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一、数和数制 1

一、数和数制 1

1.数的分类 1

(1) 整数 1

(2) 有理数 1

(3) 无理数 1

(4) 实数 1

(5) 复数 1

2.数的运算律 1

第一章 初等数学 1

第一章 初等数学 1

(3) 八进位制 2

(4) 十六进位制 2

(1) 十进位制 2

(2) 二进位制 2

3.数制 2

4.实数运算 3

5.数制转换 6

(1) 十进位制与二进位制换算 6

(2) 八进位制与十进位制换算 6

(3) 十六进位制与十进位制换算 6

(4) 二进位制与八进位制换算 7

(5) 二进位制与十六进位制换算 7

6.复数运算 7

(1) 复数的模与辐角 7

(2) 复数表示法 8

(3) 复数运算 8

(4) 德莫弗公式 9

二 初等代数 9

1.乘法和因式分解公式 9

二、初等代数 9

2.分式 10

(1) 分式运算 10

(2) 部分分式 11

(2) 比例变换公式 12

(1) 比例基本性质 12

3.比例 12

(3) 正比与反比 13

4.根式 13

(1) 算术根 13

(2) 根式运算 13

5.不等式 14

(1) 不等式基本性质 14

(2) 简单不等式 14

(3) 绝对值不等式 15

(4) 平均值不等式 15

(5) 三角函数、指数函数、对数函数不等式 16

(6) 重要不等式 17

(1) 二阶行列式 18

(2) 三阶行列式 18

(3) 三阶行列式的对角线展开 18

6.行列式 18

7.代数方程 19

(1) 一元二次方程 19

(2) 一元三次方程 19

(3) 一元四次方程 20

(4) 一次方程组 21

(2) 等比数列 23

8.数列 23

(1) 等差数列 23

(3) 调和数列 24

(4) 常用数列前n项和公式 24

9.指数 26

(1) 指数运算律 26

(2) 指数值计算 26

10.对数 27

(1) 常用对数和自然对数 27

(2) 对数性质 27

(3) 对数运算法则 27

(1) 阶乘 28

(4) 对数换底公式 28

(2) 排列 28

(5) 对数值计算 28

11.阶乘、排列与组合 28

(3) 组合 29

12.杨辉三角形与多项式定理 29

(1) 二项式定理 29

(2) 杨辉三角形 30

三、初等几何 30

三、初等几何 30

1.三角形 30

(1) 三角形元素 30

(3) 多项式定理 30

(2) 三角形元素计算 31

(3) 三角形面积和重心计算 32

2.四边形 33

(1) 矩形 33

(2) 正方形 33

(3) 平行四边形 33

(4) 菱形 34

(5) 梯形 34

(6) 任意四边形 35

(7) 有外接圆的四边形 35

(1) 正三角形 36

3.正多边形 36

(3) 正五边形 37

(2) 正方形 37

(4) 正六边形 38

(5) 正n边形 38

4.圆 40

(1) 圆及其部分图形周长、面积和重心计算 40

(2) 与圆有关的计算 42

5.立体图形体积、表面积、侧面积和重心计算 43

(1) 正方体 43

(3) 三棱柱 44

(4) 正六棱柱 44

(2) 长方体 44

(5) 正棱锥 45

(6) 四面体 45

(7) 棱台 45

(8) 正棱台 46

(9) 截头方锥体 46

(10) 楔形 46

(11) 圆柱体 47

(12) 斜截圆柱体 47

(13) 蹄状体 48

(14) 圆锥体 48

(15) 圆台 49

(17) 半球体 49

(16) 球体 49

(18) 球扇形 50

(19) 球冠 50

(20) 球台 51

四、平面三角 51

1.弧度与度换算 51

四、平面三角 51

(1) 弧度与度换算 51

(2) 度弪互化表 52

(3) 特殊角度弪互化表 59

2.三角函数 59

3.三角函数基本关系式 60

(1) 基本关系式 60

(2) 锐角三角函数关系式 60

4.诱导公式 60

5.特殊角三角函数值 62

6.加法公式 64

7.和差化积与积化和差公式 64

(1) 和差化积公式 64

(2) 积化和差公式 65

8.倍角与半角公式 66

(1) 倍角公式 66

(2) 半角公式 67

9.降幂公式 68

11.反三角函数关系式 69

10.反三角函数 69

12.反三角函数基本公式 70

13.三角形基本定理 72

(1) 正弦定理 72

(2) 余弦定理 72

(3) 勾股定理 72

(4) 正切定理 73

(5) 面积公式 73

(6) 半角公式 73

(7) 解斜三角形 74

1.球面几何 75

五、球面三角 75

(1) 大圆 75

五、球面三角 75

(2) 反三角函数值计算 75

14.三角函数值和反三角函数值计算 75

(1) 三角函数值计算 75

(2) 测地线 76

(3) 大圆弧长 76

(4) 球面角 76

(5) 球面三角形 76

(6) 球面角超 76

(7) 球面三角形面积 76

(1) 正弦定理 77

(2) 余弦定理 77

(3) 余切定理 77

(4) 正切定理 77

(5) 五元素公式 77

(6) 半边公式 77

2.球面三角形基本定理 77

(7) 半角公式 78

(8) 其他公式 78

3.解球面三角形 79

(1) 解球面直角三角形 79

(2) 解一般球面三角形 80

第二章 解析几何 84

一、平面解析几何 84

1.平面坐标 84

(1) 坐标系 84

第二章 解析几何 84

一、平面解析几何 84

(2) 坐标变换 85

2.平面解析几何基本计算 86

(1) 两点间距离 86

(2) 定比分割 86

3.直线 87

(3) 面积 87

(1) 直线方程 87

