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目录 1

在这本手册里能找到些什么 1

平面解析几何 3

§1．解析几何学概念 3

§2．坐标 4

§3．直角坐标系 4

§4．直角坐标 5

§5．象限 5

§6．斜角坐标系 6

§7．曲线方程 7

§8．线与点的相互位置 8

§9．两曲线的相互位置 9

§10．两点间的距离 9

§11．按定比分割线段 10

§12．二阶行列式 11

§11a．线段的二等分 11

§13．三角形的面积 12

§14．直线·就纵坐标解出的方程（斜截式） 13

§15．平行于坐标轴的直线 14

§16．直线的一般方程 15

§17．按直线方程作图 16

§18．两直线平行的条件 17

§19．两直线的相交 19

§20．两直线垂直的条件 20

§21．两直线的夹角 21

§22．三点在一条直线上的条件 24

§23．过两点的直线的方程 25

§24．直线束 26

§25．通过已知点且平行于已知直线的直线的方程 28

§26．通过已知点且垂直于已知直线的直线的方程 29

§27．直线与两定点的相互位置 30

§28．点至直线的距离 30

§29．直线的极参数 32

§30．直线的法线式方程 34

§31．化直线方程成法线式 35

§32．坐标轴上的截距 36

§33．直线的截距式方程 37

§34．坐标的变换（问题的提出） 38

§35．原点的平移 38

§36．轴的旋转 40

§37．代数曲线及其阶 41

§38．圆周 43

§39．圆周的圆心和半径的求法 44

§40．椭圆 46

§41．椭圆的另一个定义 48

§42．根据椭圆的轴作椭圆 50

§43．双曲线 51

§44．双曲线的形状·顶点和轴 53

§46．双曲线的渐近线 55

§45．根据双曲线的轴作双曲线 55

§47．共轭双曲线 56

§48．抛物线 57

§49．按已知参数p作抛物线 58

§50．方程形式如y＝ax2＋bx＋c的抛物线 58

§51．椭圆和双曲线的准线 61

§52．椭圆、双曲线和抛物线的共同定义 63

§53．圆锥曲线 65

§54．圆锥曲线的直径 67

§55．椭圆的直径 67

§56．双曲线的直径 69

§57．抛物线的直径 71

§58．二阶曲线 72

§59．一般二次方程 74

§60．二次方程的化简·概论 74

§61．二次方程的初步变换 75

§62．二次方程的结束变换 77

§63 关于二次方程化简的方法 84

§64．二阶曲线可分解的判别法 85

§65．求构成可分解的二阶曲线的直线 86

§66．二次方程的不变式 89

§67．二阶曲线的三种类型 92

§68．有心和无心二阶曲线 95

§69．有心二阶曲线中心的求法 96

§70．有心二阶曲线方程的化简 98

§71．方程形式为y＝？的等边双曲线 100

§72．方程形式为y＝？的等边双曲线 101

§73．极坐标 104

§74．极坐标与直角坐标的关系 106

§75．阿基米德螺线 108

§76．直线的极坐标方程 109

§77．圆锥曲线的极坐标方程 110

§79．几何学中的矢量 112

立体解析几何 112

§78．矢量和数量的概念 112

§80．矢量代数 113

§81．共线矢量 113

§82．零矢量 113

§83．矢量的相等 114

§84．化矢量成有公起点的矢量 115

§85．相反的矢量 115

§86．矢量加法 115

§87．几个矢量的和 117

§88．矢量减法 118

§89．用一数乘或除矢量 119

§90．共线矢量的相互关系 120

§91．点在轴上的投影 121

§92．矢量在轴上的投影 122

§93．矢量投影的基本定理 123

§94．空间直角坐标系 125

§95．点的坐标 126

§96．矢量的坐标 127

§97．用支量及坐标表示矢量的公式 128

§98．坐标为已知的矢量的运算 129

§99．用矢量的起点和终点矢径表示矢量的公式 129

§100．矢量的长度 130

§101．坐标轴与矢量的夹角 130

§102．判定矢量共线（平行）的准则 131

§103．按定比分割线段 132

§104．两矢量的数量积 133

§104a．数量积的物理意义 134

§105．数量积的性质 134

§106．基本矢量的数量积 136

§107．用矢量坐标表示数量积的公式 137

§108．两矢量垂直的条件 138

