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第一章 函数、极限、连续 1

第一节 函数 1

前言 1

第二节 极限 3

极限的ε-N、ε-δ定义 3

极限的求法 5

第三节 函数的连续性 14

第二章 一元函数微分学 19

第一节 导数与微分 19

导数概念 19

求函数的导数 23

隐函数的导数 26

高阶导数 26

由参数方程所给定的函数的导数 28

平面曲线的切线与法线 29

第二节 中值定理 30

第三节 罗彼塔法则 39

第四节 导数的应用 47

函数的单调性 47

函数的极值及曲线的凹性和拐点 50

最大值与最小值应用问题 53

函数图形的描绘 56

曲率 57

换元积分法 59

第一节 不定积分 59

第三章 一元函数积分学 59

分部积分法 62

换元积分法与分部积分法杂题 63

有理函数的积分 65

简单无理函数的积分 66

三角函数有理式的积分 68

杂题 68

第二节 定积分 70

定积分的性质 70

变上限的定积分 72

定积分的计算 85

杂题 93

第三节 广义积分 103

第四节 定积分的应用 108

平面图形的面积 108

体积 111

定积分在物理学上的应用 112

第四章 向量代数与空间解析几何 114

第一节 向量代数 114

第二节 空间解析几何 115

平面 115

空间的直线 116

杂题 117

第五章 多元函数微分学 121

第一节 二元函数 121

偏导数、高阶导数 122

第二节 偏导数与全微分 122

全微分 124

方向导数和梯度 125

复合函数的微分法 126

隐函数的微分法 129

多元函数微分法杂题 133

第三节 偏导数的应用 139

空间曲线的切线与法平面 139

曲面的切平面与法线 140

多元函数的极值 141

条件极值 142

最大值和最小值的应用问题 143

二重积分的计算 146

第六章 多元函数积分学 146

第一节 二重积分 146

二重积分在几何上的应用 152

二重积分在物理学上的应用 154

杂题 155

第二节 三重积分 159

三重积分的计算 159

三重积分在几何上的应用 163

三重积分在物理学上的应用 164

杂题 165

第三节 曲线积分 166

对弧长的曲线积分 166

对坐标的曲线积分 167

格林公式 168

与路径无关的曲线积分 170

曲线积分的应用 172

杂题 174

第四节 曲面积分 179

对面积的曲面积分 179

对坐标的曲面积分 180

高斯公式 181

斯托克斯公式 184

散度与旋度 185

曲面积分的应用 186

杂题 188

概念和性质 191

第一节 常数项级数 191

第七章 无穷级数 191

正项级数 192

任意项级数 197

第二节 幂级数 198

幂级数的收敛域 198

函数展开为泰勒级数 201

级数求和 204

第三节 傅立叶级数 209

第八章 常微分方程 214

第一节 一阶微分方程 214

变量可分离的方程 214

一阶线性方程 218

可用变量置换法解出的一阶方程 222

全微分方程 224

杂题 225

第二节 可降阶的高阶微分方程 227

第三节 线性微分方程 228

二阶常系数齐次线性微分方程 228

二阶常系数非齐次线性微分方程 229

欧拉方程 233

微分方程组 234

杂题 236

第九章 线性代数 240

第一节 行列式 240

第二节 矩阵 252

矩阵的运算 252

逆矩阵 255

矩阵的秩 261

分块矩阵 262

杂题 265

第三节 向量 268

n维向量与向量组的线性相关性 268

向量组的秩 270

线性空间与线性变换初步 274

第四节 线性方程组 277

克莱姆规则 277

线性方程组的解 279

杂题 285

矩阵的特征值与特征向量 291

第五节 矩阵的特征值与特征向量 291

相似矩阵及矩阵的对角化 294

正交矩阵 298

杂题 302

第六次 二次型 310

二次型的标准形 310

二次型的正定性 311

杂题 314

第十章 概率论与数理统计 318

第一节 随机事件与概率 318

事件之间的关系与基本运算 318

概率的定义 320

概率的加法公式 323

条件概率及概率的乘法公式 324

全概率公式与贝叶斯公式 327

事件的独立性 330

伯努里概型 333

杂题 334

第二节 随机变量及其分布 337

离散型随机变量的分布列 337

二项分布与泊松分布 338

连续型随机变量的概率密度 339

分布函数 341

均匀分布、指数分布与正态分布 344

随机变量函数的概率分布 346

二维随机变量的联合分布列 348

第三节 多维随机变量及其分布 348

二维随机变量的联合概率密度 350

二维随机变量的联合分布函数 351

二维随机变量的边缘分布 352

随机变量的独立性 354

随机变量函数的分布 356

第四节 随机变量的数字特征 360

数学期望 360

方差 363

随机变量函数的数学期望 366

几个重要分布的数学期望与方差 370

协方差与相关系数 371

杂题 373

第五节 大数定律与中心极限定理 377

切比雪夫不等式 377

独立同分布的中心极限定理 378

德莫佛-拉普拉斯定理 379

第六节 数理统计的基本概念 381

第七节 参数估计 383

矩估计与极大似然估计 383

估计量的评选标准 385

区间估计 388

第八节 假设检验 390

假设检验的两类错误 390

单个正态总体的假设检验 392

两个正态总体的假设检验 393

总体分布假设的x2检验 394

第十一章 复变函数 397

第一节 复数与复变函数 397

复数及其运算 397

区域 398

复变函数 399

第二节 解析函数 400

复变函数的可导与解析 400

调和函数与解析函数 402

初等函数 402

杂题 403

第三节 积分 405

复变函数的积分 405

柯西积分公式与高阶导数公式 406

杂题 409

第四节 级数 410

幂级数 410

罗朗级数 412

杂题 413

第五节 留数 415

孤立奇点 415

留数的计算 416

留数定理 417

用留数求实积分 419

第六节 保角映射 421

答案 424

附录 是非题与选择题 595