(2) 点线关系 90

4.二次曲线 92

(1) 圆 92

(2) 椭圆 94

(3) 双曲线 98

(4) 抛物线 103

(1) 二次曲线分类 106

5.一般二次曲线 106

(2) 二次曲线方程变换 108

6.其他平面曲线 109

(3) 圆锥截线 109

二、空间解析几何 128

1.空间坐标系 128

(1) 坐标系 128

二、空间解析几何 128

(2) 坐标变换 130

(2) 方向余弦 131

(1) 两点间距离 131

2.空间解析几何基本计算 131

(3) 定比分割 132

(4) 四面体体积 133

3 空间平面方程 133

(1) 点法式 133

(2) 截距式 133

(3) 三点式 134

(4) 法线式 134

(5) 一般式 134

(6) 过两点与一直线平行的平面 135

(7) 过一点与两直线平行的平面 135

(8) 过一点与一直线垂直的平面 135

(9) 过两平面交线的平面 135

(10) 参数式 136

(11) 向量式 136

4.空间直线方程 136

(1) 一般式 136

(5) 过一点和一平面垂直的直线 137

(6) 向量式 137

(2) 标准式 137

(4) 两点式 137

(3) 参数式 137

5.点线面关系 138

(1) 点线距离 138

(2) 点面距离 138

(3) 不平行直线的距离 138

(6) 两直线夹角 139

(4) 线面距离 139

(5) 平行平面间距离 139

(7) 两平面夹角 140

(8) 线面夹角 140

(9) 直线与平面平行或垂直条件 140

(10) 两直线共面条件 141

(11) 三平面共线条件 141

(12) 三平面交点 141

6.二次曲面 142

(1) 球面 142

(14) 四点共面条件 142

(13) 四平面共点条件 142

(2) 其他二次曲面 144

7.一般曲面 148

(1) 一般曲面方程 148

(2) 旋转曲面 148

(3) 一般柱面 151

8.空间曲线 151

(1) 空间曲线方程 151

(3) 投影柱面和投影曲线 152

(2) 常用空间曲线 152

9.常用空间曲面复合 153

(1) 函数 164

一、一元函数微分学 164

(2) 初等函数 164

第三章 微分学 164

第三章 微分学 164

一、一元函数微分学 164

1.函数 164

(3) 其他函数 174

2.极限 179

(1) 数列极限 179

(2) 函数极限 179

(3) 极限存在准则 180

(4) 无穷小 180

(5) 极限运算法则 181

(6) 重要函数极限 181

3.连续 183

(1) 闭区间上连续函数 183

(2) 函数间断点 183

(3) 求导法则 184

(1) 导数 184

(2) 导数几何意义 184

4.导数与微分 184

(4) 求导基本公式 185

(5) 高阶导数 186

(6) 微分 188

(7) 中值定理与洛必达法则 189

(8) 导数与微分应用 192

二、多元函数分学 197

1.多元函数 197

(1) 二元函数 197

二、多元函数微分学 197

(2) n元函数 197

2.偏导数 198

(1) 偏导数 198

(2) 偏导数几何意义 198

(3) 求偏导数方法 198

3.全微分 198

(1) 全微分 199

(2) 全微分几何意义 199

4.复合函数微分 199

5.齐次函数与欧拉公式 200

6.隐函数微分 200

7.高阶偏导数与高阶全微分 201

(1) 高阶偏导数 201

(2) 高阶全微分 202

8.方向导数 202

9.泰勒公式 202

10.应用 203

(1) 曲线切线和法平面 204

(2) 曲面切平面和法线 204

(3) 二元函数极值 205

(4) 条件极值 205

(1) 原函数与不定积分 207

一、一元函数积分学 207

(2) 不定积分运算法则 207

第四章 积分学 207

一、一元函数积分学 207

第四章 积分学 207

1.不定积分 207

(3) 函数积分方法 208

(1) 定积分 209

2.定积分 209

(2) 定积分几何意义 210

(3) 定积分性质 210

(4) 中值定理 211

(5) 积分不等式 211

(1) 含参变理积分 212

(2) 求导公式 212

3.含参变量积分 212

(1) 牛顿-莱布尼兹公式 213

(2) 凑微分法 213

(3) 换元积分法 213

(4) 分部积分法 213

(5) 奇偶函数积分 213

(6) 周期函数积分 213

4.定积分计算 213

(2) 审敛法 214

(1) 广义积分 214

5.广义积分 214

6.不定积分表 215

(1) 简单积分公式 215

(2) 含有理式a+bx的积分公式 216

(3) 含有理式a±bx2(a,b>0)的积分公式 218

(4) 含根式？的积分公式 219

(5) 含根式？的积分公式 222

(6) 含根式？的积分公式 224

(7) 含有理式a+bx±cx2(c>0)的积分公式 225

(8) 含根式？(c>0)的积分公式 226

(9) 含其他根式的积分公式 228

(11) 含三角函数的积分公式 231

(10) 含有理式a4±x4的积分公式 231

(12) 含三角函数与其他函数乘积的积分公式 236

(13) 含反三角函数的积分公式 237

(14) 含指函数与对数函数的积分公式 238

(15) 含双曲函数的积分公式 240

7.定积分表 242

8.其他积分公式 248

二、多元函数积分学 249

二、多元函数积分学 249

(1) 二重积分 249

1.二重积分 249

(2) 直角坐标系下的积分 250

(3) 极坐标系下的积分 251

(4) 变量代换公式 252