§109．两矢量的夹角 138

§110．三个矢量的右旋系统和左旋系统 139

§111．两矢量的矢量积 141

§112．矢量积的性质 143

§113．基本矢量的矢量积 144

§114．用矢量的坐标表示矢量积的公式 145

§115．共面矢量 147

§116．混合积 147

§117．混合积的性质 148

§118．三阶行列式 149

§119．用矢量的坐标表示混合积的公式 152

§120．共面性的坐标判别式 153

§121．平行六面体的体积 153

§122．双重矢量积 154

§123．平面方程 154

§124．坐标系中平面位置的特殊情形 156

§125．平面平行的条件 157

§126．平面垂直的条件 157

§127．两平面的夹角 158

§128．通过已知点且平行于已知平面的平面 159

§129．通过三点的平面 159

§130．坐标轴上的截距 160

§131．平面的截距式方程 160

§132．通过两点且垂直于已知平面的平面 161

§133．通过一已知点且垂直于两平面的平面 162

§134．三平面的交点 163

§135．平面与两定点的相互位置 164

§136．一点至平面的距离 164

§137．平面的极参数 165

§138．平面的法线式方程 167

§139．将平面方程化成法线式 168

§140．空间直线的方程 170

§141．两个一次方程能代表直线的条件 172

§142．直线与平面的相交 173

§143．方向矢量 174

§144．直线与坐标轴的夹角 175

§145．两直线的夹角 176

§146．直线与平面的夹角 177

§147．直线与平面平行和垂直的条件 177

§148．平面束 178

§149．直线在坐标平面上的投影 180

§150．直线的对称方程 182

§151．将直线方程化为对称式 184

§152．直线的参数方程 185

§153．平面与由参数式给定的直线的交点 186

§154．通过两已知点的直线方程 187

§155．通过已知点且垂直于已知直线的平面方程 187

§156．通过已知点且垂直于已知平面的直线方程 188

§157．通过已知点和已知直线的平面方程 188

§158．通过一已知点且平行于两已知直线的平面方程 189

§160．通过已知直线且垂直于已知平面的平面方程 190

§159．通过一已知直线且平行于另一已知直线的平面方程 190

§161．自定点至已知直线的垂线方程 191

§162．自已知点至已知直线的垂线长度 192

§163．两直线相交或在一个平面上的条件 193

§164．两已知直线的公垂线方程 195

§165．两直线间的最短距离 197

§165a．右旋直线对与左旋直线对 199

§166．坐标的变换 200

§167．曲面的方程 201

§168．母线与某坐标轴平行的柱面 202

§169．曲线的方程 204

§170．曲线在坐标平面上的投影 205

§171．代数曲面和它们的阶 207

§172．球面 207

§173．椭球面 208

§174．单叶双曲面 212

§175．双叶双曲面 214

§176．二阶锥面 215

§177．椭圆抛物面 217

§178．双曲抛物面 219

§179．二阶曲面表 220

§180．二阶曲面的直母线 223

§181．回转曲面 225

§182．二阶与三阶行列式 226

§183．高阶行列式 229

§184．行列式的性质 231

§185．计算行列式的实用方法 234

§186．应用行列式研究和解方程组 236

§187．两个二元方程 237

§188．两个三元方程 239

§189．两个三元齐次联立方程 241

§190．三个三元方程 242

§190a．n个n元联立方程 247

§191．引言 250

数学分析的基本概念 250

§192．有理数 251

§193．实数 252

§194．数轴 253

§195．变量与常量 253

§196．函数 253

§197．给定函数的方法 255

§198．函数的定义域 257

§199．区间 259

§200．函数的分类 261

§201．基本初等函数 262

§202．函数的记号 262

§203．数列的极限 264

§204．函数的极限 266

§205．函数极限的定义 268

§206．常量的极限 268

§208．无穷大量 269

§207．无穷小量 269

§209．无穷大量与无穷小量间的关系 270

