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第一篇 计算机科学中的离散结构 2

第1章 命题逻辑 2

1.1 引言 2

1.2 命题及命题逻辑联结词 2

1.2.1 命题 2

1.2.2 逻辑联结词 3

1.3 命题变元和合式的公式 7

1.4 重言式（或永真式）和永真蕴涵式 9

1.4.1 有关重言式的讨论 9

1.4.2 重言式与恒等式 9

1.4.3 永真蕴涵式的定义和常用永真蕴涵式 11

1.4.4 代入规则和替换规则 12

1.5 对偶原理 13

1.6 范式和判定问题 16

1.6.1 析取范式和合取范式 16

1.6.2 主析取范式和主合取范式 18

1.7 命题演算的推理理论 21

小结 26

第2章 谓词逻辑 27

2.1 谓词演算 27

2.1.1 谓词和量词 27

2.1.2 谓词和个体 27

2.1.3 量词 28

2.1.4 合式公式 29

2.1.5 自由变元和约束变元 30

2.1.6 谓词公式的解释 31

2.1.7 含有量词的等价式和永真蕴涵式 31

2.2 谓词逻辑中的推理理论 33

2.2.1 谓词公式的翻译 33

2.2.2 推理规则 34

2.3 谓词公式的范式 40

2.3.1 前束范式 40

2.3.2 斯柯林范式 41

小结 42

第3章 集合论 43

3.1 集合的概念及其表示 43

3.2 集合的运算 46

3.3 集合定律 53

3.4 包含排斥原理 54

3.5 多重序元与笛卡儿乘积 57

3.5.1 序偶和多重序元 57

3.5.2 笛卡儿乘积 58

小结 60

第4章 二元关系 61

4.1 关系的基本概念 61

4.2 关系的性质 62

4.3 关系的表示 63

4.4 关系的运算 66

4.4.1 关系的合成 66

4.4.2 合成关系的矩阵表达和图解 70

4.4.3 关系的求逆运算 72

4.4.4 关系的闭包运算 75

4.5 特殊关系 80

4.5.1 集合的划分和覆盖 80

4.5.2 等价关系 81

4.5.3 相容关系 86

4.5.4 次序关系 90

4.5.5 偏序集合与哈斯图 93

小结 96

第5章 函数 97

5.1 函数的基本概念和性质 97

5.2 函数的合成与合成函数的性质 100

5.3 特殊函数 103

5.4 反函数 105

5.5 特征函数 108

5.6 基数 110

5.7 二元运算 112

小结 116

第6章 代数系统 117

6.1 代数系统的一般概念 117

6.2 同态与同构 118

6.3 同余关系 121

6.4 商代数和积代数 123

6.5 典型代数系统 126

小结 130

第7章 图论 132

7.1 图的基本概念 132

7.2 子图和图的运算 136

7.3 路径、回路和连通性 139

7.4 图的矩阵表示 145

7.4.1 邻接矩阵 145

7.4.2 可达性矩阵 149

7.5 欧拉图 153

7.6 特殊图 155

7.6.1 二部图 155

7.6.2 平面图 158

7.7 树 163

7.8 网络 176

7.8.1 网络流与最大流 177

7.8.2 割集 178

7.8.3 标号法 180

7.8.4 开关网络 182

小结 190

第二篇 离散数学中的算法 192

第8章 数理逻辑中的算法 192

8.1 逻辑联结词的定义方法 192

8.2 合式公式的表示方法 194

8.3 构造任意合式公式的真值表 196

第9章 集合论中的算法 198

9.1 求并集 198

9.2 求交集 199

9.3 求差集 201

9.4 求笛卡儿乘积 202

第10章 关系中的算法 204

10.1 判断关系R是否为自反关系及对称关系 204

10.2 判断关系R是否为可传递关系 205

10.3 判断关系R是否为等价关系 207

10.4 求等价类 210

10.5 求极大相容类 211

10.6 关系的合成运算 212

10.7 关系的闭包运算（1） 214

10.8 关系的闭包运算（2） 216

10.9 m个字符串按字典顺序分类算法 217

第11章 函数中的算法 219

第12章 代数系统中的算法 221

12.1 判断是否为代数系统的算法 221

12.2 判断是否为同余关系 223

12.3 判断是否为群的算法 224

第13章 图论中的算法 227

13.1 道路矩阵的Warshall算法 227

13.2 二叉树的遍历 228

13.3 构造最优二叉树算法 235

13.4 最小生成树的Kruskal算法 237

13.5 求最短距离的Dijkstra算法 240

13.6 判别连通性的算法 244

附录 考研例题解析 249

参考文献 259