(1) 三重积分 252

(2) 直角坐标系下的积分 252

2.三重积分 252

(3) 柱面坐标下的积分 253

(4) 球面坐标下的积分 253

(5) 变量代换公式 254

3.多重积分 255

(1) 多重积分计算 255

(2) 变量代换公式 255

4.曲线积分 255

(1) 第一类(对弧长)曲线积分 255

(2) 第二类(对坐标)曲线积分 257

(4) 曲线积分性质 258

(3) 两类曲线积分关系 258

(6) 曲线积分等价命题 259

(7) 牛顿-莱布尼兹公式推广 259

(5) 格林公式 259

5.曲面积分 260

(1) 第一类曲面积分 260

(2) 第二类曲面积分 261

(3) 两类曲面积分关系 262

(4) 曲面积分性质 262

(5) 高斯公式 263

(6) 斯托克斯公式 263

(7) 曲面积分等价命题 264

(8) 牛顿-莱布尼兹公式推广 264

三、积分应用 264

1.平面图形面积计算 264

三、积分应用 264

2.曲面面积计算 266

4.体积计算 268

(1) 平面曲线弧长计算 268

3.曲线弧长计算 268

(2) 空间曲线弧长计算 268

5.路程计算 269

6.功计算 269

7.流体压力计算 270

8.质心计算 270

(1) 平面曲线质心计算 270

(2) 空间曲线质心计算 272

(3) 平面封闭图形质心计算 272

(4) 立体图形质心计算 273

(1) 平面曲线转动惯量计算 274

(2) 空间曲线转动惯量计算 274

(3) 平面封闭图形转动惯量计算 274

(4) 立体图形转动惯量计算 274

9.转动惯量计算 274

8.函数项级数 276

7.级数余和 276

一、级数基本概念 276

6.级数发散 276

第五章 级数 276

1.级数 276

2.级数一般项 276

5.级数收敛 276

4.级数和 276

第五章 级数 276

一、级数基本概念 276

3.级数部分和 276

二、级数基本性质与审敛法 277

2.行列式相乘 277

二、级数基本性质与审敛法 277

1.级数基本性质 277

5.两个重要级数 278

(1) 等比级数 278

(2) P-级数 278

6.正项级数审敛法 278

(1) 比较审敛法 278

2.级数收敛必要条件 278

4.正项级数收敛充要条件 278

3.级数收敛充要条件 278

(5) 根值审敛法 279

(6) 拉阿伯审敛法 279

(4) 比值审敛法 279

(3) 极限审敛法 279

(2) 极限形式比较审敛法 279

(8) 伯尔特朗审敛法 280

(7) 库麦尔审敛法 280

(10) 柯西积分审敛法 280

(9) 高斯审敛法 280

7.交错级数审敛法 281

(1) 交错级数 281

(2) 交错级数审敛法 281

8.任意项级数审敛法 281

(1) 任意项级数 281

(2) 绝对收敛与条件收敛 281

(3) 绝对收敛级数性质 281

三、幂级数 282

三、幂级数 282

(4) 任意项级数审敛法 282

1.幂级数 282

2.幂级数收敛半径与收敛区间 282

(1) 幂级数四则运算 283

(1) 阿贝尔定理 283

3.幂级数运算 283

(2) 幂级数收敛半径与收敛区间 283

(2) 幂级数分析运算 284

4.泰勒级数 285

(1) 泰勒级数 285

(2) 函数f(x)的泰勒级数展开式 285

(3) 麦克劳林级数 285

(4) 函数f(x)的麦克劳林级数展开式 286

5.常用函数的幂级数展开式 286

四、傅立叶级数 291

四、傅立叶级数 291

1.三角函数系的正交性 291

2.三角级数 292

(1) 周期2π函数的傅立叶级数 292

3.傅立叶级数 292

4.傅立叶级数审敛法 293

(2) 周期2ι函数的傅立叶级数 293

5.傅立叶级数展开式 294

(1) 周期2π函数的傅立叶级数展开式 294

(2) 周期2ι函数的傅立叶级数展开式 294

(3) 其他函数的傅立叶级数展开式 295

6.常用傅立叶级数展开式 295

7.常用三角级数和 306

8.常用数项级数和 307

五、无穷乘积 310

1.无穷乘积 310

五、无穷乘积 310

2.无穷乘积审敛法 311

4.无穷乘积展开式 312

3.无穷乘积的绝对收敛 312

一、向量代数 314

第六章 向量算法与场论 314

(6) 向量坐标 314

一、向量代数 314

1.向量 314

第六章 向量算法与场论 314

(1) 向量 314

(2) 向量长度 314

(3) 零向量 314

(4) 单位向量 314

(5) 向量的方向角与方向余弦 314

(7) 向径 315

(8) 空间线段的向量表示 315

2.向量运算 315

(1) 向量加法 315

(4) 数量积 316

(2) 向量减法 316

(3) 向量的数乘 316

(5) 向量积 317

(6) 数量三重积(混合积) 318

(7) 向量三重积 318

(8) 多重积 318

二、向量分析 319

(1) 坐标表达式 319

2.向量微分 319

(2) 矢端曲线 319

1.向量函数 319

二、向量分析 319

(2) 向量函数求导法则 320

(1) 向量函数的导数 320

3.向量积分 321

(3) 向量函数性质 321

(1) 向量函数不定积分 321

(3) 向量函数重积分 322

(2) 向量函数定积分 322

(4) 向量函数曲线积分 323

(5) 向量函数曲面积分 323

2.数量场梯度 324

(2) 数量场梯度性质 324

(1) 数量场梯度 324

三、场论 324

(2) 向量场 324

(1) 数量场 324

1.数量场与向量场 324