§210．有界量 270

§211．极限概念的推广 271

§212．无穷小量的基本性质 272

§213．极限的基本定理 273

§214．数e 275

§215．？当x→0时的极限 276

§216．等价无穷小量 277

§217．无穷小量的比较 278

§217a．变量的增量 280

§218．函数在点上的连续性 281

§219．在点上连续的函数的性质 282

§219a．单侧极限·函数的跃度 283

§220．函数在闭区间上的连续性 284

§221．在闭区间上连续的函数的性质 284

§223．速度 286

微分 286

§222．引言 286

§224．导数的定义 288

§225．切线 290

§226．几个最简单的函数的导数 291

§227．导数的性质 292

§228．微分 293

§229．微分的力学解释 295

§230．微分的几何解释 295

§231．可微函数 295

§232．几个最简单的函数的微分 298

§233．微分的性质 299

§234．表示式f′（x）dx的不变性 299

§235．用微分表示导数的公式 300

§236．函数的函数（复合函数） 301

§237．复合函数的微分 301

§238．复合函数的导数 302

§239．乘积的微分法 304

§240．商（分式）的微分法 305

§241．反函数 306

§242．自然对数 307

§243．对数函数的微分法 309

§244．对数微分法 311

§245．指数函数的微分法 312

§246．三角函数的微分法 313

§247．反三角函数的微分法 314

§247a．几个供参考的例子 316

§248．近似计算中的微分 318

§249．微分在估计公式的误差中的应用 320

§250．隐函数的微分法 322

§251．曲线的参数式给定法 324

§252．函数的参数式给定法 326

§253．旋轮线 328

§254．平面曲线的切线方程 329

§254a．二阶曲线的切线 331

§255．法线方程 331

§256．高阶导数 333

§257．二阶导数的力学意义 334

§258．高阶微分 335

§259．用微分表示高阶导数的公式 338

§260．以参数式给定的函数的高阶导数 339

§261．隐函数的高阶导数 340

§262．莱布尼兹规则 341

§263．罗耳定理 343

§264．拉格朗日中值定理 344

§265．有限增量公式 346

§266．广义中值定理（科希定理） 348

§267．？型不定式的决定 351

§268．？型不定式的决定 354

§269．其他类型的不定式 355

§270．关于泰罗公式的历史知识 357

§271．泰罗公式 361

§272．泰罗公式在计算函数值中的应用 364

§273．增函数与减函数 373

§274．判定一点上函数增和减的准则 374

§274a．判定区间上函数增和减的准则 376

§275．极大值与极小值 376

§276．极大值与极小值的必要条件 377

§277．极大值和极小值的第一个充分条件 378

§278．求极大值与极小值的规则 379

§279．极大值和极小值的第二个充分条件 383

§280．函数的最大值与最小值的求法 386

§281．平面曲线的凸性·拐点 393

§282．凹形 394

§283．求拐点的规则 395

§284．渐近线 396

§285．平行于坐标轴的渐近线的求法 397

§286．不平行于纵轴的渐近线的求法 399

§287．作图法 402

§288．方程的解·通论 407

§289．方程的解·弦线法 408

§290．方程的解·切线法 411

§291．弦线切线联合法 413

积分 415

§292．引言 415

§293．原函数 417

§294．不定积分 418

§295．积分的几何解释 420

§296．根据初始条件计算积分常数 423

§297．不定积分的性质 424

§298．积分表 425

§299．直接积分 428

§300．换元法（利用辅助变量的积分） 429

§301．分部积分法 433

§302．某些三角表达式的积分 436

§303．三角代换 440

§304．有理函数 442

§304a．整部的取出 443

§305．关于积分有理分式的方法 443

§306．最简单有理分式的积分 445

§307．有理函数的积分（一般方法） 449

§308．关于多项式的因式分解 456

