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第1章 函数及其应用 1

1.1 函数的概念 1

1.1.1 集合及其运算 1

1.1.2 函数的概念 2

习题1.1 5

1.2 函数的几个特性 6

1.2.1 有界性 6

1.2.2 单调性 7

1.2.3 奇偶性 7

1.2.4 周期性 8

习题1.2 9

1.3 反函数 10

习题1.3 11

1.4 初等函数 11

1.4.1 基本初等函数 12

1.4.2 复合函数 14

1.4.3 初等函数 15

1.4.4 其他形式的函数 16

习题1.4 17

1.5 函数的应用——初等数学模型 18

1.5.1 数学模型的概念 18

1.5.2 微积分与数学模型的关系 19

1.5.3 初等数学模型举例 19

习题1.5 23

练习1 23

第2章 极限与函数的连续性 26

2.1 数列极限的概念与性质 26

2.1.1 数列极限的直观描述 26

2.1.2 数列极限的定义 26

2.1.3 数列极限的性质 28

习题2.1 29

2.2 函数的极限 30

2.2.1 自变量趋向于无穷大时函数的极限 30

2.2.2 自变量趋向于有限值时函数的极限 31

2.2.3 函数极限的性质 33

习题2.2 34

2.3 无穷小与无穷大 34

2.3.1 无穷小 34

2.3.2 无穷小的性质 35

2.3.3 无穷大 36

2.3.4 无穷小与无穷大的关系 37

习题2.3 37

2.4 极限的运算法则 38

2.4.1 极限的四则运算法则 38

2.4.2 求极限方法举例 39

习题2.4 42

2.5 极限存在的两个准则 两个重要极限 43

2.5.1 夹逼准则 重要极限？＝1 43

2.5.2 单调有界准则 重要极限？＝e 46

习题2.5 48

2.6 无穷小的比较 49

习题2.6 51

2.7 函数的连续性 52

2.7.1 函数连续的概念 52

2.7.2 单侧连续性 53

2.7.3 函数的间断点 54

习题2.7 55

2.8 初等函数的连续性 56

2.8.1 连续函数的运算 56

2.8.2 反函数与复合函数的连续性 57

2.8.3 初等函数的连续性 58

习题2.8 59

2.9 闭区间上连续函数的性质 59

2.9.1 最大值最小值定理 59

2.9.2 有界性定理 59

2.9.3 零点定理 60

2.9.4 介值定理 60

习题2.9 62

练习2 62

第3章 导数与微分 65

3.1 导数的概念 65

3.1.1 引例 65

3.1.2 导数的定义 67

3.1.3 求导数举例 68

3.1.4 单侧导数 69

3.1.5 导数的几何与物理意义 69

3.1.6 连续与可导的关系 70

习题3.1 71

3.2 导数的运算 72

3.2.1 导数的四则运算法则 73

3.2.2 反函数求导法则 74

3.2.3 复合函数求导法则 75

3.2.4 初等函数求导问题 77

习题3.2 79

3.3 高阶导数 80

习题3.3 82

3.4 隐函数与参数方程求导法 83

3.4.1 隐函数求导法 83

3.4.2 参数方程求导法 85

习题3.4 87

3.5 函数的微分 88

3.5.1 微分的概念 88

3.5.2 函数可微的条件 89

3.5.3 微分的几何意义 90

3.5.4 基本微分公式与微分运算 90

3.5.5 微分在近似计算中的应用 92

习题3.5 93

3.6 导数在经济学上的应用 94

3.6.1 边际分析 94

3.6.2 弹性分析 96

习题3.6 98

练习3 99

第4章 中值定理与导数的应用 101

4.1 微分中值定理 101

4.1.1 罗尔定理 101

4.1.2 拉格朗日中值定理 102

4.1.3 柯西中值定理 105

习题4.1 106

4.2 洛必达法则 107

4.2.1 0/0型与∞/∞型未定式 107

4.2.2 其他类型的未定式 108

习题4.2 110

4.3 泰勒公式 111

习题4.3 116

4.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 116

4.4.1 函数单调性的判别法 116

4.4.2 曲线的凹凸性与拐点 118

习题4.4 121

4.5 函数的极值与最大值最小值 122

4.5.1 函数极值的概念 122

4.5.2 极值存在的条件 122

4.5.3 最大值最小值问题 126

4.5.4 极值在经济分析中的应用举例 127

4.5.5 数学模型举例 128

习题4.5 130

4.6 函数图形的描绘 131

4.6.1 曲线的渐近线 131

4.6.2 函数作图 132

习题4.6 135

4.7 曲率 135

4.7.1 弧微分 135

4.7.2 曲率 137

习题4.7 139

练习4 139

第5章 一元函数积分学 141

5.1 定积分的概念与性质 141

5.1.1 引例 141

5.1.2 定积分的定义 142

5.1.3 定积分的几何与物理意义 143

5.1.4 定积分的性质 145

习题5.1 147

5.2 微积分基本定理 148

5.2.1 积分上限函数 148

5.2.2 原函数的概念 150

5.2.3 牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz）公式 151

习题5.2 152

5.3 不定积分的概念与性质 153

5.3.1 不定积分的概念 153

5.3.2 不定积分的性质 154

5.3.3 基本积分表 155

5.3.4 直接积分法 156

习题5.3 157

5.4 不定积分的计算 158

5.4.1 不定积分的换元积分法 158

5.4.2 不定积分的分部积分法 168

5.4.3 几种特殊类型函数的不定积分 173

习题5.4 183

5.5 定积分的计算 184

5.5.1 定积分的换元积分法 184

5.5.2 定积分的分部积分法 187

习题5.5 188

5.6 广义积分 189

5.6.1 无穷区间上的广义积分 190

5.6.2 无界函数的广义积分 191

5.6.3 Γ函数 193

习题5.6 194

5.7 定积分的近似计算 194

5.7.1 梯形公式 195