三、场论 324

(3) 数量场梯度计算 325

3.向量场散度 325

(1) 向量场通量 325

(2) 向量场散度 326

4.向量场旋度 327

(1) 向量场环量 327

(2) 向量场环量面密度 327

(3) 向量场旋度 328

(2) 管形场 329

(1) 有势场 329

5.重要向量场 329

(3) 调和场 330

6.哈密尔顿算子及其应用 330

(1) 哈密尔顿算子 330

(2) 哈密尔顿算子应用 330

7.梯度、散度、旋度与调和量的柱坐标、球坐标表达式 331

(1) 柱坐标表达式 331

(2) 球坐标表达式 332

一、常微分方程 334

第七章 微分方程 334

一、常微分方程 334

(6) 初始条件与初值问题 334

(5) 微分方程的特解 334

(3) 微分方程的解 334

(4) 微分方程的通解 334

1.常微分方程基本概念 334

(1) 常微分方程 334

第七章 微分方程 334

(2) 微分方程的阶 334

2.一阶微分方程 335

(3) 能化为可分离变量型或齐次型的方程 335

(1) 可分离变量微分方程 335

(2) 齐次方程 335

(4) 线性微分方程 336

(5) 伯努利方程 336

(6) 全微分方程 337

(7) 含积分因子的方程 337

(8) 可将y解出的方程 339

(9) 可将x解出的方程 339

(10) 拉格朗日方程 340

(12) 黎卡提方程 340

(11) 克莱洛方程 340

(1) 缺未知函数y型的方程 341

3.二阶微分方程 341

(2) 缺自变量x型的方程 342

(3) 线性微分方程 343

(4) 其他方程 343

(12) t分布 344

4.线性微分方程 345

(1) 函数线性相关 345

(2) 线性微分方程解的结构 345

(3) 一阶线性方程 346

(4) 二阶线性方程 347

(5) 常系数线性方程 348

(6) 算子解法 352

(1) 二阶微分方程与一阶微分方程组互化 356

5.微分方程组 356

(2) 线性微分方程组 357

(3) 常系数线性微分方程组 358

(4) 定解条件 363

(5) 定解问题 363

二、偏微分方程 363

2.一阶偏微分方程 363

(3) 偏微分方程的解 363

(2) 偏微分方程的阶 363

(1) 偏微分方程 363

1.偏微分方程的基本概念 363

二、偏微分方程 363

(1) 一般解与完全解 364

(2) 特征方程与初积分 364

(3) 一阶偏微分方程 364

(4) 一阶偏微分方程标准型 365

3.二阶常系数线性偏微分方程 367

(1) 双曲型方程 368

(2) 抛物型方程 371

(3) 椭圆型方程 373

第八章 线性代数 375

一、行列式 375

1.行列式性质 375

一、行列式 375

第八章 线性代数 375

(1) 余子式与代数余子式 377

3.行列式展开 377

(3) 拉普拉斯展开 378

4.重要行列式 378

(2) 按行(列)展开 378

(1) 对角行列式 378

(2) 下三角行列式 379

(3) 范德蒙行列式 379

(4) 倒数对称行列式 379

二、矩阵 380

二、矩阵 380

(2) 单位阵(么阵) 380

1.重要矩阵 380

(3) 对角阵 380

(1) 零阵 380

(4) 上(下)三角阵 381

(5) 行阵与列阵 381

2.矩阵运算 381

(1) 矩阵相等 381

(2) 矩阵加减法 381

(4) 矩阵乘法 382

(5) 矩阵运算律 382

(3) 矩阵数乘 382

4.共轭矩阵 383

3.转置矩阵 383

5.分块矩阵 384

6.矩阵行列式 385

(1) 矩阵初等变换 386

(2) 初等矩阵 386

7.矩阵初等变换和初等矩阵 386

8.矩阵的秩 387

(1) 矩阵的秩 387

(2) 矩阵的秩的计算 387

(3) 初等矩阵性质 387

9.逆矩阵 388

(1) 逆矩阵性质 388

(2) 矩阵可逆的充要条件 388

(3) 求逆矩阵方法 388

(3) 方阵与对称矩阵和反对称矩阵 391

(1) 埃尔米特矩阵 391

11.埃尔米特矩阵和反埃尔米特矩阵 391

(1) 对称阵 391

(2) 反对称阵 391

10.对称阵和反对称阵 391

(2) 反埃尔米特矩阵 392

12.正定矩阵与负定矩阵 392

(1) 正定矩阵 392

(2) 半正定矩阵 392

(3) 负定矩阵 392

(4) 半负定矩阵 392

13.正交矩阵 393

14.酉矩阵 393

15.相似矩阵 393

16.合同矩阵 394

17.克罗内克尔乘积 394

18.矩阵分析运算 395

(1) 矩阵导数 395

(1) 齐次线性方程组 396

1.线性方程组的矩阵形式 396

三、线性方程组 396

19.矩阵的迹 396

(2) 矩阵积分 396

三、线性方程组 396

(2) 非齐次线性方程组 397

2.方程组的解 397

(1) 齐次线性方程组的解 397

(2) 非齐次线性方程组的解 398

3.线性方程组的解法 399

(1) 克莱姆法则 399

(2) 逆矩阵法 399

(4) 初等变换法 399

(3) 消元法 399

1.n维向量 400

(2) n维向量向量加减法 400

四、n维向量空间 400

(4) n维向量运算律 400

(3) 数乘n维向量 400

四、n维向量空间 400

(1) n维向量相等 400

2.n维向量运算 400

(2) 线性相关与线性无关 401

(3) 线性相关判定 401

(1) 线性组合 401

向量组线性相关 401

4.等价向量组 402

5.极大线性无关向量组 402

6.向量组的秩 403

8.基、维数和坐标 403

