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第0章 预备知识 1

0.1 集合 1

一、集合概念 1

二、集合的运算 2

三、区间和邻域 3

0.2 函数 4

一、函数的定义 4

二、函数的几种特性 8

三、反函数 10

四、复合函数 11

五、基本初等函数 11

六、初等函数 16

0.3 常用基础知识简介 17

一、极坐标 17

二、行列式简介 21

复习练习题 24

第1章 极限与连续函数 26

1.1 数列的极限 26

一、引例 26

二、数列极限的概念 27

三、收敛数列的性质 31

1.2 函数的极限 33

一、函数极限的概念 33

二、函数极限的性质 37

三、无穷小与无穷大 38

1.3 极限的运算法则 40

1.4 极限存在准则 两个重要极限 47

1.5 无穷小的比较 55

一、无穷小的阶 55

二、等价无穷小的代换定理 57

1.6 函数的连续性 59

一、函数的连续性与性质 59

二、函数的间断点及其分类 62

三、闭区间上连续函数的性质 64

小结 69

复习练习题1 70

第2章 导数与微分 72

2.1 导数的概念 72

一、导数的定义 72

二、函数的可导性与连续性的关系 77

三、变化率——导数的实际应用 77

2.2 函数的求导法则 79

一、导数的四则运算法则 79

二、反函数的导数 82

三、复合函数的求导法则 83

四、初等函数的导数 88

2.3 高阶导数 91

一、高阶导数的概念 91

二、高阶导数运算法则 93

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 94

一、隐函数求导法则 94

二、由参数方程确定的函数的求导法则 98

2.5 微分及其应用 102

一、微分的概念 102

二、微分的几何意义与应用 105

三、微分的运算法则 107

2.6 相关变化率问题 109

小结 111

复习练习题2 112

第3章 微分中值定理与导数应用 114

3.1 微分中值定理 114

一、罗尔中值定理 114

二、拉格朗日中值定理 116

三、柯西中值定理 118

四、中值定理应用举例 120

3.2 洛必达法则 123

一、O／O型不定式 123

二、∞／∞型不定式 124

三、用洛必达法则求极限 125

四、其他类型的不定式 127

3.3 泰勒公式 131

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 138

一、函数单调性判别法 139

二、曲线的凹凸性及其判别法 142

3.5 函数的极值与最大值最小值 147

一、函数的极值和最值及其求法 147

二、函数最值的应用问题 151

3.6 函数图形的描绘与曲率 156

一、曲线的渐近线 156

二、函数图形的描绘 158

三、平面曲线的曲率 162

小结 169

复习练习题3 171

第4章 不定积分 173

4.1 不定积分的概念与性质 173

一、不定积分的概念与性质 173

二、基本积分表 176

三、直接积分法 177

4.2 换元积分法 180

一、第一类换元法（凑微分法） 181

二、第二类换元法 187

4.3 分部积分法 193

4.4 有理函数的积分 199

一、有理函数的积分 199

二、三角函数有理式的积分 205

三、初数函数的积分 207

小结 208

复习练习题4 209

第5章 定积分 211

5.1 定积分的概念及性质 211

一、定积分问题举例 211

二、定积分的定义 213

三、定积分的几何意义 215

5.2 微积分基本公式 221

一、变速直线运动中位移函数与速度函数之间的联系 222

二、变上限函数及其导数 222

三、牛顿-莱布尼茨公式 225

5.3 定积分的换元法和分部积分法 228

一、定积分的第一类换元法 228

二、定积分的第二类换元法 229

三、定积分的分部积分 233

5.4 反常积分与Γ函数 238

一、无穷区间上的反常积分 238

二、无界函数的反常积分（瑕积分） 240

三、Γ函数简介 242

小结 244

复习练习题5 246

第6章 定积分的应用 248

6.1 定积分的微元法 248

6.2 定积分在几何上的应用 249

一、平面图形的面积 249

二、立体的体积 254

三、平面曲线的弧长 258

6.3 定积分在物理上的应用 263

一、变力沿直线所做的功 263

二、液体对侧面的压力 265

三、引力 266

小结 267

复习练习题6 268

第7章 常微分方程 269

7.1 微分方程的基本概念 269

7.2 可分离变量的微分方程 273

一、可分离变量的微分方程 274

二、齐次方程 275

7.3 一阶线性微分方程 279

一、线性方程 279

二、伯努利方程 281

7.4 一阶微分方程应用举例 283

7.5 可降阶的高阶微分方程 288

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 288

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程 289

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程 290

7.6 高阶线性微分方程 292

一、二阶线性齐次方程的解的结构 292

二、二阶线性非齐次方程的解的结构 293

7.7 常系数线性齐次微分方程 295

7.8 常系数线性非齐次微分方程 299

一、f（x）＝eλr Pm（x） 299

二、f（x）＝eλr［Pl （x） cosωx＋Pn（x）sinωx］型 301

7.9 二阶微分方程应用举例 304

7.10 欧拉方程 308

小结 310

复习练习题7 311

附录1 Mathematica数学软件简介（上） 314

附录2 常用的数学公式 330

附录3 几种常用的曲线 332

附录4 积分表 337

习题解答与提示 348