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第一章 常微分方程初值问题的数值解法 1

§1 引论 1

1.1 一阶常微分方程初值问题 1

1.2 Euler法 1

1.3 线性差分方程 5

1.4 Gronwall不等式 9

习题 10

§2 线性多步法 10

2.1 数值积分法 11

2.2 待定系数法 17

2.3 预估-校正算法 19

2.4 多步法的计算问题 21

习题 21

§3 相容性、稳定性和误差估计 22

3.1 局部截断误差和相容性 22

3.2 稳定性 23

3.3 收敛性和误差估计 28

习题 29

§4 单步法和Runge-Kutta（龙格-库塔）法 30

4.1 Ta|ylor展开法 30

4.2 单步法的稳定性和收敛性 31

4.3 Runge-Kutta法 33

习题 37

§5 绝对稳定性和绝对稳定域 38

5.1 绝对稳定性 38

5.2 绝对稳定域 40

5.3 应用例子 41

习题 44

§6 一阶方程组和刚性问题 44

6.1 对一阶方程组的推广 44

6.2 刚性问题 46

6.3 A稳定性 48

6.4 数值例子 50

*§7 外推法 51

7.1 多项式外推 51

7.2 对初值问题的应用 53

7.3 用外推法估计误差 53

习题 54

第二章 椭圆型方程的有限差分法 55

§1 差分逼近的基本概念 55

§2 一维差分格式 60

2.1 直接差分化 60

2.2 有限体积法 62

2.3 待定系数法 65

2.4 边值条件的处理 66

习题 67

§3 矩形网的差分格式 67

3.1 五点差分格式 68

3.2 边值条件的处理 72

3.3 极坐标形式的差分格式 74

习题 75

§4 三角网的差分格式 76

习题 80

*§5 极值定理和敛速估计 80

5.1 差分方程 80

5.2 极值定理 83

5.3 五点格式的敛速估计 84

习题 85

§6 迭代法 86

6.1 一般迭代法 89

6.2 SOR法（逐次超松弛法） 91

习题 93

§7 交替方向迭代法 94

习题 98

§8 预处理共轭梯度法 98

8.1 共轭梯度法 98

8.2 预处理共轭梯度法 100

习题 104

§9 数值例子 104

第三章 抛物型方程的有限差分法 107

§1 最简差分格式 107

习题 112

§2 稳定性与收敛性 113

2.1 稳定性概念 113

2.2 判别稳定性的直接估计法（矩阵法） 115

2.3 收敛性与敛速估计 119

习题 121

§3 Fourier方法 121

习题 127

§4 判别差分格式稳定性的代数准则 127

习题 132

*§5 变系数抛物方程 132

习题 136

§6 分数步长法 136

6.1 ADI法 137

6.2 预-校法 139

6.3 LOD法 140

习题 141

§7 数值例子 141

7.1 一维抛物方程的初边值问题 141

7.2 二维抛物方程的初边值问题 143

7.3 含对流项的抛物方程 145

第四章 双曲型方程的有限差分法 150

§1 波动方程的差分逼近 150

1.1 波动方程及其特征 150

1.2 显格式 151

1.3 稳定性分析 153

1.4 隐格式 157

1.5 数值例子 157

习题 158

§2 一阶线性双曲方程组 159

2.1 双曲型方程组及其特征 159

2.2 Cauchy问题、依存域、影响域和决定域 162

2.3 初边值问题 164

习题 165

§3 初值问题的差分逼近 166

3.1 迎风格式 166

3.2 积分守恒差分格式 169

3.3 粘性差分格式 171

3.4 其他差分格式 173

习题 174

§4 初边值问题和对流占优扩散方程 175

4.1 初边值问题 175

4.2 对流占优扩散方程 177

4.3 数值例子 179

习题 181

第五章 边值问题的变分形式与Ritz-Galerkin法 183

§1 二次函数的极值 183

习题 185

§2 Sobolev空间初步 185

2.1 弦的平衡 185

2.2 一维区间上的Sobolev空间Hm（I） 187

2.3 平面域上的Sobolev空间Hm（G） 191

习题 192

§3 两点边值问题 192

3.1 极小位能原理 192

3.2 虚功原理 197

习题 198

§4 二阶椭圆边值问题 198

4.1 极小位能原理 198

4.2 自然边值条件 202

4.3 虚功原理 203

习题 204

§5 Ritz-Galerkin方法 205

习题 211

§6 谱方法 211

6.1 三角函数逼近 212

6.2 Fourier谱方法 214

6.3 拟谱方法（配置法） 218

第六章 Galerkin有限元法 221

§1 两点边值问题的有限元法 221

1.1 从Ritz法出发 222

1.2 从Galerkin法出发 226

1.3 收敛性和误差估计 229

习题 231

§2 一维高次元 231

2.1　一次元（线性元） 232

2.2 二次元 232

2.3 三次元 234

习题 237

§3 解二维问题的矩形元 237

3.1 Lagrange型公式 237

3.2 Hermite型公式 240

习题 242

§4 三角形元 242

4.1 面积坐标及有关公式 243

4.2 Lagrange型公式 245

4.3 Hermite型公式 246

习题 247

*§5 曲边元和等参变换 247

§6 二阶椭圆方程的有限元法 252

6.1 有限元方程的形成 252

6.2 矩阵元素的计算 253

6.3 边值条件的处理 255

6.4 举例：Poisson方程的有限元法 257

6.5 数值例子 260

习题 262

*§7 多重网格法 262

7.1 差分形式的二重网格法 263

7.2 有限元形式的二重网格法 266

7.3 多重网格迭代和套迭代技术 267

§8 初边值问题的有限元法 268

8.1 热传导方程 269

8.2 波动方程 271

名词索引 273

参考文献 277