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第1章 绪论 1

1.1 数学方法概述与作用 1

1.2 微积分所研究的两个基本问题及方法 2

1.3 怎样学习高等数学 5

习题1 6

第2章 函数 7

2.1 函数及其性质 7

2.1.1 函数的概念 7

2.1.2 函数的几种特性 10

2.2 初等函数 10

2.2.1 基本初等函数 10

2.2.2 复合函数 11

2.2.3 初等函数 11

2.3 数学模型方法概述 12

2.3.1 数学模型的概念 12

2.3.2 数学模型的建立过程 12

2.3.3 函数模型的建立 13

2.4.1 内容提要 14

2.4 本章小结 14

2.4.2 疑点解析 15

习题2 16

第3章 极限与连续 17

3.1 极限的概念 17

3.1.1 数列的极限 17

3.1.2 函数的极限 18

3.1.4 关于极限概念的说明 21

3.1.3 极限的性质 21

3.1.5 无穷小量 22

3.1.6 无穷大量 23

3.2 极限的运算 24

3.2.1 极限的运算法则 24

3.2.2 两个重要极限 26

3.2.3 无穷小的比较 28

3.3.1 函数的连续性定义 29

3.3 函数的连续性 29

3.3.2 初等函数的连续性 31

3.3.3 闭区间上连续函数的性质 32

3.4 本章小结 33

3.4.1 内容提要 33

3.4.2 疑点解析 33

习题3 34

第4章 导数与微分 36

4.1 导数的概念 36

4.1.1 两个实例 36

4.1.2 导数的概念 37

4.1.3 可导与连续的关系 40

4.1.4 求导举例 41

4.2 求导法则 42

4.2.1 函数的和，差，积，商的求导法则 42

4.2.2 复合函数的求导法则 43

4.2.3 反函数的求导法则 45

4.2.4 基本初等函数的求导公式 46

4.2.5 三个常用的求导方法 47

4.2.6 高阶导数 49

4.3 微分 50

4.3.1 微分的概念 50

4.3.2 微分的几何意义 52

4.3.3 微分的运算法则 52

4.3.4 微分在近似计算中的应用 54

4.4 本章小结 55

4.4.1 内容提要 55

4.4.2 疑点解析 55

习题4 55

第5章 导数的应用 58

5.1 微分中值定理 58

5.2 洛必达法则 60

5.3.1 函数的单调性 63

5.3 函数的单调性、极值与最值 63

5.3.2 函数的极值 65

5.3.3 函数的最大值与最小值 67

5.4 函数图形的凸向与拐点 69

5.5 本章小结 73

5.5.1 内容提要 73

5.5.2 疑点解析 74

习题5 75

第6章 不定积分 77

6.1 不定积分的概念及性质 77

6.1.1 不定积分的概念 77

6.1.2 基本积分公式 79

6.1.3 不定积分的性质 79

6.2 不定积分的积分方法 81

6.2.1 第一换元积分法(或称凑微分法) 81

6.2.2 第二换元积分法 85

6.2.3 分部积分法 87

6.2.4 简单有理函数的积分 90

6.3 本章小结 94

6.3.1 内容提要 94

6.3.2 疑点解析 94

习题6 95

第7章 定积分 97

7.1 定积分的概念及性质 97

7.1.1 定积分的实际背景 97

7.1.2 定积分的概念 98

7.1.3 定积分的几何意义 99

7.1.4 定积分的性质 100

7.2 微积分基本公式 102

7.2.1 变上限的定积分 102

7.2.2 微积分基本公式 104

7.3 定积分的计算方法 105

7.3.1 定积分的换元法 105

7.3.2 定积分的分部积分法 107

7.4 无限区间上的广义积分 108

7.5 本章小结 110

7.5.1 内容提要 110

7.5.2 疑点解析 110

习题7 111

第8章 定积分的应用 113

8.1 定积分的几何应用 113

8.1.1 定积分的微元法 113

8.1.2 用定积分求平面图形的面积 114

8.1.3 用定积分求体积 117

8.1.4 平面曲线的弧长 119

8.2 定积分的物理应用举例 121

8.3 本章小结 123

8.3.1 内容提要 123

8.3.2 疑点解析 124

习题8 125

9.1 常微分方程的基本概念 127

第9章 常微分方程 127

9.2 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 128

9.2.1 可分离变量的微分方程 128

9.2.2 齐次型微分方程 130

9.2.3 一阶线性微分方程 130

9.2.4 可降阶的高阶微分方程 133

9.3 二阶常系数线性微分方程 134

9.3.1 二阶线性微分方程解的结构 134

9.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 135

9.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 137

9.4 微分方程在数学建模中的应用 141

9.5 本章小结 147

9.5.1 内容提要 147

9.5.2 疑点解析 147

习题9 149

10.1.1 空间直角坐标系 151

10.1 空间直角坐标系与向量的概念 151

第10章 空间解析几何与向量 151

10.1.2 向量的概念及其线性运算 152

10.1.3 向量的坐标表示 153

10.2 向量的数量积与向量积 156

10.2.1 向量的数量积 156

10.2.2 向量的向量积 158

10.3 平面与直线 160

10.3.1 平面方程 160

