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第一章 函数 极限 连续 1

第一节 函数 1

一、变量及其变化区间 1

二、函数概念 2

三、函数的简单性质 7

四、反函数及其图形 9

五、复合函数 11

六、基本初等函数 初等函数 11

七、双曲函数 15

第二节 极限 17

一、极限概念导引 18

二、数列的极限 19

三、函数的极限 25

第三节 无穷小量与无穷大量 31

一、无穷小量 31

二、无穷大量 32

三、无穷小量与无穷大量的关系 33

四、无穷小量运算定理 33

第四节 极限的运算法则 34

第五节 两个重要极限 38

一、夹逼定理（极限存在的准则） 39

二、重要极限lim x→0 sinx/x=1 40

三、重要极限lim x→∞（1＋1/x）x=e 42

第六节 无穷小的比较 44

一、无穷小的比较 44

二、等价无穷小的性质 46

第七节 函数的连续性与间断点 47

一、函数连续性的概念 48

二、函数的间断点 50

第八节 连续函数的运算与初等函数的连续性 52

一、连续函数的四则运算 52

二、复合函数的连续性 52

三、反函数的连续性 52

四、初等函数的连续性 52

第九节 闭区间上连续函数的性质 53

一、最大值定理和最小值定理 53

二、有界性定理 54

三、介值定理（中间值定理） 54

习题一 55

本章学习要点 67

第一单元（函数 极限 连续）检测题 70

第二章 导数与微分 73

第一节 导数概念 73

一、变化率问题举例 73

二、导数的定义 75

三、导数的几何意义 77

四、函数的可导性与连续性的关系 78

第二节 基本初等函数导数公式 导数的四则运算法则 80

一、基本初等函数的导数公式 81

二、导数的四则运算法则 82

第三节 反函数求导法则 复合函数求导法则 85

一、反函数求导法则 85

二、反三角函数的导数 86

三、复合函数求导法则 87

第四节 导数的基本公式和运算法则总结双曲函数和反双曲函数的导数 90

一、导数的基本公式 90

二、导数的运算法则 91

三、双曲函数的导数 91

四、反双曲函数的导数 92

第五节 高阶导数 92

第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定 函数的导数 相关变化率 95

一、隐函数及其导数 95

二、幂指函数 取对数求导法 97

三、由参数方程所确定函数的导数 98

四、极坐标系中曲线的切线与矢径的交角公式 100

五、相关变化率问题 101

第七节 函数的微分法及其应用 102

一、微分的概念 103

二、微分的几何意义 104

三、微分的运算 104

四、微分在近似计算中的应用 106

五、微分在误差估计中的应用 108

习题二 109

本章学习要点 118

第三章 中值定理与导数的应用 121

第一节 中值定理 121

一、罗尔（Rolle）定理 121

二、拉格朗日（Lagrange）定理 123

三、柯西（Cauchy）定理 125

第二节 未定式求极限与洛必达法则 126

一、“0/0”型未定式 127

二、“∞/∞”型未定式 129

三、其他类型未定式极限 130

第三节 函数的单调性与极值的判别法 131

一、函数单调性的判别法 131

二、函数的极值及其求法 133

第四节 函数的最大值、最小值及其应用问题 136

第五节 曲线的凹凸性与拐点 138

一、曲线的凹凸性 138

二、曲线的拐点 140

第六节 函数图形的描绘 141

一、曲线的渐近线 141

二、函数图形描绘举例 142

第七节 平面曲线的曲率 145

一、曲率概念 145

二、弧长的微分 146

三、曲率的计算公式 148

四、曲率圆、曲率半径和曲率中心 149

第八节 方程的近似解 152

一、二分法 152

二、切线法 153

习题三 155

本章学习要点 163

第二单元（一元函数微分学）检测题 166

第四章 不定积分 169

第一节 不定积分的概念与性质 169

一、原函数概念 169

二、不定积分概念 170

三、基本积分表 172

四、不定积分的性质 173

第二节 换元积分法 175

一、第一类换元积分法 175

二、第二类换元积分法 183

第三节 分部积分法 188

第四节 有理函数的积分 193

一、化真分式为简单分式之和 193

二、四种最简分式的积分 195

三、有理函数积分举例 197

第五节 三角函数有理式的积分 199

一、形如∫R（sinx） cosx dx ，∫R（cosx） sinx dx和∫R（tanx） sec2 x dx的积分 199

二、形如∫R（sin2x，cos2x ）dx和∫R（tanx ）dx的积分 199

三、形如∫R（sinx ， cosx ）dx的积分 200

第六节 简单无理式的积分 202

一、形如∫R（x，n？ax＋b）dx的积分 202

二、形如∫R（x，n？ax＋b/cx＋d）dx的积分 202

三、形如∫R（x，？ax2 ＋bx ＋c ）dx的积分 204

习题四 205

本章学习要点 211

第五章 定积分 213

第一节 定积分的概念 213

一、实例 213

二、定积分的定义 216

三、定积分的存在条件 216

四、定积分的几何意义 217

第二节 定积分的性质 218

第三节 微积分的基本公式 221

一、变速直线运动中路程函数与速度函数的关系 221

二、变上限的定积分及其对上限的导数 222

三、牛顿-莱布尼茨公式 223

第四节 定积分的换元积分法 225

一、第一类换元积分法 225

二、第二类换元积分法 226

第五节 定积分的分部积分法 230

第六节 定积分的近似计算 233

一、矩形法 233

二、梯形法 233

三、抛物线法（辛普森公式） 234

习题五 236

本章学习要点 242

第六章 定积分的应用 广义积分初步 244

第一节 平面图形的面积 245

一、直角坐标系下平面图形的面积 245

二、极坐标系下平面图形的面积 249

第二节 体积 250

一、平行截面面积为已知的立体的体积 250

二、旋转体的体积 251

第三节 平面曲线的弧长 252

一、弧长的概念 252

二、弧长的计算公式 253

第四节 定积分的其他应用 254

一、变力做功问题 255

二、水压力问题 256

三、引力 257

四、物体的转动惯量 258

五、平均值问题 259

第五节 广义积分初步 260

一、无穷区间上的广义积分 261

二、无界函数的广义积分 262

习题六 264

本章学习要点 268

第三单元（一元函数积分学）检测题 271

部分习题答案与提示 274

单元检测题答案与提示 293

高等数学期末参考试题（第一学期） 296

参考文献 302

附录A积分表 303

附录B几种常用的曲线 313

附录C极坐标 316

附录D三角函数及反三角函数常用公式 318