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多元函数的微积分学 1

第13章 n维距离空间及多元函数 3

13.1 n维距离空间及基本概念 3

一、距离空间 3

二、n维距离空间Rn 4

三、Rn中的基本点集 6

四、Rn中点列及收敛性 9

五、Rn中的基本定理 9

习题13.1 12

13.2 多元函数及其极限 12

一、多元函数 12

二、多元函数的极限 13

三、累次极限 24

习题13.2 29

13.3 多元函数的连续性与一致连续性 30

一、多元函数的连续性 30

二、一致连续 32

习题13.3 34

13.4 有界闭区域上多元连续函数的性质 35

习题13.4 39

第14章 偏导数与全微分 40

14.1 偏导数和全微分的基本概念 40

一、偏导数 40

二、全微分 45

习题14.1 50

14.2 高阶偏导数与高阶全微分 51

一、高阶偏导数 51

二、高阶微分 54

习题14.2 55

14.3 复合函数的求导法则 56

一、基本型复合函数的偏导计算 56

二、其他类型复合函数偏导的计算 58

三、复合函数的全微分——一阶微分形式的不变性 60

习题14.3 61

14.4 隐函数的求导法 62

一、单个方程所确定的隐函数的求导 62

二、由方程组所确定的隐函数的导数 64

习题14.4 68

14.5 复合函数求导的应用——方程的变换 68

一、部分变换 69

二、完全变换 71

习题14.5 74

14.6 复合函数求导的几何应用 75

一、空间曲线的切线与法平面 75

二、曲面的切平面与法线 78

习题14.6 80

14.7 方向导数与梯度 81

一、方向导数的定义 81

二、偏导数与特殊的方向导数 84

三、梯度 86

习题14.7 87

14.8 Taylor公式 87

习题14.8 89

14.9 隐函数存在定理 89

一、由单个方程所确定的隐函数 89

二、由方程组所确定的隐函数组 93

习题14.9 94

第15章 极值和条件极值 95

15.1 无条件极值 95

一、基本概念 95

二、极值点的必要条件 95

三、二阶微分判别法 97

四、应用 99

习题15.1 103

15.2 条件极值 103

一、问题的一般形式 103

二、条件极值的求解 104

习题15.2 112

第16章 含参量积分 113

16.1 含参量的常义积分 113

习题16.1 122

16.2 含参量的广义积分 123

一、基本理论 123

二、应用 127

三、一致收敛积分的性质 129

四、含参量广义积分与函数项级数 132

习题16.2 135

16.3 Euler积分 137

一、Bata函数 137

二、Gamma函数 139

三、应用 141

习题16.3 142

第17章 重积分 143

17.1 二重积分 143

一、背景问题 143

二、二重积分的定义和性质 145

习题17.1 147

17.2 二重积分的计算 148

一、基本计算公式 148

二、二重积分计算的变量代换法 156

三、基于特殊结构的计算方法 161

习题17.2 164

17.3 三重积分 166

一、背景问题 166

二、三重积分的定义 166

三、三重积分的计算 168

四、三重积分计算的变量代换法 174

五、基于特殊结构的计算方法 180

习题17.3 180

17.4 广义重积分 182

一、无界区域上的二重广义重积分 182

二、无界函数的广义积分 185

习题17.4 186

第18章 曲线积分和曲面积分 188

18.1 第一类曲线积分 188

一、背景问题和定义 188

二、第一类曲线积分的计算 190

习题18.1 194

18.2 第一类曲面积分 195

一、背景问题和定义 195

二、第一类曲面积分的计算 197

习题18.2 205

18.3 第二类曲线积分 205

一、背景问题和定义 205

二、第二类曲线积分的计算 208

三、二类曲线积分间的联系 215

习题18.3 218

18.4 第二类曲面积分 219

一、曲面的侧 219

二、双侧曲面的方向 220

三、第二类曲面积分的定义 221

四、第二类曲面积分的计算 225

五、两类曲面积分之间的联系 230

六、参数形式下第二类曲面积分的计算 233

习题18.4 237

第19章 各种积分间的联系 239

19.1 Green公式及其应用 239

一、Green公式 239

二、Green公式的应用 242

习题19.1 246

19.2 平面曲线积分和路径的无关性 247

习题19.2 251

19.3 Gauss公式 251

一、Gauss公式 251

二、Gauss公式的应用 253

习题19.3 258

19.4 Stokes公式 258

一、Stokes公式 258

二、Stokes公式的应用 261

习题19.4 264