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第一章 初等数学 1

一、初等代数 1

1.数系 1

2.十进制与二进制 1

3.乘法和因式分解 1

4.指数 2

5.对数 3

6.分式 3

7.比例 5

8.根式 6

9.不等式 6

10.复数 7

11.二、三阶行列式与三元一次方程组的解 9

12.一元二次、三次、四次方程 10

13.数列 12

14.排列、组合与二项式定理 13

1.若干平面图形的面积 15

二、初等几何 15

2.若干立体图形的体积和表面积 16

3.立体角 17

三、平面三角 18

1.度与弧度 18

2.三角函数的定义和基本关系 18

3.特殊角的三角函数值 19

5.两角和的三角函数公式 20

6.三角函数的倍角公式和半角公式 20

4.三角函数的诱导公式 20

7.三角函数的和差与积关系式 22

8.三角形的基本定理及斜三角形解法 22

9.反三角函数 24

10.基本三角方程的解集 25

第二章 解析几何 26

一、笛卡儿直角坐标系 26

1.平面直角坐标系和空间直角坐标系 26

2.两点间的距离 26

4.坐标变换 27

3.线段定比分点的坐标 27

二、平面上的直线 30

1.斜率k 30

2.平面直线方程 30

3.点线距离 31

三、二次曲线 31

1.圆 32

2.椭圆 33

3.双曲线 34

4.抛物线 35

5.圆锥曲线方程 36

四、常用平面曲线 36

五、平面 42

1.平面方程 42

2.点到平面的距离 43

六、空间直线 43

1.空间直线的方向 43

3.直线、平面间的相互关系 44

2.空间直线方程 44

七、二次曲面 45

1.球面 45

2.椭球面 45

3.双曲面 46

4.抛物面 46

5.柱面 47

6.锥面 47

1.行列式的定义及拉普拉斯展开式 49

第三章 线性代数 49

一、行列式 49

2.行列式的性质 50

3.几个特殊行列式 53

二、矩阵 55

1.矩阵的定义、子式和秩 55

2.矩阵的代数运算 56

3.矩阵的微积分 60

4.特殊矩阵 60

5.矩阵的变换 67

三、线性方程组 70

1.线性方程组的一般形式及解的判定和结构 70

2.n个未知量n个方程的线性方程组的解法 71

四、线性矢量空间和线性变换 72

1.线性矢量空间 72

2.内积空间和Schmit正交化 74

3.线性变换 76

4.本征方程和本征值 78

第四章 微分学 80

一、函数 80

1.区间和邻域 80

2.函数及其特性 80

二、初等函数 81

1.幂函数 81

2.指数函数 81

3.对数函数 81

4.三角函数 82

5.反三角函数 83

6.双曲函数 85

三、函数的极限 87

1.定义 87

2.函数极限运算法则 87

四、函数的连续性 88

2.连续性判别法则 88

1.定义 88

4.两个基本极限 88

3.函数极限存在判别法则 88

五、导数和微分 89

1.定义及几何意义 89

2.导数基本公式 89

3.微分法则 91

六、多元函数的偏导数与全微分 92

1.偏导数 92

3.复合函数微分法 93

4.混合偏导数性质 93

2.全微分 93

5.方向导数 94

6.隐函数求导法 94

七、微分学基本定理 95

1.中值定理 95

2.洛必达法则 95

3.泰勒公式 96

1.单元函数微分学的应用 97

八、微分学的应用 97

2.多元函数微分学的应用 99

第五章 积分学 102

一、不定积分 102

1.不定积分的性质 102

2.不定积分法 102

3.不定积分表 104

二、定积分 120

1.定积分的性质 120

3.定积分的计算 121

2.积分中值定理 121

4.广义积分 122

5.含参变量积分 125

三、重积分 126

1.二重积分 126

2.三重积分 128

四、曲线积分和曲面积分 130

1.对弧长的曲线积分 130

2.对坐标的曲线积分 131

3.对面积的曲面积分 132

4.对坐标的曲面积分 133

五、积分的应用 134

1.平面图形的面积 134

2.曲面面积 135

3.体积 136

4.弧长 137

5.平均值及重心 137

6.转动惯量 138

2.收敛级数的基本性质 140

1.定义 140

第六章 级数 140

一、级数的基本概念 140

二、正项级数收敛判别法 141

1.收敛准则 141

2.比较判别法 141

3.比值判别法 141

4.柯西判别法 142

三、任意项级数收敛判别法 142

1.绝对收敛和条件收敛 142

2.变号级数收敛判别法 143

