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第8章 无穷级数 1

8.1 常数项级数的概念和性质 1

8.1.1 常数项级数的概念 1

8.1.2 收敛级数的基本性质 4

习题8.1 6

8.2 常数项级数的审敛法 7

8.2.1 正项级数及其审敛法 7

8.2.2 交错级数及其审敛法 11

8.2.3 绝对收敛与条件收敛 12

习题8.2 13

8.3 幂级数 14

8.3.1 函数项级数的概念 14

8.3.2 幂级数及其收敛性 15

8.3.3 幂级数的运算 18

习题8.3 20

8.4 初等函数的幂级数展开 21

8.4.1 泰勒级数 21

8.4.2 函数展开成幂级数的方法 22

习题8.4 26

8.5 函数幂级数展开式的应用 27

8.5.1 函数值的近似计算 27

8.5.2 定积分的近似计算 29

8.5.3 欧拉公式 29

习题8.5 31

8.6 傅里叶级数 31

8.6.1 三角级数及三角函数系的正交性 31

8.6.2 周期为2π的函数展开成傅里叶级数 32

8.6.3 周期为2l的函数展开成傅里叶级数 37

习题8.6 40

本章总结 40

第9章 向量代数与空间解析几何 42

9.1 预备知识 42

9.1.1 向量的概念 42

9.1.2 向量的线性运算 43

9.1.3 二阶与三阶行列式 45

习题9.1 47

9.2 空间直角坐标系及向量坐标 48

9.2.1 空间直角坐标系 48

9.2.2 向量的坐标表示 48

9.2.3 向量线性运算的坐标表示 49

9.2.4 向量的模、方向余弦、投影 51

习题9.2 53

9.3 数量积 向量积 混合积 54

9.3.1 两向量的数量积 54

9.3.2 两向量的向量积 56

9.3.3 向量的混合积 59

习题9.3 60

9.4 平面及其方程 60

9.4.1 平面的点法式方程 61

9.4.2 平面的一般方程 63

9.4.3 平面的截距式方程 64

9.4.4 两平面的夹角 66

习题9.4 68

9.5 空间直线及其方程 68

9.5.1 空间直线的一般方程 68

9.5.2 空间直线的对称式方程与参数方程 69

9.5.3 两直线的夹角 72

9.5.4 直线与平面的夹角 73

9.5.5 平面束 74

习题9.5 75

9.6 曲面及其方程 76

9.6.1 球面 76

9.6.2 柱面 76

9.6.3 旋转曲面 78

9.6.4 椭圆锥面 80

9.6.5 椭球面 81

9.6.6 双曲面 81

9.6.7 抛物面 82

习题9.6 83

9.7 空间曲线及其方程 83

9.7.1 空间曲线的一般方程 83

9.7.2 空间曲线的参数方程 84

9.7.3 曲面的参数方程 85

9.7.4 空间曲线在坐标面上的投影 86

习题9.7 88

本章总结 89

第10章 多元函数微分法及其应用 90

10.1 预备知识 90

10.1.1 平面及其表示 90

10.1.2 平面点集 90

10.1.3 邻域 90

10.1.4 内点、外点、边界点 91

10.1.5 聚点、导集 91

10.1.6 开集、闭集、连通集 91

10.1.7 开区域、闭区域 92

10.1.8 有界集、无界集 92

10.1.9 两点间距离公式 92

习题10.1 92

10.2 多元函数的概念、极限与连续性 93

10.2.1 多元函数的基本概念 93

10.2.2 多元函数的极限 95

10.2.3 多元函数的连续性 96

习题10.2 98

10.3 偏导数 98

10.3.1 偏导数的基础知识 99

10.3.2 高阶偏导数 103

习题10.3 105

10.4 全微分及其应用 105

10.4.1 全微分 106

10.4.2 利用全微分进行近似计算 109

习题10.4 110

10.5 多元复合函数及其求导法则 110

10.5.1 多元复合函数的求导法则 110

10.5.2 多元复合函数的全微分 114

习题10.5 116

10.6 隐函数的求导法则 116

10.6.1 一个方程确定的隐函数及其导数 117

10.6.2 方程组确定的隐函数及其偏导数 121

习题10.6 125

10.7 多元函数微分学的几何应用 125

10.7.1 空间曲线的切线与法平面 125

10.7.2 曲面的切平面与法线 128

习题10.7 131

10.8 方向导数与梯度 131