5.7.2 辛普森公式 196

习题5.7 197

练习5 197

第6章 定积分的应用 200

6.1 微分元素法 200

6.1.1 微分元素法的基本思想 200

6.1.2 微分元素的建立 201

习题6.1 201

6.2 定积分的几何应用 201

6.2.1 平面图形的面积 201

6.2.2 立体的体积 205

6.2.3 平面曲线的弧长 207

习题6.2 209

6.3 定积分的物理应用 209

6.3.1 物体的位移 209

6.3.2 液体的压力 210

6.3.3 变力做功问题 210

6.3.4 引力 211

习题6.3 212

6.4 定积分在经济学上的应用 212

习题6.4 213

练习6 214

阶段测试题 216

第7章 空间解析几何 218

7.1 空间直角坐标系与向量代数 218

7.1.1 空间直角坐标系 218

7.1.2 向量的线性运算 220

7.1.3 向量的坐标 222

7.1.4 数量积与向量积 225

习题7.1 228

7.2 平面及其方程 229

7.2.1 平面的点法式方程 229

7.2.2 平面的一般方程 230

7.2.3 两平面的夹角 231

7.2.4 点到平面的距离 232

习题7.2 232

7.3 空间直线及其方程 232

7.3.1 空间直线的一般方程 232

7.3.2 空间直线的对称式方程与参数方程 233

7.3.3 两直线的夹角 235

7.3.4 直线与平面的夹角 235

7.3.5 经过直线的平面束 236

习题7.3 237

7.4 曲面及其方程 237

7.4.1 曲面与方程 237

7.4.2 几类常见的曲面 238

7.4.3 二次曲面 241

习题7.4 244

7.5 空间曲线及其方程 245

7.5.1 空间曲线与方程 245

7.5.2 空间曲线在坐标面上的投影 247

习题7.5 248

练习7 248

第8章 多元函数微分及其应用 250

8.1 多元函数 250

8.1.1 平面区域 250

8.1.2 多元函数的概念 251

8.1.3 二元函数的极限与连续性 253

习题8.1 255

8.2 偏导数 256

8.2.1 偏导数的概念及计算 256

8.2.2 偏导数的几何意义 259

8.2.3 高阶偏导数 259

习题8.2 260

8.3 全微分 261

8.3.1 全微分的概念 261

8.3.2 全微分在近似计算中的应用 263

习题8.3 264

8.4 多元复合函数微分法 264

习题8.4 268

8.5 隐函数微分法 269

习题8.5 272

8.6 多元函数的极值 272

8.6.1 二元函数的极值 272

8.6.2 最大值最小值问题 274

8.6.3 条件极值 拉格朗日乘数法 275

8.6.4 数学建模举例 279

习题8.6 281

练习8 282

第9章 重积分 285

9.1 二重积分的概念与性质 285

9.1.1 二重积分的概念 285

9.1.2 二重积分的性质 287

习题9.1 288

9.2 二重积分的计算及应用 288

9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 289

9.2.2 利用极坐标计算二重积分 293

9.2.3 二重积分的应用 295

习题9.2 297

9.3 三重积分 299

9.3.1 三重积分的概念 299

9.3.2 三重积分的计算 300

习题9.3 304

练习9 304

第10章 无穷级数 307

10.1 无穷级数的概念与性质 307

10.1.1 无穷级数的概念 307

10.1.2 无穷级数的性质 310

习题10.1 313

10.2 常数项级数审敛法 313

10.2.1 正项级数审敛法 313

10.2.2 交错级数审敛法 320

10.2.3 绝对收敛与条件收敛 321

习题10.2 323

10.3 幂级数 324

10.3.1 函数项级数的一般概念 324

10.3.2 幂级数及其敛散性 325

10.3.3 幂级数的运算 329

习题10.3 331

10.4 函数的幂级数展开 331

10.4.1 泰勒（Taylor）级数 331

10.4.2 函数展开为幂级数 334

10.4.3 幂级数展开式的应用 339

习题10.4 341

练习10 342

第11章 常微分方程 344

11.1 微分方程的基本概念 344

习题11.1 345

11.2 一阶微分方程 346

11.2.1 可分离变量的微分方程 346

11.2.2 齐次方程 347

11.2.3 一阶线性微分方程 349

11.2.4 伯努利（Bernoulli）方程 351

习题11.2 352

11.3 可降阶的高阶微分方程 353

11.3.1 形如y（n）＝f（x）的微分方程 353

11.3.2 形如y″＝f（x，y′）的微分方程 353

11.3.3 形如y″＝f（y，y′）的微分方程 354

习题11.3 355

11.4 二阶线性微分方程 356

11.4.1 线性微分方程解的结构 356

11.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 358

11.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 361

习题11.4 364

11.5 微分方程模型举例 365

习题11.5 368

练习11 368

第12章 差分方程 370

12.1 差分的基本概念 370

12.1.1 差分的概念与性质 370

12.1.2 高阶差分 371

习题12.1 372

12.2 差分方程的基本概念 372

12.2.1 差分方程 372

12.2.2 线性差分方程解的结构 372

习题12.2 373

12.3 一阶常系数线性差分方程 373

12.3.1 一阶常系数齐次线性差分方程 374

12.3.2 一阶常系数非齐次线性差分方程 375

习题12.3 378

12.4 二阶常系数线性差分方程 378

12.4.1 二阶常系数齐次线性差分方程 378

12.4.2 二阶常系数非齐次线性差分方程 379

习题12.4 381

综合测试题 382

参考答案 384

附录 常用曲线 410

参考文献 411