7.n维向量空间 403

五、线性空间 404

五、线性空间 404

1.数域P上的线性空间V 404

(1) 线性空间 404

(2) 线性空间的基本性质 404

(3) 线性相关与线性无关 405

(4) 基与维数 405

(5) 坐标 405

(1) 基变换 406

3.基变换与坐标变换 406

2.常用线性空间 406

(2) 坐标变换 407

4.子空间及其运算 407

(1) 线性子空间 407

(2) 子空间的交与和 408

(3) 子空间的直和 408

5.线性空间同构 409

(1) 欧氏空间 410

(2) 酉空间 410

六、欧氏空间和酉空间 410

六、欧氏空间与酉空间 410

1.欧氏空间与酉空间 410

(2) 正交规范化-格兰姆-施密特法 411

(3) 标准正交基 411

(1) 正交向量组 411

2.标准正交基 411

3.欧氏子空间与酉子空间的正交补 412

4.欧氏空间与酉空间的同构 412

七、线性变换 413

1.线性变换 413

2.线性变换运算 413

(1) 加法 413

(2) 数乘 413

七、线性变换 413

(3) 乘法 414

3.零变换、单位变换与逆变换 414

(1) 零变换 414

(2) 单位变换 414

(3) 逆变换 414

(4) 乘幂与多项式 414

4.线性变换的矩阵 415

5.特征值和特征向量 416

(1) 特征值和特征向量 416

(2) 特征矩阵，特征多项式和特征方程 416

(3) 特征值与特征向量的性质 417

(4) 求特征值和特征向量方法 417

6.矩阵的对角形 418

(1) λ矩阵的初等变换 418

2.λ矩阵的初等变换和标准形 418

1.λ矩阵 418

八 若当标准形 418

(2) λ矩阵的标准形 418

(5) 哈密尔顿-凯莱定理 418

八、若当标准形 418

(1) 行列式因子 419

(2) 不变因子 419

3.不变因子和初等因子 419

(3) 初等因子 419

4.矩阵相似条件 420

(1) 若当块和若当标准形 420

5.若当标准形 420

九、二次型 421

(2) 方阵标准化 421

九、二次型 421

1.二次型 421

2.二次型标准形和规范形 422

(1) 二次型标准形 422

(2) 二次型规范形 422

(3) 化二次型为标准形 422

3.正定二次型 423

(1) 正定、半正定、负定、半负定和不定型 423

(2) 判定法 423

1.事件与概率 425

(2) 事件运算 425

(1) 随机事件 425

一、概率论 425

一、概率论 425

第九章 概率论与数理统计 425

第九章 概率论与数理统计 425

(3) 等可能事件和基本事件 426

(4) 概率 426

(5) 概率运算 427

2.随机变量及分布 429

(1) 一维随机变量 429

(2) 一维分布函数 430

(3) 一维离散型分布 430

(4) 一维连续型分布 430

(5) 随机变量的函数的分布 431

(6) 二维随机变量及分布 431

(7) 二维离散型分布 432

(8) 二维连续型分布 433

(9) 边缘分布与条件分布 433

(10) 多维随机变量及分布 435

3.随机变量的数字特征 435

(1) 数学期望 435

(2) 方差 436

(3) 协方差与相关系数 436

(4) 数学期望与方差的运算公式 437

(5) 切比雪夫不等式 437

(6) 原点矩、中心矩与协方差矩阵 438

(2) 二项分布 439

(3) 泊松分布 439

4.常用概率分布 439

(1) 0-1分布 439

(4) 几何分布 440

(5) 超几何分布 440

(6) 均匀分布 441

(7) 指数分布 441

(8) 正态分布 441

(9) 标准正态分布 442

(10) 瑞利分布 442

(11) x2分布 443

(14) 柯西分布 444

(13) F分布 444

(16) 特殊随机变量函数的分布 445

(15) 威布尔分布 445

5.大数定律和中心极限定理 447

(1) 大数定律 447

(2) 中心极限定理 448

(3) 样本标准差 450

二、数理统计 450

(6) 样本变异系数 450

(5) 样本k阶中心矩 450

(4) 样本k阶原点矩 450

(2) 样本方差 450

(1) 样本均值 450

1.样本数字特征 450

二、数理统计 450

(7) 样本偏态系数 451

(8) 样本峰态系数 451

(9) 样本中位数 451

(10) 样本均差 451

(11) 样本极差 451

2.参数点估计 451

(1) 矩法 451

(2) 顺序统计量法 451

(3) 极大似然估计法 452

(4) 估计量评价标准 453

3.参数区间估计 453

(1) 置信区间与置信度 453

(2) 单个总体均值与方差区间估计 453

(3) 两个正态总体均值差估计 454

(4) 方差比的置信区间 455

(5) 0-1分布参数区间估计 455

4.假设检验 456

(2) t检验 456

(1) 假设检验的一般步骤 456

(3) F检验 458

(4) x2检验 459

5.方差分析 460

(1) 单因素方差分析 460

(2) 双因素方差分析 463

6.回归分析 468

(1) 最小二乘法原理 468

(2) 一元线性回归 469

(3) 多元线性回归 474

(1) 区域 478

第十章 复变函数 478

一、解析函数 478

1.复变函数 478

第十章 复变函数 478

一、解析函数 478

(3) 映射 479

(4) 极限 479

(2) 复变函数 479

(5) 连续 480

2. 解析函数 480

(1) 复变函数的导数 480

(2) 解析函数 480

