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预备知识 1

第1章 极限与连续 5

1.1 函数的极限 5

1.1.1 当x→∞时函数的极限 5

1.1.2 当x→x0时，函数f（x）的极限 6

1.1.3 函数极限的性质 6

练习题1.1 7

1.2 无穷小与无穷大 7

1.2.1 无穷小 7

1.2.2 无穷大 8

练习题1.2 9

1.3 极限运算法则 9

练习题1.3 12

1.4 两个重要极限 13

1.4.1 重要极限？sinx/x=1 13

1.4.2 重要极限？(1+1/x)x=e 14

练习题1.4 14

1.5 初等函数的连续性 15

1.5.1 函数的增量 15

1.5.2 函数连续性概念 16

1.5.3 函数的间断点 18

1.5.4 初等函数的连续性 18

1.5.5 闭区间上连续函数的性质 19

练习题1.5 20

复习题1 21

第2章 导数与微分 24

2.1 导数的概念 24

2.1.1 变化率问题举例 24

2.1.2 导数的定义 25

2.1.3 求导数举例 26

2.1.4 导数的几何意义 29

2.1.5 可导与连续的关系 30

练习题2.1 31

2.2 求导法则与求导公式 32

2.2.1 导数的四则运算法则 32

2.2.2 复合函数的求导法则 33

2.2.3 隐函数的求导法则 34

2.2.4 常数和基本初等函数的导数公式 36

2.2.5 高阶导数 37

练习题2.2 38

2.3 函数的微分 39

2.3.1 微分的定义 39

2.3.2 微分的几何意义 41

2.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 41

2.3.4 微分在近似计算上的应用 43

练习题2.3 45

复习题2 47

第3章 微分中值定理与导数的应用 50

3.1 微分中值定理与应用 50

3.1.1 拉格朗日中值定理 50

3.1.2 洛必达法则 52

练习题3.1 53

3.2 函数单调性与极值 54

3.2.1 函数单调性的判定法 54

3.2.2 函数的极值及其求法 56

3.2.3 函数的最大值和最小值 60

练习题3.2 62

3.3 曲线的凹凸与拐点 62

练习题3.3 65

3.4 曲率 65

3.4.1 弧微分 65

3.4.2 曲率及其计算 67

3.4.3 曲率圆和曲率半径 69

练习题3.4 71

复习题3 72

第4章 不定积分 76

4.1 不定积分概念和性质 76

4.1.1 原函数与不定积分概念 76

4.1.2 不定积分性质 78

4.1.3 基本积分公式 79

练习题4.1 79

4.2 换元积分法 80

4.2.1 直接积分法（公式法） 80

4.2.2 换元积分法 81

练习题4.2 87

4.3 分部积分法 88

练习题4.3 90

复习题4 91

第5章 定积分及其应用 93

5.1 定积分的定义及其性质 93

5.1.1 引例 93

5.1.2 定积分的定义 95

5.1.3 定积分的几何意义 96

5.1.4 定积分的基本性质 97

练习题5.1 98

5.2 定积分的计算 98

5.2.1 积分上限函数及其导数 98

5.2.2 牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式 99

练习题5.2 100

5.3 定积分换元积分法和分部积分法 100

5.3.1 定积分的换元积分法 100

5.3.2 定积分的分部积分法 102

练习题5.3 104

5.4 广义积分 104

练习题5.4 105

5.5 定积分在几何上的应用 105

5.5.1 定积分元素法 105

5.5.2 平面图形的面积 106

5.5.3 旋转体的体积 108

5.5.4 平面曲线的弧长 110

练习题5.5 111

5.6 定积分在物理上的应用 112

5.6.1 变力沿直线运动 112

5.6.2 静水的压力 113

练习题5.6 114

复习题5 116

第6章 常微分方程 118

6.1 微分方程基本概念 118

6.1.1 引例 118

6.1.2 微分方程及其解 118

6.1.3 可分离变量的微分方程 120

练习题6.1 121

6.2 一阶线性微分方程 122

练习题6.2 125

复习题6 126

第7章 二元函数的微积分 128

7.1 向量与空间 128

7.1.1 空间直角坐标系 128

7.1.2 几种常见的曲面及其方程 129

练习题7.1 131

7.2 多元函数与二元函数微分 131

7.2.1 多元函数的概念、二元函数的极限与连续 131

7.2.2 二元函数的偏导数 132

7.2.3 二元函数的全微分 134

7.2.4 二元函数的极值 135

练习题7.2 138

7.3 二重积分 139

7.3.1 二重积分的概念 139

7.3.2 二重积分的计算（在直角坐标系下） 142

练习题7.3 144

复习题7 145

第8章 级数 147

8.1 无穷级数 147

8.1.1 数项级数的概念 147

8.1.2 数项级数的性质 148

8.1.3 级数收敛的必要条件 150

练习题8.1 151

8.2 数项级数的审敛法 151

8.2.1 正项级数及其审敛法 151

8.2.2 交错级数及其审敛法 156

8.2.3 任意项级数及其审敛法 157

练习题8.2 158

8.3 幂级数 159

8.3.1 函数项级数的一般概念 159

8.3.2 幂级数及其收敛区间 160

8.3.3 幂级数的运算 163

练习题8.3 165

8.4 函数展开成幂级数 165

8.4.1 泰勒（Taylor）级数 165

8.4.2 直接展开法 167

练习题8.4 168

8.5 傅里叶级数 168

8.5.1 三角函数系的正交性 168

8.5.2 函数展开为傅里叶级数 169

练习题8.5 171

8.6 拉普拉斯变换 171

8.6.1 拉普拉斯变换的概念 171

8.6.2 拉普拉斯逆变换 173

8.6.3 拉普拉斯变换的应用 178

练习题8.6 180

复习题8 182

第9章 线性代数 184

9.1 行列式 184

9.1.1 二阶与三阶行列式 184

9.1.2 n阶行列式 187

9.1.3 克莱姆法则 190

练习题9.1 192

9.2 矩阵 193

9.2.1 矩阵的概念 193

9.2.2 矩阵的运算 194

9.2.3 逆矩阵 198

9.2.4 矩阵的初等变换 199

练习题9.2 201

9.3 线性方程组 201

9.3.1 高斯消元法 201

9.3.2 线性方程组解的判定 204

9.3.3 线性方程组的结构 205

练习题9.3 208

复习题9 209

第10章 概率与统计初步 213

10.1 随机事件及其概率 213

10.1.1 随机事件的概念及其关系 213

10.1.2 概率的定义 216

10.1.3 概率计算的有关公式 218

练习题10.1 223

10.2 随机变量的概率分布与数字特征 224

10.2.1 随机变量的概率分布 224

10.2.2 随机变量的数字特征 232

练习题10.2 237

10.3 统计基本概念及常见统计量的分布 238

练习题10.3 241

10.4 参数估计 241

10.4.1 点估计 241

10.4.2 参数的区间估计 243

练习题10.4 246

10.5 一元线性回归 247

10.5.1 一元线性回归 247

10.5.2 线性相关性的显著性 251

练习题10.5 252

复习题10 253

参考答案 256

附录1 数学实验 276

附录2 数学建模 282

附录3 数学常用公式 292

主要参考文献 298