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数学分析引言 1

习题 9

第1章 实数系函数 10

1.1 实数系及其简单性质 10

一、实数系的简单分类 10

二、实数系的简单性质 12

习题1.1 15

1.2 界最值确界 15

一、数集的有界性 16

二、数集的最大值和最小值 21

三、确界 22

习题1.2 29

1.3 函数 30

一、映射 30

二、函数 30

三、基本初等函数 34

习题1.3 38

第2章 数列的极限 39

2.1 数列极限 41

一、数列的定义 41

二、数列极限 42

习题2.1 55

2.2 数列极限的性质及运算 57

一、数列极限的性质 58

二、数列极限的四则运算 61

三、应用 62

四、无穷大量和无穷小量的性质及其关系 66

习题2.2 67

2.3 Stolz定理 68

习题2.3 76

2.4 收敛准则及实数基本定理 76

一、确界的性质 77

二、单调有界收敛定理 78

三、闭区间套定理 85

四、Weierstrass定理 86

五、Cauchy收敛定理 91

六、有限开覆盖定理 95

七、实数系基本定理 97

习题2.4 98

2.5 实数基本定理的等价性 99

习题2.5 102

第3章 函数的极限和连续性 103

3.1 函数的极限 103

一、函数极限的各种定义 104

二、极限定义的应用 107

三、极限定义的否定式 111

四、各种极限的联系 111

五、函数极限的性质和运算法则 117

六、两个重要极限 120

习题3.1 126

3.2 无穷小量和无穷大量的阶 129

一、无穷小量的阶 129

二、无穷大量的阶 134

习题3.2 134

3.3 连续函数 135

一、连续性的定义 135

二、运算性质 137

三、不连续点及其类型 139

习题3.3 141

3.4 闭区间上连续函数的性质 142

一、有界性定理 142

二、最值定理 144

三、方程的根或函数零点存在定理 146

习题3.4 148

3.5 一致连续性 148

一、定义 149

二、判别定理 150

三、性质 154

四、非一致连续性 156

五、一致连续的进一步性质 157

习题3.5 160

第4章 导数与微分 162

4.1 导数的定义 162

一、背景问题 162

二、导数的定义 164

三、导函数 165

四、可导与连续 166

五、导函数的计算 167

六、不可导函数 174

习题4.1 175

4.2 微分及其运算 177

一、背景 177

二、微分的定义 178

三、微分的计算法则 180

习题4.2 181

4.3 隐函数及参数方程所表示函数的求导 182

一、隐函数的求导 182

二、参数方程所表示的函数的求导 184

习题4.3 185

4.4 高阶导数与高阶微分 185

一、高阶导数及其运算 185

二、高阶微分及其运算 191

三、应用——方程的变换 192

习题4.4 195

第5章 微分中值定理及其应用 197

5.1 微分中值定理 197

一、Fermat定理 197

二、Rolle定理 200

三、Lagrange中值定理 201

四、Cauchy中值定理 202

五、中值定理的应用举例 204

习题5.1 207

5.2 微分中值定理的应用 208

一、函数的分析性质 208

二、几何性质 212

习题5.2 225

5.3 Taylor公式 226

一、背景 227

二、多项式函数 228

三、Taylor公式 229

四、应用 233

习题5.3 240

5.4 L’Hospital法则 241

一、待定型极限 241

二、L’Hospital法则 242

三、应用 245

习题5.4 250