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第一章 绪论 1

第一节 算法 1

一、算法的表述形式 1

二、算法的基本特点 2

三、算法描述语言 4

第二节 误差 7

一、误差的来源 7

二、误差的基本概念 7

三、有效数字 8

一、数值运算时误差的传播 9

第三节 设计算法时应注意的原则 9

二、算法中应避免的问题 10

习题一 12

第二章 线性方程组的直接解法 13

第一节 引言 13

第二节 高斯（Gauss）消元法 13

一、高斯消元法的基本思想 14

二、高斯消元法法公式 14

三、高斯消元法的条件 15

四、高斯消元法的计算量估计 15

第四节 选主元的高斯消元法 16

二、全主元消元法 17

一、列主元消元法 17

第五节 高斯-若当(Gauss-Jordan)消元法 18

一、高斯-若当消元法 18

二、求方阵的逆 19

第六节 矩阵的LU分解 20

一、矩阵的LU分解 20

二、直接LU分解 22

三、方阵行列式求法 24

四、克劳特（Crout）分解 24

一、矩阵的LDU分解 25

二、对称正定矩阵的乔累斯基（Cholesky）分解 25

第七节 平方根法 25

三、平方根法和改进的平方根法 26

第七节 追赶法 27

第八节 向量和矩阵的范数 30

一、向量范数 30

二、矩阵范数 30

三、谱半径 32

四、条件数及病态方程组 33

习题二 36

第三章 线性方程组的迭人解法 39

第一节 迭代法的一般形式 39

第二节 几种常用的迭代法公式 39

一、简单迭代法 39

二、塞德尔（Seidel）迭代法 41

三、逐次超松驰法（SOR方法） 42

第三节 迭代法的收敛条件 44

一、迭代法的一般形式的收敛条件 44

二、从矩阵A判断收敛的条件 47

第四节 共轭斜向法 50

一、与线性方程组等价的极值问题 50

二、沿已知方向求函数φ（x）的极小值问题 50

三、最速下降法 51

四、A共轭向量系 52

五、共轭斜向法 52

习题三 54

第四章 方阵特片值和特征向量计算 56

第一节 幂法和反幂法 56

一、幂法 56

二、幂法的其他复杂情况 59

三、反幂法 59

四、原点平移加速技术 60

五、求已知特征值的特征向量 61

第二节 雅可比方法 62

一、平面旋转矩阵 63

二、古典雅可比方法 65

三、过关雅可比方法 66

一、豪斯豪德尔（Householder）变换 67

第三节 QR方法 67

二、化一般矩阵为拟上三角矩阵 68

三、矩阵的正交三角分解 70

四、QR方法 71

习题四 71

第五章 非线性方程和方程组的数值解法 73

第一节 对分法 73

一、逐步扫描法 73

二、对分法 74

一、迭代法的基本思想 77

二、迭代法的几何解释 77

第二节 迭代法 77

三、迭代法收敛条件 78

四、迭代法的收敛速度 81

第三节 迭代法的加速 82

一、松驰法 82

二、埃特金（Altken）方法 82

第四节 牛顿(Newton)法 84

一、牛顿法的基本思想 84

二、牛顿法的几何意义 85

三、牛顿迭代法的收敛性 85

四、牛顿法的收敛速度 86

第五节 割线法 86

第六节 抛物线法 88

一、求解非线性方程组的牛顿法 90

第七节 非线性方程组的解法 90

二、拟牛顿法 92

习题五 94

第六章 插值法与数值微分 95

第一节 拉格朗日（Lagrange）插值 96

一、线性插值 96

二、二次插值 97

三、n次插值 98

第二节 插值多项式的唯一性及误差估计 99

一、插值多项式的唯一性 99

二、插值公式的余项 100

一、差商 101

第三节 牛顿插值 101

二、牛顿插值公式 102

第四节 埃特金插值法 104

第五节 埃尔米特（Hermite）插值 107

一、埃尔米特插值多项式 107

二、误差估计 108

第六节 分段插值 110

一、分段线性插值 111

二、分段埃尔米特插值 112

第七节 样条插值 113

一、样条插值的基本概念 113

二、样条插值公式 114

三、样条插值的收敛性 116

第八节 数值微分 117

习题六 119

第七章 数据似合和函数逼近 122

第一节 拟合与逼近的概念 122

一、数据拟合 122

二、函数逼近 122

第二节 超定方程组的最小二乘解 123

第三节 多项式拟合 124

第四节 多项式拟合中克服正规方程组的病态 128

一、线性赋范空间 129

第五节 最佳一致逼近多项式 129

二、最佳一致逼近多项式 130

三、最佳一致逼近多项式的特征 130

第六节 最佳平方逼近多项式 131

一、内积和内积空间 132

二、最佳平方逼近多项式 132

第七节 正交多项式系 134

一、正交函数系 134

二、正交多项式系 135

三、正交多项式在逼近和拟合中的应用 137

第八节 近似最佳一致逼近多项式 139

一、切比雪夫多项式的性质 139

二、切比雪夫节 点插值 140

三、缩减幂级数法 141

习题七 142

第八章 数值积分 144

第一节 求积公式 144

一、求积公式 144

二、求积公式的余项和代数精度 144

三、矩形求积公式 145

四、内插求积公式 146

第二节 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式 146

一、梯形公式 146

二、抛物形公式 147

三、牛顿-柯特斯公式 149

第三节 复化求积公式 150

一、复化梯形公式 151

二、复化抛物形公式 154

第四节 龙贝格（Romberg）求积公式 155

第五节 高斯型求积公式 159

一、高代数精度的求积公式 159

二、几个常用的高斯型求积公式 162

习题八 165

第九章 常微分方程初值问题的数值解法 167

第一节 引言 167

一、基本知识复习 167

二、一阶常微分方程组和高阶常微分方程 167

一、欧拉方法的导出 168

第二节 欧拉（Euler）方法 168

二、欧拉隐式公式和欧拉中点公式 169

三、局部截断误差和方法的阶 170

四、梯形公式及其预估——校正法 170

第三节 龙格-库塔（Runge-Kutta）法 173

一、二阶R-K法 173

二、四阶R-K法 175

三、步长的自动选择 176

第四节 线性多步法 177

一、用待定系数法构造线性多步法 177

二、用数值积分法构造线性多步法公式 180

一、阿达姆斯公式的PEC模式 182

第五节 预估—校正法 182

二、阿达姆斯公式的PMECME模式 183

三、哈明（Hamming）法PMECME模式 183

第六节 一阶常微分方程组和高阶方程 184

一、一阶常微分方程组 184

二、高阶常微分方程 185

第七节 相容性、收敛性和稳定性 186

一、相容性 186

二、收敛性 187

三、稳定性 187

习题九 189

参考书目 191