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引论 1

0.1　数值分析的对象与特点 1

0.2　数值计算的误差 2

0.3　数值方法的一般计算原则 9

习题 12

第一章　插值方法 14

1.1　一般插值问题 14

1.2　Lagrange（拉格朗日）插值公式 15

1.3　Newton（牛顿）插值公式 20

1.4　差分，等距节点插值多项式 23

1.4.1　差分及性质 23

1.4.2 向前插值公式及向后插值公式 25

1.5　Hermite（埃尔米特）插值 29

1.6　分段插值法 34

1.6.1　分段线性插值 35

1.6.2　分段三次Hermite插值 36

1.7　样条函数 37

1.8　插值问题的MATLAB实现与数学模型 41

1.8.1　插值的MATLAB实现 41

1.8.2　插值问题的数学模型 42

习题一 44

第二章 曲线拟合的最小二乘法 48

2.1　函数逼近问题 48

2.1.1　最佳平方逼近 48

2.1.2　最小二乘逼近 49

2.2　基本概念 49

2.3　正交多项式理论 51

2.3.1　Legendre（勒让德）多项式 53

2.3.2　Chebyshev（切比雪夫）多项式 56

2.3.3　Leguerre（拉盖尔）多项式 58

2.3.4　Hermite（埃尔米特）多项式 58

2.4　最佳平方逼近 60

2.4.1　法方程 60

2.4.2　用多项式作最佳平方逼近 63

2.4.3　用正交多项式作最佳平方逼近 64

2.5　最小二乘逼近 68

2.6　非线性最小二乘法 73

2.7　逼近与拟合的MATALB实现与数学模型 77

2.7.1　最小二乘拟合的MATLAB实现 77

2.7.2　薄膜渗透率的测定 77

2.7.3　录像机计数器的用途 79

习题二 81

第三章　数值积分 83

3.1 引言 83

3.2　Newton-Cotes（牛顿-柯特斯）公式 87

3.2.1 公式的导出 87

3.2.2　Newton-Cotes公式的性质 90

3.2.3　Newton-Cotes公式的代数精度和余项 90

3.2.4　复化求积法 92

3.3　Romberg（龙贝格）求积法 96

3.3.1　变步长梯形法 96

3.3.2　Romberg公式 98

3.4　Gauss（高斯）公式 100

3.4.1　一般情形的Gauss公式 100

3.4.2　带权的Gauss公式 103

3.5　MATLAB实现与数值积分的数学模型 104

3.5.1　数值积分的MATLAB实现 104

3.5.2　男大学生的身高问题 105

3.5.3　储量计算问题 107

习题三 109

第四章　常微分方程数值解法 111

4.1　基本概念 111

4.1.1 常微分方程初值问题的一般提法 111

4.1.2　初值问题数值解的基本概念 113

4.2　Euler方法 113

4.2.1　显式Euler方法 113

4.2.2　隐式Euler方法 114

4.2.3　梯形方法 115

4.2.4　改进的Euler方法 115

4.2.5　单步法的截断误差 117

4.3　Runge-Kutta方法 118

4.4　单步法的收敛性与稳定性讨论 121

4.4.1 单步法的收敛性与相容性 121

4.4.2　稳定性 122

4.5　线性多步法 124

4.5.1　Adams方法 124

4.5.2　一般线性多步法 128

4.6　线性多步法的收敛性与稳定性 130

4.6.1　线性多步法的收敛性 130

4.6.2　线性多步法的稳定性 131

4.7　常微分方程组初值问题数值方法 132

4.7.1 一阶常微分方程组初值问题数值方法 132

4.7.2　二阶常微分方程边值问题数值方法 133

4.8　MATLAB实现与常微分方程模型 134

4.8.1　Runge-Kutta方法的MATLAB的实现 134

4.8.2　单摆运动 135

习题四 136

第五章　线性方程组的数值解法 137

5.1　迭代法的数学基础 137

5.2　迭代法的收敛性与误差分析 140

5.2.1 单点线性迭代的收敛性分析 140

5.2.2　迭代公式的收敛速度 142

5.2.3　解的误差分析 142

5.3　Jacobi迭代法 143

5.3.1　Jacobi迭代公式的建立 143

5.3.2　Jacobi迭代公式的计算过程 144

5.3.3　Jacobi迭代公式的收敛性 145

5.4　Gauss-Seidel（高斯-塞德尔）迭代法和SOR迭代法 147

5.4.1　Gauss-Seidel迭代法 147

5.4.2　超松弛（Successive Over-Rdaxation,SOR）迭代法 150

5.4.3　某些特殊线性方程组的迭代法收敛性 151

5.5 消元法 154

5.5.1　三角形线性方程组的解法 154

5.5.2　Gauss消元法 155

5.5.3　Gauss列主元消元法 158

5.6　直接三角分解法 160

5.6.1　消元法的矩阵形式 160

5.6.2　矩阵的LU分解 162

5.6.3　基于LU分解的直接三角分解法 163

5.7　追赶法 164

5.7.1　三对角方程组 164

5.7.2　追赶法的计算公式 165

5.7.3　追赶法的矩阵形式 166

5.8　MATLAB实现与线性方程组模型 168

5.8.1　线性方程组求解的MATLAB实现 168

5.8.2　数学模型 169

习题五 172

第六章　非线性方程求根的迭代法 175

6.1　迭代法及其收敛性 176

6.1.1　迭代法的基本思想 176

6.1.2　初始近似根的确定 177

6.1.3　迭代法的收敛性 178

6.1.4　迭代法的收敛速度 182

6.2　迭代法的加速 183

6.2.1　松弛法与Aitken方法 183

6.2.2　Steffenson（斯蒂芬森）加速迭代法 185

6.3　Newton法 185

6.3.1　Newton迭代格式 185

6.3.2　Newton下山法 188

6.4　弦截法与抛物线法 189

6.4.1 弦截法 189

6.4.2　抛物线法 192

6.5　非线性方程组的求解方法 194

6.5.1　Newton迭代法 194

6.5.2　最速下降法 196

6.6　MATLAB实现与非线性方程模型 198

6.6.1 求解线性方程组的MATLAB实现 198

6.6.2　数学模型 200

习题六 202

附录 MATLAB简介 204

一、MATLAB环境 204

二、矩阵及其运算 208

三、绘图功能 215

四、程序设计 224

五、其他 231

参考文献 232