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1 实数 1

1.1 集合表示法 1

1.2 实数的集合 2

1.3 算术四则运算 3

1.4 不等式 3

1.9 根 7

1.10 二次方程 8

1.13 无理数 10

1.14 模 12

2 连续统性质 15

2.1 阿溪里追乌龟 15

2.2 连续统性质 16

2.6 上确界与下确界 18

2.7 最大元与最小元 19

2.9 区间 20

2.11 上确界、上确界的运算 21

3 自然数 25

3.1 引言 25

3.2 阿基米德性质 25

3.7 归纳原理 27

4 收敛数列 33

4.1 平路机和蜜蜂 33

4.2 数列 34

4.4 收敛的定义 35

4.7 收敛准则 38

4.15 单调数列 43

4.21 收敛数列的一些简单性质 48

4.26 发散数列 49

5 子数列 53

5.1 子数列 53

5.8 波尔察诺-维尔斯特拉斯定理 60

5.12 上极限与下极限 62

5.16 柯西数列 66

6 级数 71

6.1 定义 71

6.4 正项级数 72

6.7 级数的基本性质 74

6.12 级数与柯西数列 76

6.20 绝对收敛与条件收敛 81

6.23 级数的运算 82

7 函数 86

7.1 表示法 86

7.6 多项式与有理函数 88

7.9 函数的组合 89

7.11 反函数 90

7.13 有界函数 92

8 函数的极限 96

8.1 左极限 96

8.2 右极限 96

8.3 f(x)→l当x→ξ 97

8.6 在一点的连续性 99

8.8 与收敛数列的联系 101

8.11 极限的性质 103

8.16 复合函数的极限 105

8.18 趋于∞ 106

9 连续 109

9.1 在区间上连续 109

9.7 连续性特征 111

10 导数与微分 118

10.1 导数 118

10.2 高阶导数 119

10.4 导数的另一个记法 121

10.5 可微函数的性质 123

10.12 复合函数 127

11 中值定理 131

11.1 局部最大值与局部最小值 131

11.3 稳定点 132

11.5 中值定理 134

11.9 泰勒定理 137

12 单调函数 141

12.1 定义 141

12.3 单调函数的极限 141

12.6 可微的单调函数 143

12.9 反函数 144

12.11 根 146

12.13 凸函数 148

13.1 面积 155

13 积分 155

13.2 积分 156

13.3 积分的一些性质 157

13.9 微分与积分 161

13.16 黎曼积分 165

13.19 积分的另一些性质 168

13.27 广义积分 173

13.31 欧拉-马克劳林求和公式 176

14 指数与对数 179

14.1 对数 179

14.4 指数 183

14.6 幂 184

15.1 收敛区间 187

15 幂级数 187

15.2 泰勒级数 190

15.7 连续性与可微性 193

16 三角函数 197

16.1 引言 197

16.2 正弦和余弦 199

16.4 周期性 202

17 Г-函数 207

17.1 斯特林公式 207

17.3 Г-函数 209

17.5 Г-函数的性质 211

18 附录 215

习题解答 231