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第一章　函数、极限与连续 1

1.1　函数 1

1.1.1　函数的概念 1

1.1.2　初等函数 4

1.2　极限 6

1.2.1　数列的极限 6

1.2.2　函数的极限 7

1.2.3　极限的运算法则 9

1.2.4　无穷小量与无穷大量 12

1.2.5　复合函数的极限的求法 14

1.2.6　两个重要极限 15

1.3　函数的连续性 19

1.3.1 函数在一点处的连续性 19

1.3.2　函数在区间内的连续性 20

1.3.3　初等函数的连续性 21

第二章　导数与微分 25

2.1　导数的概念 25

2.1.1 函数在一点处的导数 25

2.1.2　函数的导函数 29

2.1.3　求导函数举例 30

2.2　函数的求导法则与基本求导公式 34

2.2.1 函数的和、差、积、商的导数 34

2.2.2　反函数的导数 35

2.2.3　基本导数公式 36

2.2.4　复合函数的导数 37

2.3　高阶导数 39

2.4　隐函数的导数 40

2.5　微分的概念与运算 42

2.5.1　微分的概念 42

2.5.2　微分的运算 43

2.6　微分在近似计算中的应用 45

第三章　一元函数微分学的应用 50

3.1　柯西（Cauchy）中值定理与洛必达（L'Hospital）法则 50

3.1.1　柯西中值定理 50

3.1.2　洛必达法则 50

3.2　拉格朗日（Lagrange）中值定理及函数的单调性 52

3.2.1　拉格朗日中值定理 52

3.2.2　两个重要推论 53

3.2.3　函数的单调性 53

3.3　函数的极值与最值 54

3.3.1　函数的极值 54

3.3.2　函数的最值 57

3.4 曲率 58

3.4.1　曲率的概念 58

3.4.2　曲率的计算 60

3.5 函数图形的凹向与拐点 61

3.5.1 曲线的凹向及其判别法 62

3.5.2　拐点及其求法 62

3.5.3　曲线的渐近线 63

3.5.4　函数作图的一般步骤 64

3.6　一元函数微分学在经济上的应用 66

3.6.1　成本函数与收入函数 66

3.6.2　边际分析 67

3.7　例题与练习 70

3.7.1　本章提要 70

3.7.2　要点解析 71

3.7.3　例题精解 72

第四章　不定积分 76

4.1　不定积分的概念与性质 76

4.1.1　原函数与不定积分 76

4.1.2　基本积分公式表 77

4.1.3　基本性质 78

4.2　换元积分法 80

4.2.1　第一换元积分法（凑微分法） 80

4.2.2　第二换元积分法 83

4.3　分部积分法 88

4.4　两种特殊类型函数的积分 93

4.4.1　有理函数的积分 93

4.4.2　三角函数有理式的积分 95

4.4.3　向量函数的积分 96

4.5　小结 98

第五章　定积分及其应用 101

5.1　定积分的概念与性质 101

5.1.1　定积分的定义 101

5.1.2　定积分的基本性质 103

5.2　微积分学基本公式 105

5.2.1　积分上限函数 105

5.2.2　牛顿——莱布尼兹公式 106

5.3　换元积分法与分部积分法 108

5.3.1　定积分的换元积分法 108

5.3.2　定积分的分部积分法 111

5.4　定积分的近似计算 116

5.4.1　梯形法 116

5.4.2　抛物线法 117

5.5　定积分的几何应用 120

5.5.1　平面图形的面积 120

5.5.2　旋转体的体积 125

5.5.3　平面曲线的弧长 126

5.6　定积分的物理应用举例 130

5.6.1　变力作功 130

5.6.2　引力问题 131

5.6.3　液体的侧压力 132

5.7　广义积分 134

5.7.1　无穷积分 134

5.7.2　瑕积分 137

5.7.3　Γ-函数 139

5.8　小结 141

5.8.1　概念 141

5.8.2　定积分的计算 142

5.8.3　定积分的应用 142

第六章　空间解析几何 145

6.1 向量与向量的坐标 145

6.1.1　空间直角坐标系 145

6.1.2　向量的概念 147

6.1.3　向量的坐标 148

6.2　数量积　向量积　混合积 151

6.2.1　两向量的数量积 151

6.2.2　两向量的向量积 153

6.2.3　向量的混合积 155

6.3　平面与空间直线 157

6.3.1　平面及其方程 157

6.3.2　直线及其方程 159

6.3.3　直线、平面间的平行、垂直关系 161

6.4　曲面与空间曲线 164

6.4.1　曲面的方程 164

6.4.2　柱面 165

