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1 函数的极限 1

1．1 数列极限 1

1．1．1 实数与绝对值 1

1．1．2 数列极限的定义 8

1．1．3 收敛数列 15

1．1．4 实数集对极限运算的完备性定理 29

习题1．1 37

1．2 函数极限 41

1．2．1 函数在无限大处的极限 42

1．2．2 函数在一点的极限 46

1．2．3 函数在一点的单侧极限 49

1．2．4 函数极限与数列极限的关系 52

1．2．5 函数极限的性质及四则运算 54

1．2．6 函数极限存在的判别法 58

1．2．7 两个重要的函数极限 62

1．2．8 无穷小量及其比较 67

1．2．9 无穷大量及其比较 72

习题1．2 76

1．3 函数的连续性 80

1．3．1 函数连续性的概念 81

1．3．2 连续函数的性质与四则运算 87

1．3．3 初等函数的连续性 90

1．3．4 双曲函数 93

1．3．5 闭区间上连续函数的性质 95

习题1．3 105

总复习题 109

2 单变量函数的微分学 111

2．1 函数的微商 111

2．1．1 微商的概念 111

2．1．2 简单函数的微商 116

2．1．3 微商的运算法则 119

2．1．4 反函数的微商 122

2．1．5 复合函数的微商 124

2．1．6 参数方程所表示的函数的微商 127

2．1．7 微商公式表，例 130

习题2．1 138

2．2 函数的微分 143

2．2．1 微分的概念 143

2．2．2 微分的运算法则与公式 146

2．2．3 函数值的近似计算 149

2．2．4 误差的估计 151

习题2．2 154

2．3．1 高阶微商 155

2．3 高阶微商与高阶微分 155

2．3．2 莱布尼兹公式 159

2．3．3 高阶微分 163

习题2．3 166

2．4 微分学的基本定理 168

2．4．1 费马定理与罗尔定理 168

2．4．2 中值定理 172

习题2．4 178

2．5 泰勒公式 180

2．5．1 泰勒公式 181

2．5．2 几个初等函数的泰勒展开式 186

2．5．3 泰勒公式在近似计算中的应用 190

习题2．5 192

2．6 未定式的极限 193

2．6．1 ?型未定式 193

2．6．2 ?型未定式 197

2．6．3 其它未定式 198

2．6．4 由泰勒公式求极限 201

习题2．6 203

2．7 函数的增减性与极值 205

2．7．1 函数增减性的判别 205

2．7．2 函数的极值 209

习题2．7 219

2．8 函数图形的描绘 221

2．8．1 曲线的凹凸性与扭转点 222

2．8．2 曲线的渐近线 226

2．8．3 作图的分析法，例 230

习题2．8 235

2．9 平面曲线的曲率 237

2．9．1 曲率的概念 237

2．9．2 曲率的计算 239

2．9．3 曲率圆 241

习题2．9 243

总复习题 244

3 单变量函数的积分学 247

3．1 不定积分 247

3．1．1 原函数与不定积分的概念 247

3．1．2 不定积分的公式表与运算法则 251

3．1．3 换元积分法 256

3．1．4 分部积分法 264

3．1．5 有理函数的积分 269

3．1．6 含有简单根式的积分 281

3．1．7 ?型函数的不定积分 283

3．1．8 三角函数有理式的积分 286

习题3．1 291

3．2 定积分的概念与可积函数 296

3．2．1 定积分概念的引入 297

3．2．2 定积分的定义 300

3．2．3 达布上和与达布下和 303

3．2．4 可积函数类 309

习题3．2 316

3．3 定积分的性质及其计算 317

3．3．1 定积分的基本性质 317

3．3．2 微积分的基本定理 329

3．3．3 定积分的换元法与分部积分法 337

习题3．3 347

3．4 定积分的近似计算 352

3．4．1 梯形法 352

3．4．2 抛物线法 355

3．4．3 机械求积公式 359

习题3．4 362

3．5．1 微元分析法 363

3．5 定积分的应用 363

3．5．2 平面图形的面积 364

3．5．3 平面曲线的弧长 368

3．5．4 利用横截面计算体积 374

3．5．5 旋转体的体积 376

3．5．6 旋转体的侧面积 377

3．5．7 函数的平均值 379

3．5．8 变力作功 381

3．5．9 液体的侧压力、引力 383

习题3．5 386

3．6 广义积分 388

3．6．1 无穷区间上的积分 388

3．6．2 无界函数的积分 392

3．6．3 广义积分的柯西主值 395

习题3．6 397

总复习题 398

4．1 常微分方程的基本概念 401

4 可积常微分方程 401

习题4．1 408

4．2 一阶常微分方程 409

4．2．1 可分离变量的方程 409

4．2．2 齐次方程 415

4．2．3 线性方程 425

4．2．4 贝努利方程 430

4．2．5 黎卡提方程 432

习题4．2 434

4．3．1 不显含未知函数的二阶方程 436

4．3 可降阶的二阶微分方程 436

4．3．2 不显含自变量的二阶方程 439

习题4．3 443

总复习题 444

答案 446

附录 473

1．希腊字母表 473

2．常用曲线图 474

3．简明积分表 478