10.3.2 直线方程 164

10.4 曲面与空间曲线 168

10.4.1 曲面方程的概念 168

10.4.2 柱面 169

10.4.3 旋转曲面 170

10.4.4 二次曲面 171

10.4.5 空间曲线及其在坐标面上的投影 173

10.5.2 疑点解析 174

10.5.1 内容提要 174

10.5 本章小结 174

习题10 175

第11章 多元函数微分学 178

11.1 多元函数的概念、极限及连续 178

11.1.1 多元函数 178

11.1.2 二元函数的极限与连续 180

11.2 偏导数 181

11.2.1 偏导数 181

11.2.2 高阶偏导数 183

11.3 全微分 184

11.3.1 全微分的定义 184

11.3.2 全微分在近似计算中的应用 186

11.4 多元复合函数微分法及偏导数的几何应用 186

11.4.1 复合函数微分法 186

11.4.2 隐函数的微分法 189

11.4.3 偏导数的几何应用 191

11.5.1 二元函数的极值 193

11.5 多元函数的极值 193

11.5.2 多元函数的最大值与最小值 194

11.5.3 条件极值 195

11.6 本章小结 197

11.6.1 内容提要 197

11.6.2 疑点解析 197

习题11 198

第12章 多元函数的积分学 201

12.1 二重积分的概念与计算 201

12.1.1 二重积分的概念与性质 201

12.1.2 在直角坐标系下计算二重积分 203

12.1.3 在极坐标系下计算二重积分 207

12.2 二重积分应用举例 209

12.3 对坐标的曲线积分 211

12.3.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 211

12.3.2 对坐标的曲线积分的计算 212

12.4.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 215

12.4 格林(Green)公式 215

12.4.1 格林公式 215

12.5 本章小结 217

12.5.1 内容提要 217

12.5.2 疑点解析 217

习题12 219

第13章 无穷级数 222

13.1 数项级数 222

13.1.1 数项级数的概念与性质 222

13.1.2 正项级数及其敛散性 224

13.1.3 交错级数及其敛散性 228

13.1.4 绝对收敛与条件收敛 228

13.2 幂级数 229

13.2.1 幂级数的概念 229

13.2.2 幂级数的性质 232

13.2.3 将函数展开成幂级数 234

13.2.4 幂级数的应用 237

13.3 傅里叶级数 239

13.3.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 239

13.3.2 以2l为周期的函数展开成傅里叶级数 244

13.4 本章小结 245

13.4.1 内容提要 245

13.4.2 疑点解析 246

习题13 248

第14章 矩阵 251

14.1 矩阵及其运算 251

14.1.1 矩阵的概念 251

14.1.2 矩阵的加法 252

14.1.3 数与矩阵的乘法(数乘矩阵) 253

14.1.4 矩阵的乘法 253

14.1.5 矩阵的转置 256

14.2 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 256

14.2.1 矩阵的初等行变换 256

14.2.2 初等矩阵 257

14.2.3 矩阵的秩 258

14.3 方阵的行列式 259

14.3.1 方阵行列式的定义 259

14.3.2 行列式的性质 260

14.3.3 克拉默法则 262

14.4 逆矩阵 264

14.4.1 逆矩阵的概念 264

14.4.2 逆矩阵的性质 264

14.5 矩阵的应用 267

14.6 本章小结 269

14.6.1 内容提要 269

14.6.2 疑点解析 270

习题14 272

第15章 数学应用软件简介 275

15.1 初识符号计算系统Mathematica 275

15.1.1 用Mathematica进行算术运算 275

15.1.3 系统的帮助 276

15.1.2 用Mathematica进行代数运算 276

15.2.1 Mathematica中的常用函数 277

15.2.2 Mathematica中的常数 277

15.2 用Mathematica进行函数运算 277

15.2.3 Mathematica的函数与变量 278

15.3 用Mathematica求极限 278

15.4 用Mathematica进行求导运算 280

15.5 用Mathematica解导数应用问题 281

15.6 用Mathematica计算积分 281

15.7 用Mathematica解常微分方程 282

15.8 用Mathematica进行向量和矩阵运算 282

15.9 用Mathematica进行级数运算 283

15.10 用Mathematica解方程和方程组 284

15.11.2 曲线拟合 285

15.11.4 常微分方程的数值解 285

15.11.3 数值积分 285

15.11 用Mathematica进行数值计算 285

15.11.1 求方程的近似解 285

习题参考答案 287

习题2 287

习题3 287

习题4 288

习题5 290

习题6 291

习题8 293

习题7 293

习题9 294

习题10 295

习题11 297

习题12 299

习题13 300

习题14 301

参考文献 303