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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数概念 1

二、函数的几种特性 4

三、函数的运算 5

四、反函数与复合函数 5

五、初等函数 8

六、双曲函数与反双曲函数 8

七、曲线的参数方程与极坐标方程 10

习题1-1 13

第二节 极限的概念 14

一、数列的极限 15

二、函数的极限 18

习题1-2 22

第三节 极限的性质 23

习题1-3 26

第四节 无穷小与无穷大 26

一、无穷小 26

二、无穷大 28

习题1-4 30

第五节 极限的运算法则 30

习题1-5 35

第六节 极限存在准则与两个重要极限及几个基本定理 36

一、夹逼准则 36

二、单调有界准则 38

三、几个关于区间和极限的基本定理 42

习题1-6 44

第七节 无穷小的比较 46

习题1-7 48

第八节 函数的连续性 50

一、连续函数的概念 50

二、连续函数的运算及初等函数的连续性 53

三、闭区间上的连续函数的性质 54

习题1-8 57

第九节 综合例题 59

习题1-9 63

第二章 导数与微分 66

第一节 导数的概念 66

一、几个实例 66

二、导数的定义 67

三、导数的意义 69

四、可导性与连续性的关系 72

五、一些简单函数的导数 72

习题2-1 74

第二节 求导法则和基本公式 75

一、函数的和、差、积、商的求导法则 75

二、反函数的求导法则 77

三、复合函数的求导法则 78

四、导数的基本公式 82

习题2-2 83

第三节 隐函数的求导法和由参数方程确定的函数的求导法 84

一、隐函数求导法 84

二、对数求导法 86

三、由参数方程确定的函数的求导法 87

四、由极坐标确定的函数求导法 89

五、相关变化率问题 90

习题2-3 91

第四节 高阶导数 93

一、高阶导数定义 93

二、几个重要函数的高阶导数 94

三、乘积的高阶导数 96

四、隐函数的二阶导数 97

五、由参数方程确定的函数的二阶导数 98

习题2-4 99

第五节 微分 100

一、微分的概念 101

二、微分与导数的关系 102

三、微分的几何意义 103

四、基本微分公式和微分运算法则 103

五、微分在近似计算中的应用 106

六、高阶微分 108

习题2-5 109

第六节 综合例题 110

习题2-6 116

第三章 微分中值定理与导数的应用 118

第一节 微分中值定理 118

习题3-1 123

第二节 洛必达法则 124

一、洛必达法则 124

二、其他类型的不定式 128

习题3-2 130

第三节 函数的单调性与极值 132

一、函数的单调性 132

二、函数的极值 135

三、函数的最大值和最小值 137

习题3-3 139

第四节 曲线的凹凸性和渐近线，函数作图 141

一、曲线的凹凸性和拐点 141

二、曲线的渐近线 145

三、函数作图 147

习题3-4 149

第五节 曲线的曲率 150

一、弧微分 150

二、曲线的曲率 150

三、曲率圆 153

习题3-5 155

第六节 泰勒公式 155

一、泰勒定理 155

二、几个初等函数的麦克劳林公式 159

三、一些其他函数的泰勒公式 160

四、泰勒公式的应用 162

习题3-6 165

第七节 综合例题 166

习题3-7 175

第四章 定积分与不定积分 179

第一节 定积分的概念与性质 179

一、几个实际问题 179

二、定积分的定义 183

三、定积分存在的条件 184

四、定积分的几何意义 185

五、定积分的性质 185

习题4-1 189

第二节 微积分基本定理 190

一、一个实际问题引出的思考 190

二、变上限的积分 191

三、牛顿-莱布尼茨公式 194

习题4-2 195

第三节 不定积分 196

一、不定积分的概念 196

二、不定积分的性质 197

三、基本积分公式 198

习题4-3 200

第四节 不定积分的基本积分方法 201

一、换元积分法 201

二、几种常见类型的积分 206

三、分部积分法 215

习题4-4 218

第五节 定积分的计算 221

一、定积分的换元法 221

二、定积分的分部积分法 225

习题4-5 228

第六节 反常积分 229

一、无穷积分 229

二、瑕积分 232

三、反常积分收敛性的判别法 234

习题4-6 239

第七节 定积分的几何应用 240

一、平面图形的面积 241

二、立体体积 243

三、平面曲线的弧长 246

习题4-7 248

第八节 定积分的物理应用 250

一、变力沿直线所做的功 250

二、液体的静压力 252

三、细杆对质点的引力 253

习题4-8 254

第九节 综合例题 256

习题4-9 264

第五章 常微分方程 269

第一节 微分方程的基本概念 269

习题5-1 272

第二节 一阶微分方程 272

一、可分离变量的方程 272

二、齐次方程 274

三、形如dy/dx＝f（ax＋by＋c/a1x＋b1y＋c1）的方程 276

四、一阶线性微分方程 277

五、伯努利方程 280

六、其他例子 281

习题5-2 282

第三节 可降阶的高阶微分方程 285

一、y（n）＝f（x）型微分方程 285

二、y″＝f（x，y′）型微分方程 285

三、y″＝f（y，y′）型微分方程 286

习题5-3 288

第四节 线性微分方程解的结构 289

一、二阶线性微分方程解的结构 289

二、二阶线性微分方程的解法 293

习题5-4 296

第五节 常系数线性齐次微分方程 296

习题5-5 299

第六节 常系数线性非齐次微分方程 300

一、常系数线性非齐次方程 300

二、欧拉方程 305

三、常系数线性微分方程组 306

习题5-6 308

第七节 综合例题 309

习题5-7 316

第八节 常微分方程的应用 319

一、物理问题 319

二、利用微元法建立微分方程 327

三、运动路线问题 329

四、增长问题 331

习题5-8 332

部分习题答案 336

参考文献 368