1.一致收敛 143

2.一致收敛判别法 143

3.函数项级数的运算 144

1.收敛半径R的计算公式 145

2.幂级数的运算 145

3.函数的幂级展开式 145

四、函数项级数 145

五、幂级数 145

六、傅里叶级数 150

1.定义 150

2.傅里叶级数的收敛性 151

3.傅里叶级数的复数形式 152

4.傅里叶级数的逐项微分与积分 152

5.函数展开成傅里叶级数的步骤 153

6.常用傅里叶级数展开式 154

1.基本概念 159

七、无穷乘积 159

2.无穷乘积的收敛判别法 160

3.无穷乘积展开式实例 160

第七章 常微分方程 162

一、一阶微分方程 162

1.导数已解出的可积型一阶微分方程 162

2.可积型一阶隐方程 165

二、二阶微分方程 166

1.特殊型二阶微分方程 166

2.二阶齐次线性微分方程的幂级数解法 168

1.y(n)=f(x) 170

2.y(n)=f(y(n-1)) 170

3.y(n)=f(y(n-2)) 170

三、可积型高阶微分方程 170

4.F(y(n-F),y(n))=0 171

5.F(x,y(n))=0 171

四、n阶线性微分方程 171

1.变系数n阶线性微分方程 171

2.常系数n阶线性微分方程 172

五、欧拉方程 175

六、常系数线性微分方程组 175

七、常系数非齐次线性微分方程及其算子解法 177

1.常系数非齐次线性微分方程的算子解法 177

2.常系数非齐次线性微分方程组的算子解法 180

1.动力学系统与相空间 181

2.二维定常系统的奇点分类 181

八、微分方程稳定性理论初步 181

3.极限环 185

4.李亚普诺夫稳定性理论 186

第八章 偏微分方程 188

一、一阶偏微分方程 188

1.一阶线性偏微分方程 188

2.一阶拟线性偏微分方程 189

3.一阶非线性偏微分方程 190

2.多自变量的二阶线性偏微分方程的分类 192

二、二阶线性偏微分方程的分类 192

1.二个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 192

三、三类典型的二阶线性偏微分方程 193

1.双曲型方程 193

2.抛物型方程 198

3.椭圆型方程 201

4.拉普拉斯方程的格林函数法 203

5.δ函数和基本解 204

1.解析函数的定义 207

2.解析函数的性质 207

第九章 复变函数 207

一、解析函数 207

3.解析函数的四个等价条件 208

4.初等解析函数 208

二、复变函数的积分、柯西积分定理和柯西积分公式 211

1.复变函数的积分 211

2.柯西积分定理 212

1.复幂级数的收敛半径R 213

2.泰勒级数 213

三、泰勒级数和罗朗级数 213

3.柯西积分公式 213

3.罗朗级数 215

四、孤立奇点与留数 215

1.单值函数的三类孤立奇点 215

2.留数 216

3.留数定理 216

4.孤立奇点的留数计算法 216

5.利用留数计算定积分 217

五、保角变换 218

1.几种最简单的保角变换 218

2.线性变换 220

第十章 变分法 221

一、固定边界的变分问题 221

1.最简单的变分问题 221

2.欧拉方程的几种推广 222

3.带有约束条件的变分问题 222

二、可动边界的变分问题 223

第十一章 概率论 227

一、概率的基本概念 227

1.事件 227

2.事件间的关系 227

3.概率的古典定义 228

4.概率的公理化定义 228

二、概率的基本性质和计算公式 229

1.概率的基本性质 229

2.条件概率和乘法定理 229

3.几个常用公式 230

三、随机变量及其分布函数 231

1.定义 231

2.分布函数的基本性质 231

3.离散型随机变量的概率分布 231

4.连续型随机变量的概率分布 232

5.随机变量的联合分布函数 232

6.条件分布函数 233

1.数学期望与方差 234

四、随机变量的数字特征 234

2.数学期望与方差的性质及计算公式 235

3.条件数学期望 235

4.全数学期望 235

5.高阶原点矩与中心矩 236

6.相关矩和相关系数 236

五、常用分布函数 237

1.离散型概率分布 237

2.连续型分布 238

1.大数定理 243

六、极限定理 243

2.中心极限定理 244

第十二章 微分几何 245

一、曲线论 245

1.曲线的参数表示 245

2.曲线的局部性质 245

3.特殊曲线 248

1.曲面的参数表示 250

2.曲面的第一基本形式 250

二、曲面论 250

3.曲面的第二基本形式 251

