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上篇 复变函数论 1

第一章 复变函数和解析函数 1

1.1 复数的基本概念 1

1 复数及其代数运算 1

2 无穷远点 2

1.2 复变函数及其导数 柯西-黎曼条件 3

1 复变函数及其导数 3

2 柯西-黎曼文件 5

1.3 解析函数 7

1.4 多值函数 9

1 多值函数及其支点 9

2 黎曼面 9

1.5 解析函数的几何性质 保角变换 12

1 平面静电场的复势 15

1.6 解析函数的物理解释 复势 15

2 保角变换将一平面的复热变为另一平面的复势 17

习题 18

第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式 20

2.1 复变函数积分及其性质 20

1 复变函数积分 20

2 复变函数积分的性质 21

2.2 柯西定理 22

2.3 不定积分 24

2.4 柯西公式及其几个推论 27

1 柯西公式 27

2 柯西公式的推论 28

2.5 两种特殊区域上解析函数的实部和虚部的关系 泊松积分公式 31

1 半平面区域的情况 31

2 圆形区域的情况 32

习题 33

3.1 复变函数级数和解析函数级数 35

第三章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类 35

3.2 幂级数的收敛性 37

1 幂级数的收敛性 37

2 幂级数的收敛圆 39

3.3 解析函数的泰勒级数展开 40

1 解析函数的泰勒级数 40

2 多值函数的泰勒级数 43

3.4 解析函数的洛朗级数展开 45

3.5 泰勒级数和洛朗级数展开的几种常用方法 47

3.6 孤立奇点的分类和特性 50

习题 55

第四章 解析延拓 Γ函数和B函数 56

4.1 解析函数的唯一性 56

1 解析延拓 56

2 解析函数的唯一性 57

4.2 用泰勒级数进行解析延拓 58

4.3 利用函数关系式进行解析延拓 Γ函数 60

4.4 B函数 62

习题 64

第五章 定积分的计算 65

5.1 留数定理和留数的求法 65

1 留数定理 65

2 留数的求法 67

5.2 ∫2πoR(cos x,sin x)dx 69

5.3 　∫∞－∞f(x)ds,∫∞－∞f(x)e imx ds 和若尔当引理 70

1 ∫∞－∞f(x)ds 71

2 ,∫∞－∞f(x)e imx ds 71

5.4 积分主值 73

1 积分主值和希尔伯特变换 73

2 积分∫f(x)x-xo±iε ds(a＜xo＜b)公式 76

5.5 多值函数积分的两种类型 77

1 ∫∞x a-aQ(x)ds(a是非整数) 77

2 ∫In xQ(x)ds(0,1,2,...) 81

1 菲涅耳积分 83

5.6 几个特殊积分 83

2 ∫∞e-dx2 cos bx ds (a＞o,b＞o) 84

3 ∫1 -1 ds/(1＋x2)√1-x2 85

习题 87

第六章 拉普拉斯变换 90

6.1 拉普拉斯变换的定义和基本性质 90

1 拉普拉斯变换的定义 90

2 拉普拉斯变换的基本性质 92

6.2 反演问题 梅林反演公式 95

1 反演问题 95

2 梅林反演公式和展开定理 97

6.3 求原函数和像函数的几种常用方法 101

6.4 线性常数分方程的初值问题 105

1 δ函数的定义 110

6.5 点源和瞬时原 δ函数 110

2 δ函数及其导数的性质 112

3 δ函数的一个应用(持续作用的力分解为瞬时力) 114

6.6 Z变换和差分方程的求解简介 115

1 Z变换及其与拉普拉斯变换的关系 116

2 线性差分方程 118

3 用Z变换求解二阶常数系数线性差分方程 118

习题 120

第七章 傅里叶变换和色散关系 123

7.1 傅里叶级数 123

1 傅里叶级数 123

2 复数形式的傅里叶级数 125

7.2 傅里叶变换 126

1 傅里叶积分和傅里叶变换 126

2 傅里叶变换的基本性质 130

7.3 多重傅里叶变换 134

3 傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较 134

7.4 色散关系 137

1 色散关系 137

2 物理应用实例 141

7.5 小波变换的基本思想 142

1 函数局域化概念和窗函数 142

2 伽傅变换 143

3 小波变换 145

习题 146

第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 148

8.1 常点领域方程的级数解 勒让德方程 148

1 常点邻域方程的级数解 148

2 勒让德方程 149

8.2 正则奇点领域方程的级数解 柱贝塞尔方程 153

1 正则奇点领域方程的级数解 153

2 柱贝塞尔方程，S1=S2≠和正整数的情况 157

3 柱贝塞尔方程,m=半整数的情况 159

4 柱贝塞尔方程,m=0或正整数的情况 161

8.3 高斯方程和库默尔方程 167

1 高斯方程和超几何函数 167

2 库默尔方程和合流超几何函数 169

8.4 非齐次方程的通解 172

1 齐次方程的通解公式 172

2 非齐次方程的通解公式 173

习题 175

下篇 数学物理方程 177

第九章 数学物理方程的定解问题 177

9.1 数学物理方程的导出 177

1 弦的横振动方程 177

2 杆的纵振动方程 179

3 薄膜的振动方程 180

4 热传导方程和稳定温度场方程,扩散方程 182

