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第七章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数 1

一、多元函数概念 1

二、多元函数的极限 5

三、多元函数的连续性 7

第二节 偏导数 9

一、偏导数的定义 10

二、偏导数的计算 12

三、高阶偏导数 13

第三节 全微分 16

一、全微分的定义 16

二、可微分的条件 17

第四节 多元复合函数的求导法则 20

第五节 隐函数的求导公式 27

一、一个方程的情形 27

二、方程组的情形 29

第六节 偏导数的应用 32

一、偏导数的几何上的应用 33

二、多元函数的极值及其求法 38

第七节 方向导数与梯度 45

一、方向导数 45

二、梯度 47

第八节 二元函数的泰勒公式 50

一、二元函数的泰勒公式 50

二、极值存在的充分条件的证明 53

第八章 重积分 56

第一节 二重积分的概念与性质 56

一、二重积分的概念 56

二、二重积分的性质 59

第二节 二重积分的计算 61

一、利用直角坐标系计算二重积分 61

二、利用极坐标计算二重积分 69

第三节 三重积分的概念及其计算 77

第四节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 81

一、利用柱面坐标计算三重积分 81

二、利用球面坐标计算三重积分 84

第五节 重积分的应用 88

一、二重积分的应用 88

二、三重积分的应用 96

第九章 曲线积分与曲面积分 106

第一节 对弧长的曲线积分 106

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 106

二、对弧长的曲线积分的计算法 108

第二节 对坐标的曲线积分 112

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 112

二、对坐标的曲线积分的计算法 115

三、两类曲线积分之间的联系 121

第三节 格林公式 123

一、格林公式 123

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 127

三、二元函数的全微分求积 130

第四节 对面积的曲面积分 136

一、对面积的曲面积分的概念与性质 137

二、对面积的曲面积分的计算法 138

第五节 对坐标的曲面积分 142

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 142

二、对坐标的曲面积分的计算法 145

三、两类曲面积分之间的联系 148

第六节 高斯公式 152

第七节 向量场的散度与旋度 157

一、通量与散度 157

二、斯托克斯公式 160

三、环流量与旋度 164

第十章 无穷级数 170

第一节 常数项级数的概念与性质 170

一、常数项级数的概念 170

二、无穷级数的基本性质 173

三、级数收敛的必要条件 175

第二节 常数项级数的审敛法 177

一、正项级数及其审敛法 177

二、交错级数及其审敛法 187

三、任意项级数的敛散性（绝对收敛与条件收敛） 188

第三节 幂级数 191

一、函数项级数的一般概念 191

二、幂级数及其敛散性 192

三、幂级数的运算 198

第四节 函数展开成幂级数 204

一、泰勒级数 204

二、函数展开成幂级数 206

三、函数的幂级数展开式的应用 214

第五节 傅里叶级数 220

一、三角级数及三角函数系的正交性 220

二、函数展开成傅里叶级数 222

三、正弦级数和余弦级数 231

第十一章 微分方程 242

第一节 微分方程的基本概念 242

第二节 可分离变量的微分方程、齐次方程 247

一、可分离变量的微分方程 247

二、齐次方程 250

第三节 一阶线性微分方程、贝努利方程 254

一、一阶线性微分方程 254

二、贝努利方程 257

第四节 全微分方程 262

第五节 可降阶的高阶微分方程 265

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 265

二、y′′＝f（x，y′）型的微分方程 266

三、y′′＝f（y，y′）型的微分方程 268

第六节 线性微分方程的解的结构 269

一、线性微分方程的基本概念 269

二、线性微分方程的解的结构 271

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 274

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 279

一、f（x）＝Pm（x）eλx型 280

二、f（x）＝eλx［Pl（x）coswx＋Pn（x）sinwx］型 284

第九节 欧拉方程 288

第十节 微分方程的应用 290