4.曲面的第三基本形式 253

5.曲面论的基本定理 253

6.测地曲率和测地线 254

7.特殊曲面 257

第十三章 集合与布尔代数 260

一、集合 260

1.集合的基本概念 260

2.集合的基本运算 261

3.集族 262

4.集列的极限 263

5.笛卡尔积与幂集 264

6.等价关系与商集 265

7.映射 266

8.集合的基数 268

二、n维欧氏空间Rn中的点集 269

1.距离 269

2.邻域、内点、聚点 270

3.导集 270

4.开集、闭集、完备集 271

三、布尔代数 271

1.布尔代数的定义及性质 271

2.逻辑代数的基本概念 272

3.逻辑代数的基本公式 273

4.逻辑代数的重要规则 273

6.逻辑函数的化简 274

5.开关代数 274

第十四章 拓扑学 276

一、拓扑空间 276

1.拓扑的一般概念 276

2.点集的拓扑 277

3.拓扑空间的分离性 278

4.拓扑空间的可数性 279

5.拓扑空间的连续映射 279

7.连通性 280

6.拓扑乘积控间 280

二、度量空间 281

1.度量空间的一般概念 281

2.度量空间的拓扑 281

3.度量空间的完备化 282

三、一致空间 283

1.复合关系与逆关系 283

2.一致空间 283

1.紧致的一般概念 284

四、紧致性 284

4.一致连续 284

3.一致拓扑 284

2.紧致的性质 285

3.变换族的紧致--开拓扑 285

4.紧致化 286

五、同伦论 286

1.同伦的一般概念 286

2.基本群 287

2.单纯同调群 288

1.单形和复形 288

六、同调论 288

3.欧拉--庞加莱公式 289

第十五章 群论 291

一、群的概念 291

1.群的定义 291

2.群的若干性质 292

3.子群与陪集 292

5.群的直积 293

4.群的同构与同态 293

二、有限群表示论 294

1.群的表示 294

2.群代数与正则表示 295

3.群表示的特征标理论 295

三、置换群 296

1.置换群的基本概念 296

2.Sn群的不可约表示 297

四、典型群 298

1.线性群 298

2.正交群 298

3.辛群 299

4.酉群 299

五、李群与李代数 300

1.李群 300

2.李代数 301

一、矢量代数 305

1.矢量 305

第十六章 矢量 305

2.矢量加减法与数乘 306

3.线性关系 307

4.数性积 308

5.矢性积 309

6.混合积 310

7.矢量三重积 311

8.多重积的几个公式 311

9.矢量代数方程的解 311

2.一般矢量函数关于数量参数的导数 312

二、矢量微积分 312

1.矢量函数、极限和连续 312

3.矢径形式的矢量函数求导公式 313

4.矢量函数的泰勒展开 315

5.常用正交坐标系中矢量变换公式 316

6.矢量函数的积分 319

2.拉普拉斯算子 320

1.线性算子 320

二、偏微分算子 320

1.标量场 320

一、标量场和矢量场 320

第十七章 场论初步 320

2.矢量场 320

三、标量场的梯度 321

1.梯度 321

2.方向导数 321

3.性质 321

五、矢量场的散度 322

2.性质 322

1.散度 322

1.旋度 322

2.性质 322

四、矢量场的旋度 322

六、梯度、散度和旋度的混合运算 323

七、场论中的量在圆柱面和球面坐标系下的表达式 323

1.圆柱面坐标系 323

1.矢量场的线积分 324

2.球坐标系 324

八、线积分 324

2.环量与势场 325

九、曲面积分 326

1.标量场的通量 326

2.矢量场的标通量 326

3.矢量场的矢通量 326

1.高斯公式 327

十一、积分定理 327

2.矢量场a(r)的体积导数 327

1.标量场Φ(r)的体积导数 327

十、体积导数 327

2.斯托克斯公式 328

3.格林公式 328

第十八章 张量分析 330

一、张量概念 330

1.预备知识 330

2.张量的定义 331

3.张量代数 332

4.张量的对称和反对称 334

5.克罗内克尔符号δ 334

6.置换符号 335

7.局部基矢量 336

二、黎曼空间 336

1.黎曼空间中的几个概念 336

2.黎曼空间中的标量积与矢量积 339

1.测地线 340

三、联络和克里斯托弗尔符号 340

2.矢量的平移 341

3.联络 341

4.挠率张量 341

5.克里斯托弗尔符号 342

四、张量的协变导数 344

1.一阶张量的协变导数 344

