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目录 1

第一章 场论 1

§1-1场的概念 1

1-1-1场及其分类 1

1-1-2数量场的等值面（线） 2

1-1-3矢量场的矢量线 2

§1-2数量场的梯度 5

1-2-1方向导数 5

1-2-2梯度 8

§1-3矢量场的散度 12

1-3-1流量和通量 12

1-3-2通过闭曲面的流量和通量 14

1-3-3散度 16

1-3-4奥斯特罗格拉特斯基－高斯公式 17

§1-4矢量场的旋度 23

1-4-1环量（环流）及环量面密度 24

1-4-2格林公式和斯托克斯公式 25

1-4-3旋度 27

1-4-4平面矢量场的旋度 30

§1-5几种重要的矢量场 31

1-5-1势量场 32

1-5-2管量场 35

1-5-3调和场 36

§1-6哈密尔顿算子及拉普拉斯算子 37

1-6-1哈密尔顿算子 37

1-6-2拉普拉斯算子 39

第二章 传里叶级数及传里叶积分 40

§2-1传里叶级数的引进 40

§2-2三角函数系的正交性 40

§2-3传里叶级数及其收敛性 41

2-3-1传里叶级数 41

2-3-2传里叶级数的收敛性 43

§2-4函数的传里叶展开 45

2-4-1函数在〔-π,π〕区间上的传里叶展开 45

2-4-2偶函数及奇函数的传里叶展开 47

2-4-3函数在任意区间上的传里叶展开 49

§2-5传里叶积分 57

2-5-1传里叶级数的复指数形式 57

2-5-2传里叶积分定理 59

2-5-3传里叶积分的复指数形式 62

§2-6积分变换 64

2-6-1传里叶变换 64

2-6-2拉普拉斯变换 68

§2-7二重传里叶级数 72

2-7-1二元函数在〔-π,π；-π,π〕域上的传里叶展开 73

2-7-2二元函数在〔-ι,ι;－h,h〕域上的传里叶展开 74

3-1-1典型方程及其分类 77

§3-1概述 77

第三章 数学物理方程 77

3-1-2定解条件与定解问题的提法 81

3-1-3线性偏微分方程的解 85

§3-2抛物型方程 88

3-2-1有界杆中的导热 88

3-2-2无界杆中的导热——传里叶解及源函数 109

3-2-3半无界杆中的导热 118

3-2-4多维问题的传里叶解 124

3-2-5冶金应用实例 128

3-2-6抛物型方程的积分变换法求解 152

§3-3椭圆型方程——拉普拉斯方程 168

3-3-1二维稳态导热问题的传里叶解 168

3-3-2圆内狄里赫莱问题的传里叶解 173

§3-4双曲型方程 177

3-4-1无界弦的自由振动——达朗倍尔解 177

3-4-2有界弦的自由振动——传里叶解 180

3-4-3有界弦的强迫振动 184

第四章 线性代数 195

§4-1行列式和线性代数方程组 195

4-1-1n阶行列式及其性质 195

4-1-2线性代数方程组 205

§4-2矢量和矩阵 209

4-2-1n维矢量 209

4-2-2矢量系的线性相关性 212

4-2-3矩阵 214

§4-3线性代数方程组的求解 257

4-3-1线性代数方程组的相容性 257

4-3-2逆矩阵法——克莱姆规则的矩阵形式 260

4-3-3消去法 262

4-3-4迭代法 270

4-3-5求解三对角线性方程组的追赶法 288

4-3-6求解对称正定线性方程组的平方根法 290

第五章 计算方法 294

§5-1误差 294

5-1-1误差来源 294

5-1-2误差和误差限，有效数字 295

5-1-3相对误差和相对误差限 296

5-1-4误差的传播——和、差、积、商及函数的误差和相对误差 297

§5-2高次代数方程的求解 300

5-2-1引言 300

5-2-2二分法 301

5-2-3迭代法 303

5-2-4牛顿法 306

5-2-5弦截法 314

§5-3函数插值 318

5-3-1引言 318

5-3-2线性插值与二次插值 319

5-3-3均差和均差插值，插值余项 323

5-3-4拉格朗日插值公式 330

5-3-5差分和等距结点插值 332

5-3-6数值微分 338

§5-4数值积分 342

5-4-1梯形求积公式 342

5-4-2辛普生法 344

5-4-3柯特斯法及罗姆伯格公式 346

5-4-4高斯求积法 350

§5-5常微分方程的数值解法 355

5-5-1引言 355

5-5-2梯形法则及预测—校正公式 357

5-5-3龙格－库塔法 362

5-5-4步长的选择及稳定性问题 368

5-5-5一阶常微分方程组的数值解 372

§5-6偏微分方程的数值解法 375

5-6-1抛物型方程的差分解法 376

5-6-2椭圆型方程的差分解法 394

5-6-3双曲型方程的差分解法 398

附录Ⅰ 梯度、散度、旋度及调和量在柱坐标系和球坐标系中的表示式 400

附录Ⅱ 传里叶变换和拉普拉斯变换表 403

附录Ⅲ 几个特殊函数 415

1．Γ函数及Γ函数表 415

2．в函数 418

3．贝塞尔（柱）函数及其数值表 421

4．勒让德函数 444

附录Ⅳ 误差函数表 449

附录V 某些超越方程的根 451

表V-1atga=C或ctga=a/C(C＞0)的头六个根αn 451

表V-2Ctga+a=0或actga+C=0(C＞-1)的头六个根αn 452

表V-3aJ1(α)-CJ0(α)=0的头六个根αn 453

表V-4Jo(α)No(α)-No(α)Jo(ka)=0的头五个根αn 455