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第一章 函数与极限 1

§1．1 函数 1

一、常量与变量 1

二、函数概念 3

三、复合函数 6

四、初等函数 7

§1．2 极限 9

一、数列的极限 10

二、函数的极限 13

三、无穷小量 与无穷大量 19

四、关于变量极限的运算定理 23

五、极限存在 的准则及两个重要极限 29

六、无穷小量的比较 34

§1．3 函数的连续性 38

一、函数的连续性概念 38

二、函数的间断点 41

三、连续函数的运算及初等函数的连续性 43

四、闭区间上连续函数的性质 46

一、问题的引入 52

第二章 导数与微分 52

§2．1 导数概念 52

二、导数的定义 55

三、导数的几何意义 58

四、可导与连续的关系 60

§2．2 求导法则 62

一、导数的四则运算 62

二、复合函数的导数 66

三、反函数的导数 67

四、初等函数的导数 69

五、隐函数的导数 71

六、高阶导数 74

七、参数方程所确定的函数的导数 76

§2．3 微分概念 81

一、问题的引入 81

二、微分的定义 82

三、可微与可导的关系 82

四、微分的几何意义 84

五、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 85

六、微分在近似计算中的应用 87

第三章 中值定理与导数的应用 91

§3．1 中值定理 91

一、罗尔（Rolle）定理 91

二、拉格朗日（Lagrange）定理 93

三、柯西（Cauchy）定理 95

§3．2 罗必塔法则 97

一、？型的未定式 97

二、？型的未定式 99

三、其他型未定式：0·∞，∞-∞，00，1∞，∞0 101

§3．3 台劳（Taylor）公式 105

§3．4 导数的应用 110

一、一阶导数的应用 110

二、二阶导数的应用 119

三、函数作图 125

四、曲率 127

§4．1 不定积分的概念和性质 133

一、原函数与不定积分的概念 133

第四章 不定积分 133

二、不定积分的性质 135

三、基本积分公式表 135

§4．2 换元积分法与分部积分法 138

一、换元积分法（简称换元法） 138

二、分部积分法 148

§4．3 有理函数和可化为有理函数的积分 154

一、有理函数的积分 154

二、可化为有理函数的积分 160

一、问题的引入 170

第五章 定积分及其应用 170

§5．1 定积分的概念与性质 170

二、定积分的定义 174

三、定积分的性质 177

§5．2 微积分学基本公式 183

一、积分上限的函数 183

二、牛顿-莱布尼兹公式 184

§5．3 定积分的换元积分法和分部积分法 188

一、定积分的换元积分法 188

二、定积分的分部积分法 193

一、无穷积分（即积分区间为无限区间） 195

§5．4 广义积分 195

二、瑕积分（即被积函数在积分区间上有无穷间断点） 198

§5．5 定积分的应用 202

一、平面图形的面积 204

二、立体体积 214

三、平面曲线的弧长 217

四、重心 221

五、转动惯量 225

§6．1 基本概念 229

第六章 微分方程 229

§6．2 一阶微分方程 233

一、可分离变量的方程 233

二、可化为可分离变量方程的方程 239

三、一阶线性微分方程 243

§6．3 二阶微分方程 248

一、可降阶的二阶微分方程 248

二、二阶线性微分方程 253

§6．4 常系数二阶线性微分方程 256

一、常系数二阶齐次线性方程 257

二、常系数二阶非齐次线性方程 260

第七章 多元函数微分学 269

§7．1 多元函数 269

一、 多元函数的概念 269

二、 二元函数的极限 273

三、二元函数的连续性 275

§7．2 多元函数的导数和微分 277

一、偏导数 277

二、高阶偏导数 281

三、全微分 283

四、方向导数 288

§7．3 多元函数的求导法则 293

一、复合函数的求导法则 293

二、复合函数的全微分公式 298

三、隐函数的求导公式 299

§7．4 多元函数的偏导数的应用 303

一、在几何上的应用 303

二、多元函数的极值 310

三、条件极值 315

一、问题的引入 320

§8．1 二重积分的概念与性质 320

第八章 多元函数积分学 320

二、二重积分的定义 322

三、二重积分的性质 324

§8．2 二重积分的计算 326

一、在直角坐标系下计算二重积分 326

二、在极坐标系下计算二重积分 335

§8．3 三重积分的概念和计算 342

一、三重积分的概念 342

二、三重积分的算计 344

三、用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 350

§8．4 重积分的应用 359

一、在几何学中的应用 360

二、在物理学中的应用 363

§8．5 曲线积分 369

一、第一型曲线积分（即对弧长的曲线积分） 370

二、第二型曲线积分（即对坐标的曲线积分） 373

三、格林（Green）公式及其应用 379

§8．6 曲面积分 392

一、第一型曲面积分（即对面积的曲面积分） 392

二、第二型曲面积分（即对坐标的曲面积分） 397

三、奥高公式 402

四、斯托克斯（Stokes）公式 406

第九章 无穷级数 412

§9．1 常数项级数 412

一、 无穷级数的概念和性质 412

二、正项级数 418

三、任意项级数 427

§9．2 幂级数 434

一、幂级数的概念及其收敛性 435

二、幂级数的运算 443

§9．3 初等函数展为幂级数 446

一、台劳（Taylor）级数 447

二、初等函数的展开式 449

§9．4 幂级数在近似计算中的应用 457

§9．5富里哀（Fourier）级数 460

一、三角级数、三角函数系的正交性 460

二、富里哀级数 463

三、正弦级数和余弦级数 468

四、任意区间上的富里哀级数 475