2.内禀导数 344

5.张量场的微分运算 345

3.一阶张量的协变微分 345

4.一般张量的协变导数 345

2.曲率张量的性质 347

2.可化为Г函数的积分 347

1.曲率张量的定义 347

五、曲率张量 347

3.里奇张量、曲率标量和爱因斯坦张量 348

4.黎曼曲率 349

第十九章 傅里叶变换 351

一、傅里叶变换和反演 351

二、傅里叶变换的基本性质 351

三、傅里叶变换简表 353

四、傅里叶余弦变换表 355

五、傅里叶正弦变换表 356

第二十章 拉普拉斯变换 358

一、拉普拉斯变换和反演 358

二、拉普拉斯变换的基本性质 358

三、拉普拉斯变换表 361

3.Г函数的有关公式 370

一、Г函数 374

第二十一章 特殊函数 374

1.Г函数的几种不同定义 374

二、B函数 377

1.B函数的几种不同定义 377

2.可化为B函数的积分 377

3.B函数的有关公式 379

三、误差函数和某些超越函数积分 379

1.误差函数和菲涅耳积分 379

四、柱函数 380

2.正弦积分、余弦积分、指数积分和对数积分 380

1.第一类贝塞尔函数 381

2.第二类贝塞尔函数 386

3.第三类贝塞尔函数 388

4.球贝塞尔函数 390

5.修正贝塞尔函数 391

6.开尔文函数 392

1.勒让德多项式 393

五、正交多项式 393

2.连带勒让德多项式 395

3.球函数 396

4.切比雪夫多项式 397

5.拉盖尔多项式 398

6.埃尔米特多项式 399

第二十二章 数值分析 402

一、误差分析 402

1.绝对误差 402

2.相对误差 402

3.误差传递 402

4.有效数字 403

5.高斯误差定律 403

二、插值法 404

1.拉格朗日插值 404

2.埃特金逐步插值 404

3.牛顿插值 405

4.等距节点插值 406

5.三次样条插值 409

三、数值微分 410

1.差分求导法 410

2.拉格朗日插值求导法 411

3.牛顿插值求导法 411

4.等距求导法 412

5.三次样条函数求导法 412

1.等距求积法 413

四、数值积分 413

2.不等距求积法 414

五、常微分方程数值解法 417

1.一阶常微分方程的数值解法 417

2.一阶常微分方程组的数值解法 418

3.二阶常微分方程的数值解法 420

六、线性方程组的数值解法 421

1.高斯消去法 421

2.平方根法 422

3.追赶法 423

5.塞德尔法 424

6.松弛迭代法 424

4.雅可比迭代法 424

七、矩阵特征值的数值计算 425

1.幂法 425

2.反幂法 426

3.雅可比方法 427

4.一般方阵势QR算法 428

2.弦线法 429

八、方程的近似解 429

1.二分法 429

3.切线法 431

4.迭代法 431

5.劈因子法 433

6.蒙特卡洛方法求复根 435

7.非线性方程组的牛顿法 436

1.曲线类型的确定 437

九、实验数据的曲线拟合 437

2.线性方程的拟合 438

3.非线性函数直线化 438

4.多项式曲线拟合 439

5.曲线拟合的最小二乘法 439

第二十三章 数理统计 442

一、样本特征 442

1.总体和样本 442

2.样本分布函数 442

3.样本的数字特征 442

二、参数估计 443

1.点估计 443

2.区间估计 445

三、假设检验 450

1.基本概念 450

2.总体参数假设检验 451

3.总体分布函数的假设检验 456

1.单因素方差分析 457

四、方差分析 457

2.双因素方差分析 459

五、回归分析 462

1.最小三乘法原理 462

2.一元线性回归 463

3.可化为一元线性回归的曲线回归 469

4.多元线性回归 472

1.图与子图 475

2.图的运算 475

一、基本概念 475

第二十四章 图论 475

二、连通性 476

1.顶点的度 476

2.通路与回路 476

3.最短通路 477

三、树与割集 479

1.树与生成树 479

3.割集与断集 480

2.连枝集与基本回路集 480

四、图的矩阵表示 481

1.邻接矩阵 481

2.关联矩阵 481

3.回路矩阵 482

4.割集矩阵 483

2.二分图 484

3.平面图 484

1. 可分图与不可分图 484

五、几类重要的图 484

六、网络流 485

1.网络 485

2.网络的流 486

附录一、Г函数表 487

二、贝塞尔函数表 488

三、正态分布表 489

四、x2分布表 490

五、t分布表 492

六、希腊字母表 494