常微分方程PDF电子书下载

第1章 绪论 1

1.1实际问题中的常微分方程 1

1.2基本概念 4

习题1 6

第2章 分离变量法 7

2.1变量分离方程与变量代换 7

2.1.1变量分离方程 7

2.1.2齐次方程 9

2.2线性方程与常数变易公式 9

习题2 11

第3章 常系数线性微分方程 12

3.1总论 12

3.2一阶常系数线性微分方程 13

3.3二阶常系数线性微分方程 17

3.3.1齐次方程 17

3.3.2非齐次方程 19

3.4高阶常系数线性微分方程 24

3.4.1齐次高阶常系数线性方程 24

3.4.2非齐次高阶常系数线性方程 28

3.5高阶常系数线性微分方程——特解求法 30

3.5.1算子方法 30

3.5.2复函数法 34

习题3 36

第4章 常系数线性微分方程组 38

4.1总论 38

4.1.1常系数线性微分方程组的表示 38

4.1.2向量和矩阵 39

4.1.3积分不等式 42

4.1.4存在唯一性定理 43

4.2齐次常系数线性微分方程组 45

4.2.1基解矩阵 45

4.2.2通解结构 45

4.3矩阵指数 48

4.3.1单位基解矩阵的表示——矩阵指数 48

4.3.2矩阵指数的性质 49

4.4矩阵指数eAx的计算方法 49

4.5非齐次常系数线性微分方程组 58

4.5.1通解结构 58

4.5.2常数变易公式 59

*4.5.3算子方法求特解 59

*4.5.4实例 63

习题4 66

第5章 变系数线性微分方程及线性模型 69

5.1变系数线性微分方程组 69

5.1.1解的存在唯一性定理 69

5.1.2通解结构 70

5.2线性空间 72

5.2.1线性方程组的解空间 72

5.2.2高阶纯量线性方程的解空间 73

5.3二阶变系数线性微分方程 75

5.3.1通解的结构 75

*5.3.2几种可积型二阶线性方程 76

5.3.3欧拉方程 78

5.3.4级数解法 79

5.4高阶变系数线性微分方程和变系数线性微分方程组的一些解法 82

5.5非齐次变系数线性方程组的常数变易公式 84

5.6线性模型 85

5.6.1质点的微小振动的数学模型 85

5.6.2人工养殖甲鱼的价格的数学模型 88

习题5 88

第6章 非线性微分方程 91

6.1一阶微分方程 91

6.1.1贝努利方程 91

6.1.2恰当方程与积分因子 92

6.2一阶隐方程 95

6.2.1形如y＝f（x，p）的方程 95

6.2.2形如x＝f（y，p）的方程 96

6.2.3形如f（y，p）＝0，f（x，p）＝0的方程 97

6.2.4克来罗方程 98

6.3高阶非线性微分方程 99

6.3.1不含坐标y的方程 99

6.3.2不含坐标x的方程 99

6.3.3凑微分法 100

6.4非线性微分方程组 102

6.4.1对称形式的方程组 102

6.4.2首次积分 103

*6.4.3机械能守恒定律 105

6.5非线性微分方程解的局部存在唯一性定理 105

*6.6解的延拓定理 108

*6.7解对初值的连续依赖性定理 111

习题6 113

第7章 初等奇点 116

7.1自治系统 116

7.2二维线性自治系统 116

第8章 稳定性理论初步 122

8.1稳定性的概念 122

8.1.1运动稳定性 122

8.1.2稳定性定义 123

8.1.3特解的稳定性转化为零解的稳定性 125

*8.2线性自治系统的稳定性 126

附录1 关于算子方法的一些命题和实例 129

附录2 首次积分 136

参考文献 139