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预备知识 1

Ⅰ常用符号 1

一、集合符号 1

二、数集符号 1

三、逻辑符号 2

四、其他符号 3

Ⅱ常用不等式 3

一、绝对值不等式 3

二、伯努利不等式 4

三、均值不等式 4

四、双阶乘不等式 5

五、三角不等式 5

第一章 函数与极限 7

1.1函数及其初等性质 7

一、集合的映射与集合的基数 7

二、函数的概念 10

三、函数的初等性质 13

练习题1.1 15

1.2复合函数与反函数 17

一、复合函数 18

二、反函数 19

三、初等函数 20

练习题1.2 21

1.3数列的极限 22

一、数列极限概念 22

二、收敛数列的性质与运算 26

三、数列的收敛原理 30

四、子数列 34

练习题1.3 36

1.4函数的极限 38

一、函数极限概念 38

二、函数极限的性质与运算 43

三、函数极限的存在原理 47

练习题1.4 50

1.5无穷小和无穷大 52

一、无穷小 52

二、无穷大 52

三、无穷小的比较 54

练习题1.5 57

1.6上极限和下极限 58

一、数列的上极限和下极限 58

二、函数的上极限和下极限 63

练习题1.6 64

第二章 连续函数 66

2.1连续函数 66

一、函数的连续性与连续函数 66

二、间断点及其分类 69

练习题2.1 71

2.2连续函数的性质 72

一、连续函数的局部性质 72

二、连续函数的整体性质 74

三、反函数的连续性 79

四、初等函数的连续性 79

练习题2.2 81

第三章 导数与微分 84

3.1导数 84

一、变化率问题实例 84

二、导数概念 85

练习题3.1 90

3.2求导法则与导数公式 91

一、导数的四则运算法则 92

二、反函数的求导法则 93

三、复合函数的求导法则 94

四、初等函数的导数 96

五、导数的应用 97

练习题3.2 99

3.3隐函数与参数方程求导法则 101

一、隐函数求导法则 101

二、参数方程求导法则 103

练习题3.3 105

3.4微分 106

一、微分概念 106

二、微分的运算法则和公式 108

三、微分在近似计算上的应用 109

练习题3.4 111

3.5高阶导数和高阶微分 111

一、高阶导数 111

二、高阶微分 114

练习题3.5 115

第四章 微分学基本定理及其应用 117

4.1中值定理 117

一、费马引理 117

二、罗尔定理 118

三、拉格朗日定理 119

四、柯西定理 122

练习题4.1 123

4.2洛必达法则 125

一、0／0型 125

二、∞／∞型 127

三、其他待定型 129

练习题4.2 130

4.3泰勒公式 131

一、泰勒公式 131

二、常用的几个展开式及其应用 135

练习题4.3 139

4.4利用导数研究函数 140

一、函数的单调性 140

二、函数的极值与最值 142

三、函数的凸凹性 146

四、曲线的渐近线 151

五、函数作图 152

练习题4.4 153

第五章 积分学 156

5.1定积分 156

一、积累问题实例 156

二、定积分概念 158

5.2定积分的性质 160

一、定积分的性质 160

二、积分中值定理 162

练习题5.2 163

5.3微积分基本定理 164

一、依照定义计算定积分 164

二、积分上限函数与原函数 165

三、微积分基本公式 166

练习题5.3 168

5.4不定积分 169

一、不定积分概念 169

二、不定积分的运算法则 169

练习题5.4 171

5.5不定积分的计算 172

一、分部积分法 172

二、换元积分法 174

三、有理函数的不定积分 178

四、可有理化函数的不定积分 181

练习题5.5 184

5.6定积分的计算 186

一、定积分的分部积分法 186

二、定积分的换元积分法 187

练习题5.6 189

5.7定积分的应用 191

一、微元法 191

二、平面区域的面积 192

三、平面曲线的弧长 194

四、已知截面面积的立体的体积 197

五、旋转体的侧面积 198

六、液体压力与变力作功 199

七、利润问题与成本问题 200

八、平均值 201

练习题5.7 202

5.8可积性理论 203

一、可积准则 203

二、勒贝格定理 206

三、可积函数类与定积分的性质 211

练习题5.8 215

第六章 实数理论 217

6.1实数的构造 217

一、实数的定义 217

二、实数的四则运算 220

三、实数的序关系 222

四、实数与有理数的关系 223

练习题6.1 224

6.2实数的连续性 224

一、实数的连续性 224

二、实数连续性的几个等价定理 227

练习题6.2 232

附录 几种常用的曲线 233

练习题答案 236

参考文献 247