10.8.1 方向导数 131

10.8.2 梯度与场 135

习题10.8 138

10.9 多元函数的极值及其求法 138

10.9.1 多元函数的极值与最值 139

10.9.2 条件极值、拉格朗日乘数法 143

10.9.3 最小二乘法举例 147

习题10.9 149

本章总结 149

第11章 重积分 151

11.1 二重积分的概念与性质 151

11.1.1 二重积分的概念 151

11.1.2 二重积分的几何意义 153

11.1.3 二重积分的性质 153

习题11.1 155

11.2 直角坐标系下二重积分的计算 156

11.2.1 先对y、后对x的二次积分 156

11.2.2 先对x、后对y的二次积分 158

11.2.3 特殊情形 159

习题11.2 165

11.3 极坐标系下二重积分的计算 166

11.3.1 极点在区域D的边界 167

11.3.2 极点在区域D的外部 167

11.3.3 极点在区域D的内部 168

习题11.3 170

11.4 三重积分 171

11.4.1 三重积分的概念及性质 172

11.4.2 三重积分的计算 173

习题11.4 182

本章总结 183

第12章 曲线积分与曲面积分 184

12.1 对弧长的曲线积分 184

12.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 184

12.1.2 对弧长的曲线积分的计算 186

习题12.1 188

12.2 对坐标的曲线积分 188

12.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 188

12.2.2 对坐标的曲线积分的计算 190

12.2.3 两类曲线积分的关系 193

习题12.2 194

12.3 格林公式及其应用 195

12.3.1 格林公式 195

12.3.2 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 198

习题12.3 202

12.4 对面积的曲面积分 203

12.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 203

12.4.2 对面积的曲面积分的计算 204

习题12.4 207

12.5 对坐标的曲面积分 207

12.5.1 曲面的侧 207

12.5.2 对坐标的曲面积分的概念与性质 208

12.5.3 两类曲面积分的关系 211

习题12.5 212

12.6 高斯公式和斯托克斯公式 212

12.6.1 高斯公式 213

12.6.2 斯托克斯公式 213

习题12.6 215

本章总结 216

第13章 数学模型初步 217

13.1 初识数学建模竞赛 217

13.1.1 全国大学生数学建模竞赛简介 217

13.1.2 美国大学生数学建模竞赛简介 218

13.2 数学模型方法论 219

13.2.1 问题分析与模型假设 219

13.2.2 模型建立与模型求解 220

13.2.3 模型分析与检验 220

13.2.4 数学建模的特点 221

13.3 单种群增长模型 221

13.3.1 马尔萨斯模型 221

13.3.2 逻辑斯蒂克模型 223

13.3.3 单种群生物资源开发 226

13.4 双种群竞争的Lotka-Volterra模型 229

13.4.1 竞争关系 230

13.4.2 捕食关系 231

13.5 三种群的Gause-Lotka-Volterra模型和RPS博弈模型 233

13.5.1 盖斯-洛特卡-沃尔泰拉（Gause-Lotka-Volterra）模型 233

13.5.2 RPS博弈模型 234

第14章 MATLAB软件应用 236

14.1 MATLAB简介 236

14.1.1 MATLAB操作界面 236

14.1.2 MATLAB常用符号和命令 237

习题14.1 237

14.2 MATLAB与微积分 238

14.2.1 MATLAB求极限 238

14.2.2 MATLAB与微分学 240

14.2.3 MATLAB与积分学 242

习题14.2 246

14.3 MATLAB绘制图像 247

14.3.1 利用MATLAB作二维图形 247

14.3.2 利用MATLAB作三维图形 253

习题14.3 255

期末测验A 257

期末测验B 261

参考答案 264