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第1篇 函数的微分学及其应用 2

第1章 坐标空间与解析几何方法 2

1.1坐标系与点集的描述 2

1.2向量的乘积运算——数量积、向量积 5

1.3曲面及其方程 7

1.4空间曲线及其方程 15

1.5空间曲线、曲面、立体在坐标面上的投影 18

1.6部分经常使用的中学数学内容回顾 21

习题 22

第2章 函数与极限 24

2.1函数的定义与例子 24

2.1.1函数的定义 24

2.1.2邻域的概念 24

2.1.3函数的例子 25

2.1.4函数的四则运算与复合运算 26

2.1.5函数的性质 27

2.2极限的概念与性质 29

2.3极限存在准则 两个重要极限 33

2.4极限的运算规则 35

2.5多元函数的极限 38

2.6极限的求法初步 39

习题 42

第3章 极限的应用 45

3.1函数的连续性 45

3.2连续函数的性质及应用 48

3.3一元函数的导数与微分 50

3.3.1导数的概念和简单的例子 50

3.3.2一元函数的求导法则与基本初等函数的导数公式 53

3.3.3一元复合函数的求导法则 55

3.3.4一元隐函数的求导法 56

3.3.5一元函数的高阶导数 58

3.3.6一元函数的微分 60

3.4多元函数的微分法 63

3.4.1偏导数、高阶偏导数 63

3.4.2全微分 66

3.4.3方向导数与梯度 68

3.4.4多元复合函数的求导法则 70

3.4.5隐函数的求导公式 73

3.5曲面的切平面和法线、曲线的切线和法平面 76

习题 78

第4章 微分中值定理与导数的应用 83

4.1微分中值定理 83

4.2洛必达（L’Hospital）法则 88

4.3函数的单调性、曲线的凹凸性与函数的极值 91

4.3.1函数的单调性 91

4.3.2曲线的凹凸性 92

4.3.3函数的极值 95

习题 102

第2篇 函数的积分学 108

第5章 不定积分 108

5.1原函数与不定积分的概念和性质 108

5.2积分方法 110

5.2.1凑微分法（第一换元法） 110

5.2.2去根式法（第二换元法） 112

5.2.3分部积分法 114

5.3杂例和有理函数的不定积分 116

习题 118

第6章 微分方程 121

6.1微分方程的概念及例题 121

6.2特殊类型微分方程的解法 122

6.2.1可分离变量的一阶微分方程 122

6.2.2可转换成分离变量方程的一阶微分方程 123

6.2.3可降阶的二阶微分方程 124

6.3线性微分方程 126

6.3.1一阶线性微分方程 126

6.3.2线性微分方程解的结构 127

6.4二阶常系数线性微分方程的解法 129

第7章 定积分 135

7.1积分的思想与方法 135

7.1.1定积分的概念 135

7.1.2定积分的性质 137

7.2牛顿—莱布尼茨公式 138

7.2.1定积分的换元积分法 139

7.2.2定积分的分部积分法 140

7.3反常积分 144

7.4曲线弧长的计算 147

习题 147

第8章 多元函数的积分学 151

8.1二重积分 151

8.1.1利用直角坐标计算二重积分 152

8.1.2利用极坐标计算二重积分 155

8.1.3曲面片的面积 159

8.2三重积分 161

8.2.1利用直角坐标计算三重积分 162

8.2.2利用柱面坐标计算三重积分 165

8.2.3利用球面坐标计算三重积分 166

8.3曲线积分 167

8.3.1对弧长的曲线积分（第Ⅰ型曲线积分） 167

8.3.2对坐标的曲线积分（第Ⅱ型曲线积分） 169

8.4格林（Green）公式及其应用 171

8.4.1格林（Green）公式 171

8.4.2曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积 175

8.5曲面积分 178

8.5.1对面积的曲面积分（第Ⅰ型曲面积分） 178

8.5.2对坐标的曲面积分（第Ⅱ型曲面积分） 179

8.5.3高斯（Gauss）公式 183

8.5.4斯托克斯（Stokes）公式 空间曲线积分与路径无关的条件 185

习题 189

第9章 无穷级数 194

9.1常数项级数 194

9.1.1级数的收敛性及其性质 194

9.1.2数项级数收敛性的判别方法 196

9.2函数项级数 202

9.2.1幂级数的收敛性 202

9.2.2幂级数的运算 204

9.3函数展开成级数 206

9.3.1函数展开成幂级数 207

9.3.2幂级数在数值计算的应用举例 209

9.3.3欧拉公式 210

9.4函数展开成三角级数 210

9.4.1无穷区间（-∞，∞）上周期函数展开成三角级数 211

9.4.2任意函数展开成三角级数 216

9.4.3傅立叶级数的复数表示形式 219

习题 220