6.4.3　旋转曲面 166

6.4.4　空间曲线的方程 168

6.5　二次曲面 170

6.5.1　椭球面 170

6.5.2　抛物面 171

6.5.3　双曲面 173

6.6　小结 175

6.6.1　向量及运算 175

6.6.2　平面 176

6.6.3　空间直线 176

6.6.4　空间曲线 177

6.6.5　二次曲面 177

第七章　多元函数微分学 182

7.1　多元函数及其极限 182

7.1.1　多元函数的概念 182

7.1.2　多元函数极限 184

7.1.3　多元函数极限的计算 185

7.1.4　多元函数的连续性 185

7.2　偏导数 187

7.2.1　偏导数的概念 187

7.2.2　偏导数的几何意义 190

7.2.3　高阶偏导数 191

7.3　全微分 193

7.3.1　全微分的概念 193

7.3.2　一阶全微分形式不变性 196

7.4　复合函数的求导 197

7.5　隐函数的求导 200

7.5.1　一元隐函数的微分法 200

7.5.2　二元隐函数的微分法 201

7.6　多元函数微分法的几何应用 202

7.6.1　空间曲线的切线与法平面 202

7.6.2　曲面的切平面与法线 204

7.7　方向导数和梯度 207

7.7.1　方向导数 207

7.7.2　梯度 209

7.8　多元函数的极值及其求法 211

7.8.1　二元函数的极值 211

7.8.2　条件极值 212

7.8.3　二元函数的最值 214

7.9　小结 215

7.9.1　多元函数的概念 215

7.9.2　多元函数的微分法 215

7.9.3　全微分 216

7.9.4　方向导数和梯度 217

7.9.5　多元函数微分学的应用 217

第八章　重积分 221

8.1　二重积分的概念和性质 221

8.1.1　二重积分的定义 221

8.1.2　二重积分的性质 223

8.2　二重积分的计算方法 224

8.2.1　在直角坐标系中的计算方法 224

8.2.2　在极坐标系中的计算方法 228

8.3　二重积分的应用 231

8.3.1　求体积和平面图形的面积 231

8.3.2　求曲面的面积 233

8.3.3　求平面薄板的质量和质心 235

8.3.4　求平面薄板的转动惯量 237

8.4　三重积分的概念和计算 239

8.4.1　三重积分的概念 239

8.4.2　直角坐标系中三重积分的计算 240

8.4.3　柱坐标系中三种积分的计算 242

8.4.4　球坐标系中三重积分的计算 245

8.5　小结 249

8.5.1　二重积分 249

8.5.2　三重积分 249

第九章　曲线积分与曲面积分 252

9.1　曲线弧上的积分 252

9.1.1　对弧长的曲线积分 252

9.1.2　对坐标的曲线积分 254

9.1.3　两类曲线积分间的联系 257

9.2　格林公式 258

9.2.1　格林公式 258

9.2.2　平面曲线积分与路径无关的条件 260

9.3　有界曲面上的积分 263

9.3.1　对面积的曲面积分 263

9.3.2　对坐标的曲面积分 265

9.3.3　奥高公式 268

9.4　小结 271

9.4.1 曲线积分 271

9.4.2　曲面积分 271

第十章　微分方程 273

10.1　微分方程的基本概念 273

10.2　一阶微分方程 275

10.2.1　变量可分离的微分方程 275

10.2.2　齐次型微分方程 276

10.2.3　一阶线性微分方程 277

10.2.4　伯努利方程 280

10.3　可降阶的二阶微分方程 282

10.3.1　y″=f（x）型的微分方程 282

10.3.2　y″=f（x,y′）型的微分方程 282

10.3.3　y″=f（y,y′）型的微分方程 283

10.4　二阶线性微分方程 286

10.4.1　线性微分方程解的结构 286

10.4.2　二阶线性常系数齐次微分方程 287

10.4.3　二阶线性常系数非齐次微分方程 290

10.5　微分方程的应用 293

10.6　小结 297

10.6.1　微分方程的基本概念 297

10.6.2　一阶微分方程 297

10.6.3　可降价的高阶微分方程 298

10.6.4　常系数二阶线性微分方程 299

第十一章　无穷级数 302

11.1　数项级数 302

11.1.1　数项级数的概念及性质 302

11.1.2　正项级数及其收敛性 306

11.1.3　任意项级数 311

11.2　幂级数 315

11.2.1 函数项级数的一般概念 315

11.2.2　幂级数的收敛半径与收敛区间 315

11.2.3　函数展开成幂级数 318

11.2.4　幂级数的性质 320