高等数学解题方法指导 上 大专教学同步参考书PDF电子书下载

第○章 导读——改革解题训练 1

0-1波利亚式的学生 1

0-2数学创造的心智活动规律 1

0-3努力克服传统教学方法中的弊端 4

0-4怎样解题 5

0-5对怎样使用《指导》的建议 9

0-6几个常用数学符号的意义 12

第一章 函数与极限 13

1-1函数 13

Ⅰ内容提要 13

（1）函数的定义 13

（2）函数可能具有的几种重要几何特性 14

（3）反函数的定义 15

（4）复合函数的定义 15

（5）初等函数 15

（6）非初等函数 15

Ⅱ解题方法分类指导与范例 16

（1）确定函数的定义域和值域 16

（2）函数符号的运用 22

（3）按定义证明函数的几何特性 27

（4）求已知函数的反函数 32

（5）函数的作图（制曲线）法 33

（6）综合题 38

Ⅲ课堂练习题及其说明 48

Ⅳ补充题 60

1-2数列的极限 63

Ⅰ内容提要 63

（1）数列极限的定义 63

（2）收敛数列的基本性质 63

（3）数列极限存在的判别法 63

（4）数列极限的四则运算法则 64

Ⅱ解题方法分类指导与范例 64

（1）根据定义验证极限 64

（2）应用极限运算法则求极限 69

（3）应用数列极限存在的判别法，证明或计算数列的极限 74

（4）应用重要极限lim n→∞ （1+1/n）n=e求极限 77

（5）求通项由递推关系式给出的数列的极限 79

（6）综合题 83

Ⅲ课堂练习题及其说明 89

Ⅳ补充题 104

1-3函数的极限 106

Ⅰ内容提要 106

（1）函数极限的定义 106

（2）函数极限的性质 106

（3）函数极限存在的判别法 108

（4）函数极限的四则运算法则 109

（5）两个重要极限 109

Ⅱ解题方法分类指导与范例 109

（1）根据定义验证函数的极限 109

（2）应用函数极限存在的判别法则求极限 112

（3）应用极限的四则运算法则求极限 113

（4）应用两个重要极限求极限 116

（5）应用变量代换方法求极限 118

（6）综合题 119

Ⅲ课堂练习题及其说明 128

Ⅳ补充题 137

1-4无穷小量的比较 140

Ⅰ内容提要 140

（1）lim x→n α/β=A 140

（2）无穷小量代换定理 140

（3）当x→0时，有sinx～x，tgx～x，1-cosx～1/2x2，ex-1～x，ln（1+x）～x，〓1+x-1～1/2x 141

（4）高阶无穷小量 141

（5）K阶无穷小量 141

（6）符号：O（β），o（β） 141

Ⅱ解题方法分类指导与范例 141

（1）证明在同一极限过程中的两个无穷小量是等价，同阶，或一个较另一个是高阶的无穷小量 141

（2）在同一极限过程中的几个无穷小量，取定一个作为比较的标准，问，其它无穷小量是它的几阶无穷小量？ 143

（3）应用等价无穷小量代换定理求极限 145

Ⅲ课堂练习题及其说明 146

Ⅳ补充题 149

1-5连续函数 150

Ⅰ内容提要 150

（1）连续函数的定义 150

（2）间断点 151

（3）连续函数的运算 151

（4）初等函数在它们的定义域上是连续的 151

（5）函数一致连续的定义 151

（6）在闭区间上连续函数的重要性质 152

Ⅱ解题方法分类指导与范例 152

（1）根据定义证明函数的连续性和一致连续性 152

（2）函数连续性的研究 153

（3）在闭区间上连续函数性质的应用 154

（4）应用函数的连续性求极限 156

（5）综合题 159

Ⅲ课堂练习题及其说明 165

Ⅳ补充题 168

1-6第一章参考题 170

第二章 微分学 174

2-1导数及其运算 174

Ⅰ内容提要 174

（1）导数的定义 174

（2）导数的几何意义 174

（3）函数在一点处可导与连续的关系 175

（4）求导数的方法 175

（5）高阶导数及其计算法 177

Ⅱ解题方法分类指导与范例 178

（1）函数的导数概念 178

（2）求（计算）导数的方法 183

（3）综合题 194

Ⅲ课堂练习题及其说明 201

Ⅳ补充题 206

2-2微分及其应用 210

Ⅰ内容提要 210

（1）微分的定义 210

（2）可微与可导的关系 211

（3）微分的几何意义 211

（4）微分的基本公式和运算法则 211

（5）微分形式的不变性 212

（6）高阶微分 212

（7）微分的应用 213

Ⅱ解题方法分类指导与范例 214

（1）求函数在给定点处的增量和微分 214

（2）求函数的微分 214

（3）求高阶微分 217

（4）利用微分作近似计算 217

Ⅲ课堂练习题及其说明 220

Ⅳ补充题 223

2-3中值定里 224

Ⅰ内容提要 224

（1）罗尔定理 224

（2）拉格朗日中值定理 224

（3）柯西中值定理 224

Ⅱ解题方法分类指导与范例 225

（1）验证函数在给定区间上满足中值定理的条件和结论 225

