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目录 1

第五章 变分法 1

§1 变分法的基本概念 1

1.1 泛函定义及举例 1

1.2 变分问题举例 3

1.3 泛函的绝对极值、相对极值 5

习题1 6

§2 最简单的变分问题 7

2.1 欧拉方程的推导 7

2.2 从欧拉方程求变分问题的驻值线（方法与举例） 10

2.3 活动端点的变分问题 15

习题2 17

附录 泛函J〔y(x)〕的极值判别方法 19

习题 22

二次微分 23

3.1 多元函数的一次微分、 23

§3 泛函的变分概念 23

3.2 泛函的一次变分δJ 24

3.3 二次变分的定义 29

3.4 泛函的一次、二次变分同改变量？J间的关系 30

3.5 泛函的导数同变分间的关系 32

3.6 函数的微分与泛函的变分的 33

比较 33

3.7 泛函的极值定理 34

3.8 变分运算规则 36

3.9 例题 37

习题3 40

§4 其它类型的变分问题 41

4.1 F〔x,y,y′,y″,…,y(n)〕类型的变分问题 41

4.2 F（x,y1,y2,…,yn; y′1, 43

y′2,…,y′n）类型的变分问题 43

泛函 47

4.3 依赖于二元函数z（x,y）的 47

4.4 依赖于二元函数z（x,y）的泛函的积分式中含有二阶偏导数的情况 51

习题4 52

附录 Dirich Let原理 53

§5 受有约束的变分问题 56

5.1 受有函数形式的约束的变分 57

问题 57

5.2 受有积分形式的约束的变分 66

问题 66

习题5 70

§6 常微分方程的固有值问题，它同变分问题的关系 74

6.1 什么是常微分方程的固有值 74

问题 74

6.2 固有函数的一些性质 75

6.3 常微分方程的固有值问题同变分问题间的关系 80

7.1 哈密尔顿原理叙述（直角 82

坐标系） 82

及其应用 82

§7 哈密尔顿（HamiLton）原理 82

7.2 广义坐标系下的哈密尔顿原理 85

7.3 哈密尔顿原理应用举例 87

7.4 哈密尔顿原理的应用（续） 89

习题7 92

第六章 矢量与场论 96

§1 矢量代数简介 96

1.1 矢量与数量 96

1.2 矢量的加、减法 96

1.3 矢量的坐标表示 97

1.4 矢量的乘法——数积、矢积、混合积 98

1.5 应用举例 100

习题1 102

2.1 矢量函数 103

§2 矢量分析 103

2.2 矢量函数的极限 104

2.3 矢量函数的连续 105

2.4 矢量函数的导数 105

2.5 矢量函数的微分 108

2.6 求导公式及举例 108

2.7 矢量函数的积分 111

2.8 应用——力学问题 113

习题2 116

§3 场 118

3.1 数量场与矢量场 118

3.2 点函数 118

3.3 数量场的等值面与矢量场的 119

等量线 119

4.1 方向导数 121

§4 数量场的梯度 121

习题3 121

4.2 数量场的梯度 123

4.3 梯度的性质 125

4.4 应用举例 126

习题4 127

§5 矢量场的散度 128

5.1 矢量场的通量 128

5.2 矢量场的散度 130

5.3 散度的计算 132

5.4 散度的性质及计算举例 134

5.5 高斯（Gauss）公式及其应用 135

习题5 140

§6 矢量场的旋度 141

6.1 矢量场的环量 141

6.2 矢量场的旋度 144

6.3 旋度的计算 146

6.4 旋度的性质及举例 148

6.5 斯托克斯（Stokes）公式及格 150

林（Green）公式 150

习题6 153

§7 关于算符？及△ 154

7.1 算符与公式 154

7.2 举例 157

习题7 158

§8 几种常用的场 159

8.1 有势场 159

8.2 管形场 161

8.3 调和场与调和函数 163

习题8 164

？·？、？×？、△u 165

9.1 曲线坐标 165

§9 曲线坐标及曲线坐标下的？u、 165

9.2 正交曲线坐标 167

9.3 正交曲线坐标下的？u 169

9.4正交曲线坐标系下的？·？与 171

？×？ 171

9.5正交曲线坐标系下的△u 174

9.6柱面坐标与球面坐标下的？u、 175

？·？、？×？、△u及其它有 175

关量 175

习题9 176

§10 应用问题举例 177

10.1 电磁场方面的应用——麦克斯韦方程组 177

10.2 流体力学方面的应用——连续性方程 181

10.3 热传导方面的应用——热传导方程 182

习题10 184