(3) 柯西-曼条件 481

(4) 调和函数 481

3.幂函数 482

二、初等函数 482

1.指数函数 482

2.对数函数 482

二、初等函数 482

4.三角函数 483

(1) 正弦函数 483

(2) 余弦函数 483

(3) 正切函数 483

(4) 余切函数 483

5.双曲函数 484

(1) 双曲正弦函数 484

(2) 双曲余弦函数 484

(3) 双曲正切函数 484

6.反三角函数与反双曲函数 485

(1) 反三角函数 485

(2) 反双曲函数 485

三、复变函数积分 486

2. 积分存在条件及计算 486

1.复变函数积分 486

三、复变函数积分 486

3.积分的性质 487

4.解析函数的积分 487

(1) 柯西定理 487

(2) 莫累拉定理 487

(3) 积分上限函数 488

(4) 不定积分 488

(5) 积分计算公式 488

(6) 柯西积分公式 489

(7) 最大模原理 489

(8) 高阶导数公式 489

(1) 数列的极限 490

四、泰勒级数 490

1.复数项级数 490

四、泰勒级数 490

(2) 复数项级数 490

(1) 复变函数项级数 491

(2) 幂级数 491

2.幂级数 491

(3) 收敛半径与收敛圆 492

3.泰勒级数 492

(1) 泰勒级数展开定理 492

(2) 解析函数的零点 493

(3) 常用初等函数的泰勒级数展开式 493

1.罗朗级数展开定理 494

2.孤立寄点 494

五、罗朗级数 494

五、罗朗级数 494

(1) 可去奇点 495

(2) 极点 495

(3) 本性寄点 495

3.函数的零点与极点的关系 495

六、留数 495

1.留数 495

六、留数 495

2.留数定理 496

3.孤立奇点的留数计算 496

4.留数计算积分 496

(1) ？型积分 496

(2) ？型积分 497

5.对数留数和辐角原理 497

(1) 对数留数 497

(2) 辐角原理 497

(1) 保角性 498

(3) 保角映射 498

(2) 伸缩率不变性 498

七、保角映射 498

七、保角映射 498

1.保角映射 498

2.分式线性映射 499

(1) 最简分式线性映射 499

(2) 分式线性映射 500

(3) 分式线性映射唯一的条件 500

(4) 特殊情况的分式线性映射 501

3.初等函数构成的映射 501

(1) 幂函数 501

(2) 指数函数 502

4.常用域的保角映射 503

(3) 儒可夫斯基函数 503

(1) 傅立叶积分定理 514

第十一章 积分变换 514

(2) 傅立叶积分的三角形式 514

1.傅立叶积分 514

一、傅立叶变换 514

一、傅立叶变换 514

第十一章 积分变换 514

2.傅立叶变换 515

3.傅立叶变换的性质 515

(1) 线性性质 515

(3) 微分性质 516

(4) 积分性质 516

(2) 位移性质 516

(5) 相似性质 517

(6) 乘积定理 517

(7) 能量积分 517

4.卷积与相关函数 517

(1) 卷积及其运算律 517

(2) 卷积定理 518

(3) 相关函数 518

(4) 能量谱密度与相关函数 518

5.傅立叶变换表 519

(1) 拉普拉斯变换与逆变换 537

(1) 线性性质 537

2.拉普拉斯变换的性质 537

(2) 拉普拉斯变换存在定理 537

二、拉普拉斯变换 537

二、拉普拉斯变换 537

1.拉普拉斯变换 537

(2) 微分性质 538

(3) 积分性质 538

(4) 位移性质 539

(5) 延迟性质 539

(6) 相似性质 539

(7) 初值定理与终值定理 539

3.卷积 540

(1) 卷积及其运算律 540

(2) 卷积定理 540

4.拉普拉斯逆变换 541

(1) 拉普拉斯逆变换 541

(2) 用留数计算反演积分 541

5.拉普拉斯变换表 542

一、Γ函数 550

一、Γ函数 550

1.Γ函数 550

2.Γ函数公式 550

第十二章 特殊函数 550

第十二章 特殊函数 550

3. 可化为Γ函数的积分 551

4.Γ函数渐近表达式 552

二、β函数 553

二、β函数 553

1.β函数 553

2.β函数与Γ函数关系 553

3.β函数公式 553

4.可化为β函数的积分 554

三、贝塞尔函数 555

1.贝寒尔函数表达式 555

(1) 第一类贝塞尔函数 555

三、贝塞尔函数 555

(3) 第三类贝塞尔函数 556

(1) 第一类贝塞尔函数公式 556

2.贝塞尔函数公式 556

(2) 第二类贝塞尔函数 556

(2) 第二类贝塞尔函数公式 557

(3) 第三类贝塞尔函数公式 557

3.第一类贝塞尔函数正交性 558

4.函数展开 558

四.勒让德多项式 559

1.勒让德多项式 559

四、勒让德多项式 559

3.勒让德多项式正交性 560

2.勒让德多项式公式 560

4.函数展开 560

3.切比雪夫多项式正交性 561

2.切比雪夫多项式一些公式 561

1.切比雪夫多项式 561

五、切比雪夫多项式 561

五、切比雪夫多项式 561

六、椭圆积分 562

六、椭圆积分 562

1.椭圆积分 562

2.椭圆积分标准形式 562

3.椭圆函数 563

4.椭圆积分公式 563

1.泛函 565

第十三章 变分法 566

第十三章 变分法 566

一、泛函变分和泛函极值 566

2.函数变分 566

一、泛函变分和泛函极值 566

4.泛函极值 567

二、固定边界的泛函极值、欧拉方程 567

二、固定边界的函数极值、欧拉方程 567

1.？型泛函 567

(1) 欧拉方程 567

