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第1章 算法及误差分析 1

1.1算法简介 1

1.1.1数值分析的研究对象 1

1.1.2算法的基本特点 1

1.2误差分析 5

1.2.1误差的来源 5

1.2.2误差的基本概念 6

习题1 7

第2章 非线性方程的数值解法 8

2.1引言 8

2.1.1一元非线性方程求根 8

2.1.2求根的精确化方法 10

2.2二分法 10

2.2.1基本二分法 10

2.2.2二分法算法设计 12

2.3迭代法 13

2.3.1简单迭代法 13

2.3.2加速迭代公式 16

2.3.3牛顿（Newton）迭代法 19

2.4迭代法收敛性分析 21

2.4.1收敛性定义 22

2.4.2收敛性判别条件 22

2.4.3收敛阶（速度）及其判定 26

2.5 Newton迭代法的应用 28

2.5.1求重根和复根 28

2.5.2 Newton下降法 30

习题2 30

第3章 线性方程组的直接解法 32

3.1引言 32

3.1.1线性方程组的分类 32

3.1.2线性方程组的矩阵形式 32

3.1.3线性方程组解的存在惟一性 33

3.1.4线性方程组的解法 33

3.2高斯（Gauss）消元法 34

3.2.1 Gauss顺序消元法 34

3.2.2 Gauss顺序消元法的条件 38

3.3选主元的Gauss消元法 40

3.3.1 Gauss列主元消元法 40

3.3.2高斯—若当（Gauss-Jordan）消元法 44

3.4矩阵的三角分解 46

3.4.1初等变换矩阵 46

3.4.2矩阵的LU分解定理 48

3.4.3 LU分解算法 52

3.5追赶法 57

3.5.1三对角阵的克劳特（Crout）分解 57

3.5.2追赶法（利用Crout分解解线性方程组） 58

3.5.3追赶法求解公式的推导 60

习题3 63

第4章 线性方程组的迭代解法 65

4.1向量范数与矩阵范数 65

4.1.1向量范数 65

4.1.2向量序列的收敛性 66

4.1.3矩阵范数 67

4.1.4矩阵的特征值上界 68

4.1.5矩阵序列的收敛性 69

4.2迭代法 70

4.2.1问题的提出 70

4.2.2雅可比（Jacobi）迭代法 70

4.2.3高斯—塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 74

4.2.4迭代公式归纳 77

4.3迭代法的收敛性 78

4.3.1迭代法收敛的充要条件 78

4.3.2迭代法收敛的充分条件（一） 79

4.3.3迭代法收敛的充分条件（二） 81

4.3.4迭代法收敛性判别归纳 86

4.4逐次超松驰方法（SOR方法） 86

4.4.1 SOR公式 86

4.4.2 SOR公式的矩阵形式 87

4.4.3 SOR方法的计算表格 88

4.4.4 SOR方法的收敛性 89

4.5非线性方程组迭代解法简介 90

4.5.1直接迭代法（简单迭代法） 90

4.5.2 Newton-Raphson迭代法（N-R迭代法） 92

4.5.3拟Newton迭代法（Broyden方法） 94

习题4 97

第5章 矩阵的特征值和特征向量的计算 99

5.1预备知识（矩阵的特征值和特征向量） 99

5.2幂法与反幂法 100

5.2.1基本幂法 100

5.2.2规范化幂法 101

5.2.3原点平移法 103

5.2.4反幂法 106

5.2.5幂法与反幂法小结 108

习题5 109

第6章 插值法与曲线拟合 111

6.1一元代数函数插值 111

6.1.1插值问题 111

6.1.2插值多项式的存在惟一性 111

6.2拉格朗日（Lagrange）插值方法 112

6.2.1插值基函数 112

6.2.2 Lagrange插值多项式 113

6.2.3 Ln（x）的两种表达式 113

6.2.4插值应用举例 114

6.2.5插值余项 116

6.2.6 Lagrange插值方法评价 117

6.3 Newton均差插值方法 118

6.3.1均差与均差表 118