§1 误差 185

第七章 数值计算方法 185

§2 线性方程组 188

2.1 引言 188

2.2 高斯消去法 188

2.3 无回代主元素法（约当法） 190

2.4 行列式、逆矩阵 193

2.5 消去法的误差 195

2.6 简单迭代法（雅可比迭代法） 198

2.7 松弛迭代法·赛德尔迭代法 202

2.8 对称方程组的平方根法 204

2.9 三对角方程组的追赶法 206

§3 一元非线性方程式 209

3.1 求实根的区间二分法 209

3.2 弦位法 210

3.3 牛顿法 211

3.4 抛物线法 212

§4 矩阵的特征值、特征向量 214

4.1 特征值问题 214

4.2 求绝对值最大的特征值及其对应的特征向量的乘幂法及反乘幂法 215

4.3 实对称矩阵的雅可比方法 219

4.4 求矩阵全部特征值的QR方法 223

§5 数值逼近 238

5.1 拉格朗日插值公式 238

5.2 牛顿插值公式·差商 241

5.3 等距插值点的插值公式·差分 244

5.4 样条函数插值法 248

5.5 曲线的拟合·最小二乘法 251

§6 数值微分和数值积分 255

6.1 数值微分 255

6.2 数值微分的误差 259

6.3 牛顿-柯特斯数值积分公式 259

6.4 复化求积公式 262

6.5 样条函数数值积分法 264

§7 常微分方程初值问题 265

7.1 折线法与改进折线法 265

7.2 龙格-库塔法 267

7.3 一阶微分方程组初值问题 269

§8 常微分方程边值问题 270

8.1 边值问题的一般概念 270

8.2 差分方法及差分方程的追赶法 271

8.3 样条函数方法 274

§9 拉普拉斯方程 277

9.1 拉普拉斯方程的差分方程 277

9.2 差分方程解的存在、唯一性 282

9.3 差分方程的迭代解法 283

9.4 一般二阶椭圆型方程的差 286

分解法 286

10.1 热传导方程的显式差分方程 287

§10 热传导方程 287

10.2 隐式差分方程及其追赶解法 289

10.3 差分方程的收敛性及稳定性 290

10.4 第三边值问题的差分方程 295

§11 波动方程 296

11.1 初值问题的差分方程 296

11.2 混合问题的差分方程 297

11.3 差分方程的收敛性及稳定性 300

第八章 概率论 302

§1 事件与概率 302

1.1 样本空间 302

1.2 事件 303

1.3 事件的运算 304

1.4 频率 305

1.5 概率的定义 307

1.6 古典型的概率计算 310

1.7 条件概率 315

1.8 事件的独立性 318

习题1 322

§2 随机变量 327

2.1 随机变量 327

2.2 分布函数 330

2.3 离散型随机变量 331

2.4 连续型随机变量 334

2.5 随机向量 336

2.6 随机变量的独立性 341

习题2 345

§3 数字特征 350

3.1 数学期望 350

3.2 方差 358

3.3 车贝晓夫不等式 362

3.4 相关系数 363

3.5 矩 366

3.6 中数 368

习题3 370

§4 常用离散型概率分布 374

4.1 0-1分布 374

4.2 均匀分布 375

4.3 二项分布 375

4.4 超几何分布 380

4.5 普阿松分布 382

4.6 几何分布 385

4.7 巴斯卡分布 387

4.8 多项分布 388

习题4 390

§5 常用连续型概率分布 392

5.1 均匀分布 392

5.2 正态分布 393

5.3 指数分布 399

5.4 Γ-分布 400

5.5 B-分布 401

5.6 韦布分布 401

5.7 拉普拉斯分布 402

5.8 多元正态分布 403

习题5 406

§6 随机变量的函数 409

6.1 随机变量的函数分布 409

6.2 随机向量的函数的分布 413

6.3 顺序统计量的分布 416

6.4 随机向量的变换 418

6.5 x2-分布 421

6.6 t-分布 424

6.7 F-分布 425

习题6 427

§7 极限定理 430

7.1 大数定律 430

7.2 车贝晓夫大数定律 431

7.3 贝努里大数定律 434

7.4 中心极限定理 435

7.5 林德伯格-勒维定理 435

7.6 德莫佛-拉普拉斯定理 437

7.7 格德伯格定理 440

习题7 441

附录一 常用分布表 444

附录二 二项分布？pk（n,p）的 447

数值表 447

附录三 普阿松分布 448

？pk（λ）的数值表 448

附录四 正态分布数值表 450