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第1章 函数与极限 1

第一节　函数 1

一、集合 1

二、函数概念 3

三、函数举例 4

四、函数的特性 6

五、反函数 7

六、复合函数 8

七、初等函数 9

第二节　数列的极限 12

一、数列概念 12

二、数列极限的定义 13

三、收敛数列的基本性质 14

第三节 函数的极限 14

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 15

二、自变量趋于有限值时函数的极限 16

三、单侧极限 16

四、有极限函数的基本性质 17

第四节　无穷小与无穷大 18

一、无穷小 18

二、无穷小的比较 19

三、无穷大 19

第五节　极限的运算法则 20

一、极限的四则运算 20

二、复合函数求极限 23

第六节　极限存在准则·两个重要极限 24

一、夹逼准则和重要极限？sinx/x=1 24

二、单调有界准则和重要极限？（1+1/x）x=e 27

三、幂指函数的极限 29

第七节 函数的连续性 30

一、函数连续性的概念 30

二、函数的间断点 31

三、初等函数的连续性 32

第八节 闭区间上连续函数的性质 33

习题一 35

第2章　导数与微分 38

第一节　导数的概念 38

一、两个引例 38

二、导数的定义 39

三、导数的几何意义 42

四、可导和连续的关系定理 43

第二节　求导法则 44

一、函数和、差、积、商的求导法则 44

二、反函数的导数 45

三、基本求导公式 46

四、复合函数的求导法则 47

第三节　高阶导数 49

第四节 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数 50

一、隐函数的导数 50

二、由参数方程所确定的函数的导数 53

第五节　函数的微分 54

一、微分的概念 54

二、微分的基本公式与运算法则 57

三、微分在近似计算上的应用 59

习题二 61

第3章 中值定理及导数的应用 64

第一节　中值定理 64

第二节　洛必达法则 66

第三节 函数的单调性、极值 67

一、函数单调性的判定 67

二、函数的极值 70

三、函数的最大、最小值 71

第四节 曲线的凹凸性与拐点 72

第五节 函数图形的描绘 75

习题三 77

第4章　不定积分 79

第一节　不定积分的概念和性质 79

一、原函数与不定积分的概念 79

二、基本积分表 81

三、不定积分的性质 82

第二节　换元积分法 83

一、第一类换元积分法 84

二、第二类换元积分法 89

三、基本积分表的补充 92

第三节　分部积分法 93

习题四 95

第5章　定积分及应用 98

第一节　定积分的概念及性质 98

一、定积分问题举例 98

二、定积分的定义 100

三、定积分的性质 102

第二节　微积分基本公式 103

一、积分上限的函数及其导数 103

二、微积分基本公式 104

第三节　定积分的计算 106

一、定积分的换元积分法 106

二、定积分的分部积分法 108

第四节　反常积分 109

第五节　定积分的应用 110

一、定积分应用的微元法 110

二、用定积分求平面图形的面积 111

三、定积分在物理上的应用 113

习题五 114

第6章　微分方程 116

第一节　基本概念 116

一、问题的提出 116

二、微分方程的定义 116

三、主要问题——求方程的解 117

第二节　一阶微分方程 117

一、可分离变量的微分方程 117

二、齐次方程 119

第三节　一阶线性微分方程 121

第四节　二阶常系数线性微分方程 124

一、二阶常系数齐次线性微分方程 124

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 125

习题六 128

第7章　无穷级数 130

第一节　常数项级数的概念和性质 130

一、无穷级数的基本概念 130

二、无穷级数的基本性质 132

第二节 常数项级数的收敛性判别法 133

一、正项级数及其收敛性判别法 133

二、任意项级数及其收敛判别法 137

第三节　幂级数 138

一、幂级数及其收敛性 138

二、幂级数的性质 140

第四节 函数展开成幂级数 142

一、泰勒级数 142

二、函数的幂级数展开 142

第五节　傅立叶级数 145

一、三角级数、三角函数系的正交性 146

二、周期为2π的周期函数展开成傅立叶级数 147

三、正弦级数与余弦级数 151

四、定义在有限区间上的函数展开成傅立叶级数 153

习题七 155

第8章 用Mathematica软件解数学问题 157

第一节　基本知识 157

一、Mathematica简介 157

二、数、变量、函数 158

第二节　基本代数运算 161

一、化简计算结果 161

二、常用的因式分解函数 162

三、解方程 164

第三节　函数做图 166

第四节　一元微积分的计算 168

一、极限运算 168

二、求导数 169

三、求函数的最大值和最小值 170

四、求不定积分 170

五、求定积分 172

六、解微分方程 172

七、无穷级数运算 173

习题八 175

附录 习题参考答案 177

参考文献 184