6.3.2 Newton均差插值多项式 118

6.3.3均差的性质 122

6.4埃尔米特（Hermite）插值方法 124

6.4.1 Hermite插值多项式 124

6.4.2两点三次Hermite插值公式 125

6.4.3分段低阶插值 127

6.5三次样条插值方法 128

6.5.1三次样条插值函数 129

6.5.2三次样条插值函数的构成 129

6.5.3第一边界条件下样条插值算法 132

6.6曲线拟合 134

6.6.1问题的提出 134

6.6.2实例分析 135

6.6.3超定方程组的最小二乘解 141

6.6.4多项式拟合的一般步骤 142

6.6.5曲线化直 143

习题6 144

第7章 数值积分 147

7.1数值求积公式 147

7.1.1关于牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式 147

7.1.2数值求积公式 147

7.1.3插值型求积公式 148

7.1.4牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式 149

7.2数值求积公式的代数精度 151

7.2.1代数精度的概念 151

7.2.2插值型求积公式余项估计 153

7.3复化求积公式 154

7.3.1复化梯形公式 154

7.3.2复化Simpson公式 155

7.3.3复化Cotes公式 155

7.3.4小结 157

7.4龙贝格（Romberg）求积方法 158

7.4.1变步长梯形方法（逐次半分法） 158

7.4.2 Romberg方法（逐次半分加速法） 160

7.4.3 Romberg算法设计 161

7.5 Gauss型求积公式 163

7.5.1两点Gauss公式 163

7.5.2正交多项式 164

7.5.3常用的Gauss型求积公式 166

习题7 170

第8章 常微分方程初值问题的数值解法 172

8.1初值问题与数值解 172

8.1.1一阶常微分方程的初值问题 172

8.1.2数值解与数值解法 174

8.2欧拉（Euler）公式与梯形公式 175

8.2.1 Euler公式（显式与隐式） 175

8.2.2两步Euler公式（Euler中点公式） 176

8.2.3梯形公式 176

8.3 Euler方法及其改进方法 177

8.3.1 Euler方法 177

8.3.2改进的Euler方法 180

8.4单步方法的截断误差与阶 182

8.5尤格—库塔（Runge-Kutta）方法 185

8.5.1 Runge-Kutta（简称R-K）方法的基本思路 185

8.5.2二阶R-K公式 186

8.5.3四阶R-K公式 188

8.6一阶常微分方程组初值问题的数值解法 190

8.6.1一阶常微分方程组的初值问题 190

8.6.2一阶常微分方程组的数值解法 190

8.7高阶方程初值问题的数值解法 193

8.8单步法的收敛性和稳定性 196

8.8.1引言 196

8.8.2单步方法的收敛性 197

8.8.3单步方法的稳定性 198

习题8 200

第9章 多元回归分析与趋势面分析简介 201

9.1多元线性回归分析 201

9.1.1引言 201

9.1.2多元线性回归的数学模型 201

9.1.3回归模型中的参数估计 202

9.1.4线性回归的效果检验 209

9.1.5线性回归模型的显著性检验 210

9.1.6线性回归模型中变量显著性检验 211

9.1.7线性回归模型预测精度估计 212

9.2多元逐步回归分析 217

9.2.1引言 217

9.2.2逐步回归算法的基本思路 218

9.2.3引入自变量的依据 218

9.2.4剔除自变量的依据 219

9.3趋势面分析 220

9.3.1数据变化与趋势面分析 220

9.3.2趋势面的最小二乘解（曲面拟合） 221

9.3.3多项式趋势面及参数估计 222

附录Ⅰ Matlab及其应用 229

1.1 Matlab简介 229

1.2最优化方法计算 237

1.3数据分析 245

1.4数值分析常用算法 253

附录Ⅱ习题详解及参考答案 265

参考书目 308