

3.4.1 隐函数的求导方法 61

3.4.2　对数求导方法 61

3.4.3 由参数方程确定的函数的求导法则 62

习题3.4 63

3.5　高阶导数 63

习题3.5 65

3.6　函数的微分 65

3.6.1　微分的概念 66

3.6.2　可微与可导的关系 66

3.6.3　微分的几何意义 67

3.6.4　微分公式与法则 67

3.6.5　微分的应用 68

习题3.6 69

复习题3 69

习题参考答案 71

第4章　微分中值定理与导数的应用 73

4.1　微分中值定理 73

4.1.1　微分中值定理 73

4.1.2　洛必达法则 76

习题4.1 79

4.2　函数的单调性 80

习题4.2 82

4.3 函数的极值与最值 82

4.3.1　极值 82

4.3.2　最值 84

习题4.3 85

4.4 曲线的凹凸性与拐点 86

习题4.4 87

4.5　图像的描绘 87

4.5.1 渐近线 87

4.5.2　图像的描绘 88

习题4.5 89

4.6 曲率 89

4.6.1 曲率的概念 89

4.6.2　曲率的计算公式 90

4.6.3 曲率圆与曲率半径 90

习题4.6 91

复习题4 91

习题参考答案 93

第5章　不定积分 95

5.1 不定积分的概念和性质 95

5.1.1 原函数 95

5.1.2　不定积分的概念 96

5.1.3　不定积分的几何意义 97

5.1.4　不定积分的性质 97

习题5.1 98

5.2　不定积分基本公式 98

习题5.2 100

5.3　换元积分法 100

5.3.1　第一换元积分法 100

5.3.2　第二换元积分法 104

习题5.3 106

5.4　分部积分法 106

习题5.4 108

5.5　积分表的使用方法 109

习题5.5 110

复习题5 110

习题参考答案 112

第6章 定积分 115

6.1　定积分的概念 115

6.1.1 引例 115

6.1.2　定积分的概念 117

6.1.3　定积分的几何意义 118

6.1.4　定积分的性质 120

习题6.1 122

6.2　微积分基本公式 122

6.2.1　积分上限函数 122

6.2.2　微积分基本公式 124

习题6.2 125

6.3　定积分的计算 126

6.3.1　换元积分法 126

6.3.2　分部积分法 128

习题6.3 130

6.4　广义积分 130

6.4.1　无穷区间上的广义积分 130

6.4.2　无界函数的广义积分 132

习题6.4 134

6.5　定积分的应用 134

6.5.1 微元法 134

6.5.2　定积分在几何上的应用 135

6.5.3　定积分在物理上的应用 138

习题6.5 140

复习题6 140

习题参考答案 142

第7章 向量代数与空间解析几何 144

7.1　空间直角坐标系 144

7.1.1　空间直角坐标系的概念 144

7.1.2　空间中点的坐标 145

7.1.3　两点间的距离公式和中点坐标表示 145

习题7.1 147

7.2　向量代数 147

7.2.1 向量的概念 147

7.2.2　向量的线性运算 148

7.2.3　向量的坐标表示 150

习题7.2 153

7.3 向量的数量积和向量积 153

7.3.1　两向量的数量积 154

7.3.2　两向量的向量积 156

习题7.3 158

7.4　平面与空间直线 158

7.4.1　图形与方程 159

7.4.2　平面 159

7.4.3　直线 163

习题7.4 167

7.5 曲面与空间曲线 167

7.5.1 曲面 168

7.5.2　空间曲线 172

7.5.3 空间曲线在坐标面上的投影 174

习题7.5 175

复习题7 175

习题参考答案 177

第8章　多元函数微分学 180

8.1 多元函数的概念和二元函数的极限与连续 180

8.1.1　多元函数的概念 180

8.1.2　二元函数的极限与连续 183

习题8.1 184

8.2　偏导数 185

8.2.1 多元函数的偏导数 185

8.2.2　高阶偏导数 187

习题8.2 188

8.3 全微分 189

8.3.1　全微分的概念 189

8.3.2　全微分的应用 191

习题8.3 192

8.4　多元复合函数的求导和隐函数的求导法则 192

8.4.1 多元复合函数的求导法则 192

8.4.2　隐函数的求导法则 194

习题8.4 196

8.5　偏导数在几何上的应用 196

8.5.1 空间曲线的切线和法平面 197

8.5.2　空间曲面的切平面和法线 199

习题8.5 200

8.6　多元函数的极值与最值 200

8.6.1　多元函数的极值 201

8.6.2　多元函数的最值 202

8.6.3　条件极值 203

习题8.6 205

复习题8 205

习题参考答案 207

第9章　多元函数积分学 211

9.1 二重积分的概念和性质 211

9.1.1　二重积分的概念 211

9.1.2　二重积分的几何意义 213

9.1.3　二重积分的性质 213

习题9.1 214

9.2　二重积分的计算 214

9.2.1　在直角坐标系下的计算 214

9.2.2　在极坐标系下的计算 218

习题9.2 222

9.3　二重积分的应用 222

9.3.1 二重积分在几何上的应用 222

9.3.2　二重积分在物理上的应用 224

习题9.3 225

复习题9 226

习题参考答案 227

第10章　无穷级数 229

10.1　常数项级数的概念及性质 229

10.1.1 常数项级数的基本概念 229

10.1.2　常数项级数的基本性质 231

习题10.1 232

10.2　正项级数及其审敛法 232

习题10.2 235

10.3　任意项级数及其审敛法 236

10.3.1　交错级数及其审敛法 236

10.3.2　绝对收敛与条件收敛 237

习题10.3 238

10.4　幂级数 239

10.4.1 函数项级数的概念 239

10.4.2　幂级数及其收敛性 239

10.4.3　幂级数的性质 242

10.4.4 函数的幂级数展开 243

习题10.4 247

复习题10 248

习题参考答案 249

第11章　常微分方程 251

11.1　微分方程的基本概念 251

习题11.1 253

11.2　一阶微分方程及其解法 254

11.2.1 可分离变量方程 254

11.2.2　一阶线性微分方程 256

习题11.2 258

11.3　可降阶的高阶微分方程 259

习题11.3 261

11.4　二阶线性微分方程解的结构 261

11.4.1　线性齐次方程解的结构 261

11.4.2　二阶线性非齐次微分方程解的结构 262

习题11.4 262

11.5　二阶常系数齐次线性方程的解法 263

习题11.5 264

11.6　二阶常系数非齐次线性方程的解法 265

习题11.6 268

复习题11 268

习题参考答案 269

附录A　积分表 271

附录B　常用数学公式 282

参考文献 285