§309．关于以初等函数积出的可能性 458

§310．几个含根式的积分 458

§311．二项式微分的积分 460

§312．∫R(x,？)dx型积分 462

§313．∫R(sinx,cosx)dx型积分 465

§314．定积分 466

§315．定积分的性质 470

§316．定积分的几何解释 472

§317．定积分的力学解释 473

§318．定积分值的估计 475

§318a．布尼雅科夫斯基不等式 476

§319．积分的中值定理 477

§320．定积分作为上限的函数 478

§321．积分的微分 481

§322．微分的积分·牛顿-莱布尼兹公式 482

§323．利用不定积分计算定积分 485

§324．定积分的分部积分法 486

§325．定积分的换元法 487

§326．关于广义积分 492

§327．无穷限积分 493

§328．不连续函数的积分 498

§329．关于积分的近似计算 501

§330．矩形公式 504

§331．梯形公式 507

§332．辛卜森公式（抛物线梯形公式） 508

§333．直角坐标系中的图形面积 510

§334．列定积分公式的方法 513

§335．极坐标系中的图形面积 514

§336．利用横截面计算体积法 516

§337．回转体的体积 518

§338．平面曲线的弧长 519

§339．弧的微分 521

§340．极坐标系中的弧长及其微分 522

§341．回转曲面的面积 524

关于平面曲线和空间曲线的基本知识 526

§342．曲率 526

§343．平面曲线的曲率中心、曲率半径和曲率圆 527

§344．平面曲线的曲率、曲率半径和曲率中心的公式 528

§345．平面曲线的渐屈线 532

§346．平面曲线的渐屈线的性质 534

§347．平面曲线的渐伸线 535

§348．空间曲线的参数式 536

§349．螺旋线 537

§350．空间曲线的弧长 539

§351．空间曲线的切线 540

§352．法面 542

§353．变数的矢函数 543

§354．矢函数的极限 544

§355．矢函数的导数 545

§356．矢函数的微分 547

§357．矢函数的导数与微分的性质 548

§358．密切面 550

§359．主法线·伴随三面形 552

§360．曲线与平面的相互位置 553

§361．伴随三面形的基本矢量 554

§362．空间曲线的曲率中心、曲率轴和曲率半径 555

§363．空间曲线的曲率、曲率半径和曲率中心的公式 556

§364．关于曲率的正负号 559

§365．挠率 560

级数 563

§366．引言 563

§367．级数的定义 563

§368．收敛级数和发散级数 564

§369．级数收敛的必要条件 566

§370．级数的余部 569

§371．级数的最简单运算 570

§372．正项级数 572

§373．正项级数的比较 572

§374．正项级数的达朗倍尔准则 575

§375．收敛性的积分判别法 577

§376．交错级数·莱布尼兹准则 579

§377．绝对收敛与条件收敛 580

§378．适合于任何级数的达朗倍尔准则 582

§379．级数的项的排列 583

§380．级数的项的并组 584

§381．级数的乘法 586

§382．级数的除法 590

§383．函数项级数 592

§384．函数项级数的收敛域 592

§385．关于一致收敛和非一致收敛 595

§386．一致收敛与非一致收敛的定义 598

§387．一致收敛与非一致收敛的几何解释 598

§388．一致收敛的准则·正规级数 599

§389．级数和的连续性 600

§390．级数的积分 602

§391．级数的微分 606

§392．幂级数 607

§393．幂级数的收敛区间和收敛半径 608

§394．收敛半径的求法 609

§395．按x-x0的幂排列的级数的收敛域 612

§396．阿贝尔定理 613

§397．幂级数的运算 614

§398．幂级数的微分和积分 616

§399．泰罗级数 619

§400．函数的幂级数展开式 620

§401．初等函数的幂级数展开式 623

§402．级数在积分计算中的应用 628

§403．双曲线函数 630

§404．反双曲线函数 633

§405．双曲线函数名称的来源 636

§406．关于复数 637

§407．实自变量复数值函数 638

§408．复数值函数的导数 640

§409．正数的复数次方 641