(2) 欧拉方程的几种特殊情况 567

3.泛函变分 568

(3) 欧拉方程的极坐标形式 568

2.？型泛函 568

6.用参数表示的泛函 569

3.？型泛函 569

4.？型泛函 569

5.？型泛函 569

1.？型泛函 570

三、可动边界的泛函极值 570

三、可动边界的泛函极值 570

2.？型泛函 571

四、条件极值的变分 572

3.？型泛函 572

四、条件极值的变分 572

1.拉格朗日乘数法 572

2.等周问题 573

五、变分直接解法 574

五、变分直接解法 574

1.欧拉有限差分法 574

2.里兹法 575

3.康脱洛维奇法 576

第十四章 微分几何 577

一、曲线论 577

1.空间曲线参数方程 577

第十四章 微分几何 577

一、曲线论 577

2.单位向量和伴随三棱形 577

(1) 切向量 578

(2) 主法向量和副法向量 578

(3) 伴随三棱形 578

3.伴随三棱形所在的直线和平面的方程 579

(1) 切线、主法线和副法线 579

(2) 密切平面：法平面和从切平面 580

(1) 空间曲线的曲率 581

4.空间曲线的曲率和挠率 581

(2) 空间曲线的挠率 582

5.弗雷纳公式 582

(1) 弗雷纳公式 582

(2) 弗雷纳公式在运动学中的意义 582

(3) 空间曲线在一点邻近的性质 583

6.曲线论基本定理与自然方程 585

(1) 基本定理 585

(2) 自然方程 585

7.空间曲线的渐开线与渐屈线 586

(1) 空间曲线的渐开线与渐屈线 586

(2) 渐开线方程 586

(3) 渐屈线方程 586

二、曲面论 586

1.空间曲面方程 586

二、曲面论 586

2.空间曲面的切平面与法线 587

3.螺旋面 587

(1) 一般螺旋面 587

(2) 正螺旋面 587

(1) 直纹面 589

(2) 可展曲面 589

4.直纹面与可展曲面 589

(3) 单参数平面族的包络 590

5.曲面第一基本形式 590

(1) 曲面第一基本形式和第一基本量 590

(2) 曲面上曲线弧长 592

(3) 曲线的交角 592

(4) 曲面上两曲面面积 592

(5) 等距变换 592

(6) 保角变换 593

6.曲面第二基本形式 593

(1) 曲面第二基本形式和第二基本量 593

(2) 法截线与法曲率 593

(3) 梅尼埃公式和梅尼埃定理 595

7.主曲率、总曲率和平均曲率 596

(1) 主方向和主曲率 596

(2) 脐点 596

(3) 主方向判别定理 596

(4) 曲率线和欧拉公式 597

(5) 总曲率和平均曲率 598

(1) 渐近方向与渐近曲线 599

9.渐近曲线、共轭曲线和极小曲面 599

(2) 三种基本形式间关系 599

(1) 曲面第三基本形式和第三基本量 599

8.曲面第三基本形式 599

(2) 共轭方向和共轭曲线网 600

(3) 极小曲面 600

10.曲面论的基本公式与基本定理 600

(1) 本基公式 600

(2) 高斯方程与柯达奇方程 601

(3) 曲面论的基本定理 602

11.曲面曲线的测地曲率、测地线和测地坐标 602

(1) 测地曲率 602

(2) 测地线 603

(3) 测地坐标 603

(4) 高斯-波恩涅公式 603

(2) 观测误差 605

(1) 绝对误差 605

2.误差与有效数字 605

(4) 舍入误差 605

(3) 截断误差 605

第十五章 计算方法 605

(1) 模型误差 605

1.误差分类 605

一、误差 605

第十五章 计算方法 605

一、误差 605

(2) 相对误差 606

(3) 有效数字 606

3.近似计算法则 607

(1) 加减法则 607

(2) 乘除法则 607

(3) 乘方或开方法则 607

二、方程近似根 607

4.预定精确度的计位法则 607

二、方程近似根 607

1.二分法 608

2.迭代法 609

3.牛顿法 609

4.弦截法 610

三、插值 611

三、插值 611

1.不等距节点差商插值公式 612

2.等距节点差分插值公式 613

(1) 差分 613

(2) 牛顿向前差分插值公式 615

(3) 牛顿向后差分插值公式 616

(4) 斯特林插值公式 616

(5) 贝塞尔插值公式 617

3.拉格朗日插值公式 618

4.三次样条函数插值 618

四、数值导数 620

1.差商求导 620

2.用函数插值公式求导 620

(1) 不等距节点求导公式 620

四、数值导数 620

(2) 等距节点求导公式 621

(3) 拉格朗日公式 621

(4) 用三次样条函数求导 622

五、数值积分 623

五、数值积分 623

1.矩形公式 623

2.梯形公式 623

3.辛卜生公式 624

4.柯特斯公式 624

5.龙贝公式 625

6.高斯型求积公式 626

(1) 高斯-勒让德求积公式 626

(2) 高斯-切比雪夫求积公式 627

六、常微分方程数值解 628

六、常微分方程数值解 628

1.一阶微分方程初值问题 628

(1) 欧拉方法 628

(2) 改进的欧拉方法 628

(3) 龙格-库塔方法 629

(4) 阿达姆斯方法 629

2.一阶微分方程组初值问题 630

(1) 改进的欧拉方法 630

(2) 龙格-库塔方法 631

(3) 阿达坶斯方法 631

3.二阶微分方程初值问题 632

(1) 龙格-库塔方法 633

(2) 阿达姆斯方法 633

(1) 第一边值问题 634

4.二阶线性微分方程边值问题 634

(2) 第二边值问题 635

第十六章 最优化方法 636

一、单变量的问题最优化方法 636

第十六章 最优化方法 636

一、单变量最优化方法 636

1.平分法 636

