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第三版序 1

第1章 复数 1

1 复数的代数学 1

1.1 算术运算 1

1.2 平方根 2

1.3 复数体的存在 4

1.4 共轭、绝对值 6

1.5 不等式 9

2.1 几何的加法及乘法 12

2 复数的几何表示 12

2.2 二项方程 14

2.3 解析几何 16

2.4 球面表示 17

第2章 复函数 21

1 解析函数的概念导引 21

1.1 极限与连续性 22

1.2 解析函数 24

1.3 多项式 28

1.4 有理函数 30

2.1 序列 33

2 幂级数的基础理论 33

2.2 级数 35

2.3 一致收敛性 36

2.4 幂级数 38

2.5 Abel极限定理 42

3 指数函数与三角函数 43

3.1 指数函数 43

3.2 三角函数 44

3.3 周期性 45

3.4 对数函数 47

1 初等点集拓扑 49

第3章 看成映照的解析函数 49

1.1 集和元素 50

1.2 度量空间 51

1.3 连通性 54

1.4 紧致性 59

1.5 连续函数 64

1.6 拓扑空间 67

2 共形性 69

2.1 弧与闭曲线 69

2.2 域内的解析函数 70

2.3 共形映照 75

2.4 长度和面积 77

3 线性变换 78

3.1 线性群 79

3.2 交比 81

3.3 对称性 83

3.4 有向圆 85

4 初等共形映照 91

4.1 阶层曲线的应用 91

4.2 初等映照概说 94

4.3 初等Riemann面 98

第4章 复积分 101

1 基本定理 101

1.1 线积分 101

1.2 可求长的弧 104

1.3 线积分作为弧的函数 105

1.4 矩形的Cauchy定理 109

1.5 圆盘中的Cauchy定理 112

2 Cauchy积分公式 114

2.1 一点关于闭曲线的指示数 114

2.2 积分公式 118

2.3 高阶导数 119

3 解析函数的局部性质 123

3.1 可去奇点，Taylor定理 123

3.2 零点和极点 126

3.3 局部映照 130

3.4 极值原理 134

4 Cauchy定理的一般形式 137

4.1 链和闭链 137

4.2 单连通性 139

4.3 同调 140

4.4 Cauchy定理的一般叙述 141

4.5 Cauchy定理的证明 142

4.6 局部正合微分 143

4.7 多连通域 146

5 留数计算 148

5.1 留数定理 148

5.2 幅角原理 152

5.3 定积分的计算 154

6 调和函数 161

6.1 定义和基本性质 161

6.2 均值性质 164

6.3 Poisson公式 166

6.4 Schwarz定理 168

6.5 对称原理 171

第5章 级数与乘积展开 174

1 幂级数展开式 174

1.1 Weierstrass定理 174

1.2 Taylor级数 178

1.3 Laurent级数 183

2 部分分式与因子分解 185

2.1 部分分式 186

2.2 无穷乘积 189

2.3 典型乘积 192

2.4 Г-函数 196

2.5 Stirling公式 199

3 整函数 205

3.1 Jensen公式 206

3.2 Hadamard定理 207

4 Riemannξ-函数 211

4.1 乘积展开 212

4.2 ξ(s)扩张到整个平面 213

4.3 函数方程 214

4.4 ξ-函数的零点 217

5.1 等度连续性 218

5 正规族 218

5.2 正规性和紧致性 219

5.3 Arzela定理 221

5.4 解析函数族 223

5.5 经典定义 225

第6章 共形映照.Dirichlet问题 228

1 Riemann映照定理 228

1.2 边界性态 231

1.3 反射原理的应用 232

1.4 解析弧 233

2 多边形的共形映照 234

2.1 在角上的性态 235

2.2 Schwarz-Christiffel公式 236

2.3 映成矩形的映照 238

2.4 Schwarz的三角形函数 240

3 调和函数的进一步观察 241

3.1 具有均值性质的函数 242

3.2 Harnack原理 243

4 Dirichlet问题 245

4.1 次调和函数 245

4.2 Dirichlet问题的解 248

5 多连通域的典型映照 252

5.1 调和测度 253

5.2 Green函数 258

5.3 具有平行缝的域 260

第7章 椭圆函数 263

1 单周期函数 263

1.1 用指数函数表示 263

1.2 Fourier展开 264

1.3 有穷阶函数 264

2.1 周期模 265

2 双周期函数 265

2.2 幺模变换 266

2.3 典型基 268

2.4 椭圆函数的一般性质 270

3 Weierstrass理论 272

3.1 Weierstrass？-函数 272

3.2 函数ξ(z)与σ(z) 274

3.3 微分方程 275

3.4 模函数λ(τ) 278

3.5 λ(τ)所作的共形映照 279

1.1 Weierstrass理论 284

第8章 整体解析函数 284

1 解析延拓 284

1.2 芽与层 285

1.3 截口与Riemann面 288

1.4 沿弧的解析延拓 290

1.5 同伦曲线 293

1.6 单值性定理 296

1.7 支点 298

2 代数函数 301

2.1 两多项式的结式 302

2.2 代数函数的定义与性质 303

2.3 临界点上的性态 305

3 Picard定理 306

3.1 空隙值 309

4 线性微分方程 310

4.1 寻常点 311

4.2 正则奇点 313

4.3 无穷远点附近的解 316

4.4 超比微分方程 317

4.5 Riemann的观点 321

索引 325