5 静电场方程 183

1 二阶方程的分类 184

9.2 二阶线性偏微分方程的分类和简化 184

2 二阶方程的标准形式 186

3 二阶常系数方程的进一步简化 189

9.3 定解问题 190

1 初始条件 190

2 边界条件 191

9.4 线性方程的叠加原理 193

1 叠加定理 193

2 求解定解问题的一般步骤 195

习题 196

第十章 行波法和分离变量法 本征值问题 198

10.1 一维无罪区域的自由振动问题 达朗贝尔公式 198

1 行波法和达朗贝尔公式 198

2 解的物理解释 199

1 齐次边界条件的情况 200

10.2 一维半无罪区域的自由振动问题 初始条件的延拓 200

2 非齐次边界条件的情况 203

3 定解问题:从半无罪区域到有界区域 204

10.3 一维有界区域自由振动问题的驻波解 分离变量法 204

1 分离变量法 204

2 分离变量法的几点说明和主要步骤 206

10.4 非齐次边界条件的齐次化 211

10.5 本征函数法 214

10.6 施图姆-刘维尔型方程的本征值问题 217

1 本征值问题的一般提法 217

2 本征值问题的一般性质 219

习题 223

第十一章 积分变换法 225

11.1 无界空间的有源导热问题 傅里叶变换法 225

1 一维无源导热问题和基本解 225

2 一维有源导热问题 227

3 三维导数问题 229

11.2 三维无界空间的静电场问题 230

11.3 三维无界空间的受迫振动问题 泊松公式和推迟势公式 231

1 自由振动问题 232

2 受迫振动问题 233

11.4 拉普拉斯变换法 234

习题 237

第十二章 球坐标下的分离变量法 勒让德多项式和球谐函数 240

12.1正交曲线坐标系 平面圆形区域的定解问题 240

1 正交曲线坐标系和函数表达式 240

2 场量的梯度,散度,旋度和拉普拉斯算符 243

3 圆形区域拉普拉斯方程的定解问题 245

12.2 球坐标下的分离变量法 248

1 拉普拉斯方程 248

2 稳恒振动问题 250

2 勒让德多项式的常用性质 251

12.3 轴对称问题 勒让德多项式 251

1 轴对称问题和勒让德多项式 251

12.4 非轴对称问题 球谐函数 259

1 连带勒让德函数 259

2 球谐函数 263

习题 268

第十三章 柱坐标下的分离变量法 贝塞尔函数 270

13.1 柱坐标下的分离变量法 270

13.2 贝塞尔函数 271

1 贝塞尔函数 271

2 本征值问题 275

13.3 虚宗量贝塞尔函数 281

13.4 球贝塞尔函数 284

1 球贝塞尔函数 284

2 本征植问题 286

1 函数的渐近表达式和斯特令公式 288

13.5 最速下降法 贝塞尔函数的渐近式 288

2 最速下降法 289

3 贝塞尔函数的渐近式 295

13.6 可以化为贝塞尔方程的一类方程 艾里方程的有限解 298

习题 301

第十四章 非齐次方程的定解问题和格林函数法 303

14.1 三类边界条件的定解问题的解与格林函数 303

1 无界空间的定解问题与格林函数,第二格林公式 303

2 形式解 305

3 边界条件与格林函数 306

4 格林函数法的物理意义 309

14.2 格林函数的一般性质 309

14.3 某些特殊区域泊松方程狄利克雷问题的格林函数 镜像法 312

1 半无界空间的情况 313

2 圆内区域的情况 314

3 球内区域的情况 315

14.4 格林函数的一般求法 316

2 一维空间格林函数的有限形式 319

14.5 无界空间的稳恒振动问题 319

1 特殊球坐标系下格林函数的有限形式 319

2 特殊柱坐标系下格林函数的有限形式 320

3 一般球坐标系下格林函数的级数形式 321

4 一般柱坐标系下格林函数的级数形式 323

5 平面波用球面波展开 324

6 平面波用柱面波展开 325

14.6 受迫振动问题与含时格林函数 326

1 受迫振动问题的解与含时格林函数 326

2 三维无界空间的含时格林函数 328

3 二维无界空间的含时格林函数 328

4 一维无界区间的含时格林函数 329

5 有界空间的含时格林函数 329

习题 333

1 变分问题和欧拉-拉格朗日方程 335

第十五章 变分法 335

15.1 变分问题 欧拉-拉格朗日方程 335

2 E-L方程的几种推广情况 339

15.2 带约束条件的变分问题 342

1约束条件是J[Y]=C(常数)的变分问题 342

2 测地线问题 344

15.3 端点值可变情况下的变分问题 347

15.4 变分问题与微分方程的求解 349

1 与本征值问题的联系 350

2 与定解问题的联系 353

3 瑞利-里兹方法 354

习题 357

第十六章 积分方程简介和非线性偏微分方程初步 360

16.1 散射的李普曼-施温格方程和玻恩近似 360

1 李谱曼-施温格方程 360

2 玻思近似 361

16.2 沃尔泰拉积分方程 362

1 常微分方程与沃尔泰积分方程的联系 362

2 沃尔泰拉积分方程的迭代解法 362

16.3 弗雷德霍姆积分方程 364

16.4 退化核和对称核的弗雷德霍姆积分方程 364

1 退化核积分方程 364

2 对称核积分方程 366

16.5 弱奇性核积分方程 367

16.6 非线性偏微分方程初步 368

1 单摆的运动 368

2 KdV方程及其孤立波解 369

3 KdV方程的双孤立波解 370

习题 374

习题答案 376

主要参考书目 391