（2）运用中值定理判断方程实根的个数以及实根所在的区间（根的分离） 227

（3）运用中值定理证明不等式 229

（4）运用中值定理进行推理证明 230

（5）综合题 233

Ⅲ课堂练习题及其说明 239

Ⅳ补充题 241

2-4未定型极限、泰勒（Taylor）公式 242

Ⅰ内容提要 242

（1）求未定型的极限（罗必塔法则） 242

（2）泰勒公式 243

Ⅱ解题方法分类指导与范例 245

（1）求未定型的极限（罗必塔法则） 245

（2）泰勒公式 256

Ⅲ课堂练习题及其说明 272

Ⅳ补充题 276

2-5导数的应用 277

Ⅰ内容提要 278

（1）函数的增减性与极值 278

（2）函数在区间上的最大值和最小值 278

（3）曲线的凹凸与拐点 279

（4）曲线的渐近线 279

Ⅱ解题方法分类指导与范例 280

（1）讨论函数的单调增减性和极值 280

（2）最大、最小值问题 284

（3）求函数图形的拐点 289

（4）作函数的图形 292

（5）证明不等式 294

（6）综合题 297

Ⅲ课堂练习题及其说明 302

Ⅳ补充题 306

2-6第二章参考题 308

第三章 不定积分 314

3-1不定积分的概念与计算方法 314

Ⅰ内容提要 314

（1）原函数与不定积分的概念 314

（2）基本积分公式 314

（3）不定积分的基本性质 315

（4）基本积分法 316

Ⅱ解题方法分类指导与范例 317

（1）直接积分法 318

（2）换元积分法 320

（3）分部积分法 334

（4）综合题 345

Ⅲ课堂练习题及其说明 367

Ⅳ补充题 375

3-2几类特殊初等函数的积分法 380

Ⅰ内容提要 380

（1）有理函数的积分法 380

（2）三角函数有理式的积分法 382

（3）简单无理函数的积分法 384

Ⅱ解题方法分类指导与范例 386

（1）有理函数的积分 386

（2）三角函数有理式的积分 392

（3）简单无理函数的积分 399

（4）综合题 406

Ⅲ课堂练习题及其说明 447

Ⅳ补充题 460

3-3第三章参考题 464

第四章 微分方程初步 469

4-1微分方程的基本概念、一阶微分方程 469

Ⅰ内容提要 469

（1）微分方程的基本概念 469

（2）一阶微分方程 470

Ⅱ解题方法分类指导与范例 472

（1）可分离变量的微分方程的解法 472

（2）一阶线性方程的解法 478

（3）综合题 487

Ⅲ课堂练习题及其说明 495

Ⅳ补充题 499

4-2二阶微分方程 501

Ⅰ内容提要 501

（1）二阶微分方程的概念 501

（2）三类可降阶的二阶微分方程 501

（3）二阶线性微分方程的基本概念 502

Ⅱ解题方法分类指导与范例 503

（1）可降阶的二阶微分方程的解法 503

（2）二阶常系数线性齐次微分方程的解法 507

（3）二阶常系数线性非齐次微分方程的求解步骤 514

Ⅲ课堂练习题及其说明 524

Ⅳ补充题 530

4-3第四章参考题 532

第五章 定积分 536

5-1定积分的概念与性质 536

Ⅰ内容提要 536

（1）定积分的定义 536

（2）三类可积函数 537

（3）定积分∫b a f（x）dx的几何意义 537

（4）定积分的基本性质 538

Ⅱ解题方法分类指导与范例 539

（1）用定义计算定积分 539

（2）定积分的几何意义，应用定积分的性质估值 543

（3）证明积分不等式的方法 548

（4）定积分中的证明题 549

Ⅲ课堂练习题及其说明 551

Ⅳ补充题 557

5-2定积分的计算 558

Ⅰ内容提要 558

（1）变上限的定积分 558

（2）牛顿-莱布尼兹公式 559

（3）换元积分法 559

（4）分部积分法 560

（5）常用的公式 560

Ⅱ解题方法分类指导与范例 561

（1）用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 561

（2）换元积分法 563

（3）分部积分法 569

（4）被积函数含绝对值或分段函数的积分法 572

（5）变上限的积分与有关函数、函数值、极限的求法 577

（6）综合题 581

Ⅲ课堂练习题及其说明 589

Ⅳ补充题 594

5-3定积分的应用 598

Ⅰ内容提要 598

（1）定积分的几何应用举例 598

（2）定积分在物理上的应用举例 601

Ⅱ解题方法分类指导与范例 603

（1）平面图形的面积 604

（2）求体积 608

（3）曲线的弧长与旋转体的表面积 611

（4）定积分在物理、力学等方面的应用 619

（5）综合题 623

Ⅲ课堂练习题及其说明 630

Ⅳ补充题 635

5-4第五章参考题 637

附录 639

1988年硕士研究生招生考试全国统一试题 639

Ⅰ高等数学（一） 640

Ⅱ高等数学（二） 645

Ⅲ高等数学（三） 646

Ⅳ高等数学（四） 649

Ⅴ高等数学（五） 654