2.0.618法 637

3.分数法 639

4.抛物线法 639

5.微分法 639

二、多变量问题的最优化方法 640

1.坐标轮换法 640

二、多变量的问题最优化方法 640

3.瞎子爬山法 641

2.平行线法 641

4.陡度法 642

5.联合法 643

6.对角线法 643

7.步长加速法 644

8.共轭方向法 644

9.方向步长双加速法 645

10.最速下降法 647

11.牛顿法 648

12.共轭梯度法 649

三、线性规划 650

三、线性规则 650

1.线性规划问题 650

13.变尺度法 650

2.可行解、最优解、基变量和基本可行解 652

3.单纯形法 653

(1) 单纯形表 653

(2) 单纯形法计算 654

四、网络最优化 656

1.最短路问题 656

(1) Dijkstra标号算法 656

四、网络最优化 656

(2) 两点间的最短路算法 657

2.最大流问题 657

(1) 可行流和最大流 657

(2) 寻求最大流的标号法 658

(3) 寻求最大流的正反向标号法 659

3.最小费用流问题 660

(1) 最小费用流 660

(2) 增广回路与最小费用流计算 660

(3) 最小费用最大流 661

五、最大值原理 663

五、最大值原理 663

1.连续系统的最大值原理 663

(1) 连续系统的最大值原理 663

(2) 求解步骤 664

2.离散系统的最大值原理 666

(1) 离散系统的最大值原理 666

(2) 求解步骤 667

第十七章 离散数学 668

一、集合和命题 668

1.离散对象 668

2.集合 668

(1) 集合 668

(2) 集合表示方法 668

(3) 子集 668

第十七章 离散数学 668

一、集合和命题 668

(4) 集合相等 669

(5) 集合组合 669

3.集合运算 669

4.有限集、无限集和集合基数 670

(1) 集合N 670

(3) 无限集 671

(2) 有限集 671

(4) 多重集 672

5.数学归纳法 672

6.包含与排斥原则 672

7.命题及其组合 672

(1) 命题 672

(2) 命题组合 673

二、关系和函数 674

1.二元关系和n元关系 674

(1) 有序对 674

二、关系和函数 674

(2) 笛卡儿积 674

(3) 二元关系 674

(4) 二元关系表示法 675

(5) n元关系 675

(1) 关系数据模型 676

(2) 表 676

(3) 表的运算 676

2.数据库的关系模型 676

3.二元关系性质 676

(1) A上的二元关系 676

(6) 传递扩张 677

(5) 传递关系 677

(4) 反对称关系 677

(7) 传递闭包 677

4.等价关系与划分 677

(1) 等价关系 677

(2) 划分 677

(3) 对称关系 677

(2) 自反关系 677

(3) 等价关系和划分之间的关系 678

5.偏序关系与格 678

(1) 偏序关系 678

(2) 偏序集 678

(4) 反链 679

(5) 全序集和全序关系 679

(6) 极大元与极小元 679

(3) 链 679

(7) 复盖 679

(8) 上界、最小上界、下界与最大下界 679

(9) 格 680

(10) 链与反链的关系 680

6.函数与鸽舍原理 680

(1) 函数 680

(2) 函数表示 680

(3) 到上函数 681

(4) 鸽舍原理 681

三、离散数函数和生成函数 682

1.数函数 682

(1) 数函数 682

(2) 数函数的和与积 682

三、离散数函数和生成函数 682

(3) 数函数的变形 682

(6) 前向差分与后向差分 683

(5) 累加和 683

(7) 卷积 683

2.生成函数 683

(1) 生成函数 683

(4) 数函数Sia与S-ia 683

(2) 生成函数的运算 684

3.生成函数的应用 685

四、递推关系 685

1.递推关系 685

四、递推关系 685

3.常系数线性差分方程 686

2.常系数线性递推关系 686

(1) 通解结构 686

(2) 特征方程 687

(3) 差分方程的特解 687

(4) 差分方程齐次解中待定系数的确定 688

4.用差分方程求数函数的生成函数 688

五、布尔代数 689

1.代数系统 689

五、布尔代数 689

2.对偶原理 690

3.由格定义的代数系统的基本性质 690

(3) 泛下界和泛上界 691

(2) 分配等价性 691

(4) 幺元与零元性质 691

(1) 分配格 691

4.分配格和有补格 691

(2) 布尔代数 692

(1) 布尔格 692

(3) 德·摩根定律 692

(4) 复盖与原子 692

5.布尔格与布尔代数 692

(6) 补的唯一性 692

(5) 补和有补格 692

(1) 布尔表达式 693

6.布尔函数和布尔表达式 693

(2) 布尔表达式的值 693

(5) 其他性质 693

(4) 布尔函数 694

(5) 析取范式与合取范式 694

(3) 等价布尔表达式 694

8.数字网络和开关代数 695

(1) 数字网络 695

7.命题演算 695

(2) 开关线路 697

(3) 开关代数 698

一、数学常数表 700

附表 700

附表 700

二、素数表 702

三、弧度和度互化表 704

四、双曲函数表 710

五、椭圆积分表 722

六、Γ函数表 726

七、勒让德多项式表 730

八、贝塞尔函数表 734

九、泊松分布表 766

十、正态分布表 770

十一、x2分布表 781

十二、t分布表 784

十三、F分布表 788

十四、数学符号表 808

十五、外国数学家译名表 816