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第一章 函数与极限 1

1.1 映射与函数 2

1.1.1 集合、区间与邻域 2

1.1.2 映射 5

1.1.3 函数 7

习题1.1 13

1.2 数列的极限 14

1.2.1 数列极限的定义 14

1.2.2 收敛数列的性质 20

习题1.2 22

1.3 函数的极限 22

1.3.1 函数极限的定义 22

1.3.2 函数极限的性质 27

习题1.3 29

1.4 无穷小与无穷大 30

1.4.1 无穷小 30

1.4.2 无穷大 32

习题1.4 33

1.5 极限运算法则 34

1.5.1 极限的四则运算法则 34

1.5.2 复合函数的极限运算法则 38

习题1.5 39

1.6 极限存在准则 两个重要极限 40

1.6.1 极限存在准则 40

1.6.2 两个重要极限 42

习题1.6 46

1.7 无穷小与无穷大阶的比较 47

习题1.7 50

1.8 函数的连续性与间断点 51

1.8.1 函数的连续性 51

1.8.2 函数的间断点 54

习题1.8 56

1.9 连续函数的性质 57

1.9.1 连续函数的有关定理 57

1.9.2 闭区间上连续函数的性质 58

习题1.9 61

总习题一 62

第二章 导数与微分 64

2.1 导数的概念 65

2.1.1 引例 65

2.1.2 导数的定义 66

2.1.3 求导数举例 67

2.1.4 单侧导数 70

2.1.5 导数的几何意义 71

2.1.6 函数的可导性与连续性的关系 72

习题2.1 73

2.2 函数的求导法则与基本求导公式 74

2.2.1 函数导数的四则运算法则 74

2.2.2 反函数的求导法则 76

2.2.3 复合函数的求导法则 78

2.2.4 基本求导公式和求导法则 81

习题2.2 83

2.3 高阶导数 84

2.3.1 高阶导数的概念 84

2.3.2 高阶导数的求导法则 87

习题2.3 89

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 90

2.4.1 隐函数的导数 90

2.4.2 对数求导法 91

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 92

习题2.4 95

2.5 函数的微分 96

2.5.1 微分的定义 96

2.5.2 微分的几何意义 99

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 99

2.5.4 高阶微分 102

2.5.5 微分在近似计算中的应用 104

习题2.5 107

总习题二 109

第三章 微分中值定理与导数的应用 111

3.1 微分中值定理 112

3.1.1 罗尔定理 112

3.1.2 拉格朗日中值定理 115

3.1.3 柯西中值定理 118

习题3.1 119

3.2 洛必达法则 120

3.2.1 0/0型未定式 121

3.2.2 ∞/∞型未定式 122

习题3.2 125

3.3 泰勒公式 126

习题3.3 135

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 136

3.4.1 函数的单调性 136

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点 139

习题3.4 143

3.5 函数的极值与最大值最小值 144

3.5.1 函数的极值及其求法 144

3.5.2 最大值与最小值问题 146

习题3.5 150

3.6 函数图形的描绘 151

3.6.1 渐近线的概念及其求法 152

3.6.2 函数图形的描绘 154

习题3.6 157

3.7 曲率 158

3.7.1 弧微分 158

3.7.2 曲率及其计算公式 160

3.7.3 曲率圆与曲率半径 164

习题3.7 166

总习题三 167

第四章 不定积分 169

4.1 不定积分的概念与性质 170

4.1.1 原函数与不定积分的概念 170

4.1.2 不定积分的几何意义 172

4.1.3 基本积分公式 173

4.1.4 不定积分的性质 174

习题4.1 176

4.2 换元积分法 177

4.2.1 第一类换元积分法 177

4.2.2 第二类换元积分法 182

习题4.2 189

4.3 分部积分法 191

习题4.3 195

4.4 几类特殊函数的不定积分 197

4.4.1 有理函数的不定积分 197

4.4.2 三角函数有理式的不定积分 202

4.4.3 简单无理函数的不定积分 204

习题4.4 206

4.5 积分表的使用 207

习题4.5 209

总习题四 210

第五章 定积分 213

5.1 定积分的概念与性质 214

5.1.1 两个实例 214

5.1.2 定积分的定义 215

5.1.3 定积分的几何意义 216

5.1.4 定积分的基本性质 217

习题5.1 221

5.2 微积分基本公式 222

5.2.1 变上、下限积分的概念与性质 222

5.2.2 微积分基本定理 224

习题5.2 226

5.3 定积分的计算 227

5.3.1 定积分的换元积分法 228

5.3.2 定积分的分部积分法 232

习题5.3 234

5.4 反常积分 235

5.4.1 无穷限积分 235

5.4.2 瑕积分 241

习题5.4 245

总习题五 246

第六章 定积分的应用 249

6.1 定积分的元素法 250

6.2 定积分在几何学上的应用 251

6.2.1 平面图形的面积 251

6.2.2 空间立体的体积 256

6.2.3 平面曲线的弧长 259

习题6.2 260

6.3 定积分在物理学上的应用 261

6.3.1 变力沿直线所作的功 261

6.3.2 水压力 263

6.3.3 引力 265

习题6.3 266

总习题六 267

第七章 微分方程 269

7.1 微分方程的基本概念 270

7.1.1 引例 270

7.1.2 微分方程的基本概念 271

习题7.1 274

7.2 一阶微分方程 275

7.2.1 可分离变量的微分方程 275

7.2.2 可化为可分离变量的方程 277

7.2.3 一阶线性微分方程 281

7.2.4 一阶微分方程的简单应用 287

习题7.2 291

7.3 可降阶的二阶微分方程 293

7.3.1 y″=f（x）型的微分方程 293

7.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程 294

7.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程 297

习题7.3 299

7.4 高阶线性微分方程 299

7.4.1 线性微分方程的解的结构 300

7.4.2 常数变易法 303

习题7.4 307

7.5 二阶常系数线性微分方程 307

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 308

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 312

7.5.3 n阶常系数线性微分方程 319

习题7.5 321

总习题七 321

附录 324

附录一 常用的一些初等数学公式 324

附录二 常用的几种曲线及其方程 330

附录三 常用积分公式 333

部分习题答案与提示 344

参考文献 375