§410．欧拉公式 643

§411．三角级数 644

§412．关于三角级数的历史知识 645

§413．函数系cosnx,sinnx的正交性 646

§414．欧拉-富里埃公式 648

§415．富里埃级数 651

§416．连续函数的富里埃级数 652

§417．偶函数和奇函数的富里埃级数 655

§418．不连续函数的富里埃级数 660

多元函数的微分与积分 664

§419．二元函数 664

§420．三元及三元以上的函数 665

§421．给定多元函数的方法 666

§422．多元函数的极限 668

§423．关于多元函数无穷小量的阶 670

§424．多元函数的连续性 672

§425．偏导数 673

§426．二元函数的偏导数的几何解释 674

§427．全增量与偏增量 674

§428．偏微分 675

§429．关于用微分表示偏导数的公式 676

§430．全微分 677

§431．二元函数全微分的几何解释 678

§432．全微分表达式f′xdx＋f′ydy＋f′zdz的不变性 679

§433．微分的技巧 680

§434．可微函数 681

§435．曲面的切面与法线 682

§436．切面方程 683

§437．法线方程 685

§438．复合函数的微分 685

§439 直角坐标换成极坐标的方法 686

§440．复合函数的导数公式 687

§441．全导数 688

§442．多元隐函数的微分 689

§443．高阶偏导数 692

§444．高阶全微分 694

§445．多次微分的技巧 696

§446．微分的简化记号 697

§447．多元函数的泰罗公式 698

§448．多元函数的极值（极大值与极小值） 700

§449．求极值的规则 701

§450．极值的充分条件（两个自变量时的情形） 703

§451．二重积分 704

§452．二重积分的几何解释 705

§453．二重积分的性质 706

§455．二重积分的计算（最简单的情形） 707

§454．二重积分值的估计 707

§456．二重积分的计算（一般的情形） 710

§457．点函数 714

§458．二重积分的极坐标表达式 715

§459．一块曲面的面积 718

§460．三重积分 720

§461．三重积分的计算（最简单的情形） 721

§462．三重积分的计算（一般的情形） 722

§464．三重积分的柱面坐标表达式 724

§463．柱面坐标 724

§465．球面坐标 725

§466．三重积分的球面坐标表达式 726

§467．列二重和三重积分公式的方法 728

§468．转动惯量 729

§469．某些物理量和几何量的二重积分表达式 731

§470．某些物理量和几何量的三重积分表达式 733

§471．曲线积分 735

§472．曲线积分的力学意义 737

§473．曲线积分的计算 737

§474．格林公式 739

§475．曲线积分不依赖于积分路线的条件 740

§476．上节所述条件的另一种形式 742

微分方程 745

§477．基本概念 745

§479．一阶微分方程的几何解释 747

§478．一阶微分方程 747

§480．等斜线 750

§481．一阶微分方程的特解与通解 751

§482．可分离变量的方程 753

§483．变量的分离·奇解 754

§484．全微分方程 756

§484a．积分因子 757

§485．齐次方程 758

§486．一阶线性方程 761

§487．克勒罗方程 763

§488．包络 765

§489．关于微分方程的可积性 767

§490．一阶方程的欧拉近似积分法 767

§491．微分方程的级数积分法 769

§492．关于列微分方程的方法 772

§493．二阶微分方程 776

§495．几种可降阶的情形 778

§494．n阶方程 778

§496．二阶线性方程 780

§497．二阶常系数线性方程 782

§498．右端为零的二阶常系数线性方程 783

§498a．上节中的第一与第三种情形间的关系 787

§499．右端不为零的二阶常系数线性方程 787

§500．任意阶线性方程 794

§501．变常数法 797

§502．微分方程组·线性方程组 798

表 801

Ⅰ．自然对数 801

Ⅱ．自然对数换算成常用对数的表 805

Ⅲ．常用对数换算成自然对数的表 805

Ⅳ．指数函数ex 806

Ⅴ．不定积分表 808

笔划索引 822