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预备知识 1

第1章 函数、极限与连续 3

1.1 函数 3

1.1.1 集合 3

1.1.2 函数 5

1.1.3 初等函数 9

习题1.1 16

1.2 数列的极限 16

1.2.1 数列极限的定义 17

1.2.2 收敛数列的性质 20

习题1.2 21

1.3 函数的极限 22

1.3.1 函数极限的定义 22

1.3.2 函数极限的性质 26

习题1.3 27

1.4 无穷小与无穷大 27

1.4.1 无穷小 27

1.4.2 无穷大 29

1.4.3 无穷小与无穷大的关系 29

习题1.4 29

1.5 极限的运算与存在准则 30

1.5.1 极限的四则运算 30

1.5.2 复合函数的极限运算法则 32

1.5.3 极限的存在准则 33

1.5.4 两个重要极限 35

习题1.5 37

1.6 无穷小的比较 38

1.6.1 无穷小的比较的概念 38

1.6.2 等价无穷小 39

习题1.6 40

1.7 函数的连续性 40

1.7.1 函数的连续性 40

1.7.2 初等函数的连续性 44

1.7.3 闭区间上连续函数的性质 46

习题1.7 47

综合习题1 48

第2章 导数与微分 52

2.1 导数的概念 52

2.1.1 切线与速度 52

2.1.2 导数的定义 53

2.1.3 求导问题举例 55

2.1.4 可导与连续 56

习题2.1 58

2.2 求导法则 59

2.2.1 导数的四则运算法则 59

2.2.2 反函数的求导法则 61

2.2.3 复合函数的求导法则 62

2.2.4 高阶导数 66

2.2.5 隐函数的求导法则 69

2.2.6 由参数方程确定函数的求导法则 72

2.2.7 相关变化率 74

习题2.2 74

2.3 微分及其应用 76

2.3.1 微分的定义 76

2.3.2 微分的运算 78

2.3.3 微分在近似计算中的应用 80

习题2.3 82

综合习题2 82

第3章 导数的应用 86

3.1 微分中值定理 86

3.1.1 罗尔定理 86

3.1.2 拉格朗日中值定理 87

3.1.3 柯西中值定理 90

习题3.1 91

3.2 洛必达法则 91

3.2.1 “0/0”型 91

3.2.2 “∞/∞”型 93

3.2.3 其他型的未定式（0·∞，∞-∞，1∞，00，∞0） 94

习题3.2 96

3.3 泰勒公式 96

3.3.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 97

3.3.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 98

3.3.3 在近似计算中的应用 99

习题3.3 100

3.4 函数的极值与最值 100

3.4.1 函数单调性的判定法 100

3.4.2 函数的极值 102

3.4.3 函数的最值及其应用 105

习题3.4 108

3.5 函数图形的描绘 108

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 108

3.5.2 曲线的渐近线 111

3.5.3 函数图形的描绘 113

习题3.5 116

3.6 曲率 116

3.6.1 弧微分 116

3.6.2 曲率的概念及其计算公式 117

3.6.3 曲率圆与曲率半径 120

习题3.6 121

综合习题3 121

第4章 不定积分 124

4.1 不定积分的概念与性质 124

4.1.1 原函数与不定积分的概念 124

4.1.2 不定积分的性质 125

4.1.3 基本积分公式 126

习题4.1 129

4.2 换元积分法 130

4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 130

4.2.2 第二类换元积分法 135

习题4.2 140

4.3 分部积分法 141

习题4.3 144

4.4 几种特殊类型函数的不定积分 144

4.4.1 有理函数的不定积分 144

4.4.2 可化为有理函数的积分 148

习题4.4 150

综合习题4 150

第5章 定积分及其应用 155

5.1 定积分的概念与性质 155

5.1.1 面积与路程 155

5.1.2 定积分的定义 157

5.1.3 定积分的性质 159

习题5.1 162

5.2 微积分基本公式 162

5.2.1 积分上限函数 163

5.2.2 牛顿－莱布尼茨公式 165

习题5.2 168

5.3 定积分的计算 169

5.3.1 换元积分法 169

5.3.2 分部积分法 173

习题5.3 175

5.4 定积分的几何应用 175

5.4.1 定积分的微元法 175

5.4.2 平面图形的面积 177

5.4.3 体积 182

5.4.4 平面曲线的弧长 185

习题5.4 187

5.5 定积分在工程技术中的应用 188

5.5.1 变力做功 188

5.5.2 液体压力 190

5.5.3 引力 191

习题5.5 192

5.6 反常积分与Γ函数 192

5.6.1 无穷限的反常积分 192

5.6.2 无界函数的反常积分 194

5.6.3 Γ函数 196

习题5.6 197

综合习题5 197

附录1 数学建模概述（上） 202

附录2 数学实验概述（上） 202

附录3 数学家故事（上） 202

附录4 高等数学第一学期期末考试试卷 202

部分习题参考答案 202

参考文献 202