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第1章 函数、极限与连续 1

1.1预备知识 1

1.1.1集合 1

1.1.2区间和邻域 2

1.1.3几个常用的不等式 3

1.2函数及其特性 3

1.2.1函数的概念 3

1.2.2函数的图形 5

1.2.3函数的几种特性 8

习题1.2 11

1.3初等函数 13

1.3.1基本初等函数 13

1.3.2反函数和复合函数 14

1.3.3初等函数 15

习题1.3 16

1.4数列的极限 17

1.4.1数列的概念 17

1.4.2数列的极限 18

1.4.3收敛数列的性质 21

1.4.4数列极限的运算法则 21

习题1.4 22

1.5函数的极限 22

1.5.1自变量趋于无穷大时函数的极限 23

1.5.2自变量趋于有限值时函数的极限 24

1.5.3单侧极限 25

1.5.4函数极限的性质 26

1.5.5函数极限的四则运算法则 27

习题1.5 28

1.6极限存在准则及两个重要极限 30

1.6.1夹逼准则 30

1.6.2重要极限lim x→0 sin x/x=1 32

1.6.3单调有界数列极限的存在性 33

1.6.4重要极限lim x→∞(1+1/x)x=e 33

习题1.6 35

1.7无穷小及其比较 36

1.7.1无穷小 37

1.7.2无穷小的性质 37

1.7.3 无穷大 37

1.7.4无穷小的比较 38

习题1.7 40

1.8函数的连续性与间断点 41

1.8.1函数的连续性 41

1.8.2初等函数的连续性 44

1.8.3函数的间断点 44

习题1.8 46

1.9计算极限方法举例 47

习题1.9 51

1.10闭区间上连续函数的性质 52

1.10.1最大值最小值定理 52

1.10.2有界性定理 52

1.10.3零点定理 53

1.10.4介值定理 53

习题1.10 54

本章小结 54

总习题一 57

第2章 导数 59

2.1导数的概念 59

2.1.1引例：变速直线运动的瞬时速度 59

2.1.2导数的定义 60

2.1.3求导数举例 61

2.1.4导数的几何意义 63

2.1.5函数可导性与连续性的关系 65

2.1.6单侧导数 65

习题2.1 66

2.2函数的求导法则 68

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 68

2.2.2反函数的求导法则 69

2.2.3基本初等函数的求导公式 71

习题2.2 73

2.3复合函数求导法则与高阶导数 74

2.3.1复合函数的求导法则 74

2.3.2高阶导数 76

习题2.3 78

2.4隐函数及参数方程求导 79

2.4.1隐函数的导数 79

2.4.2参数方程求导 82

2.4.3相关变化率 83

习题2.4 84

2.5函数的微分 85

2.5.1微分的定义 85

2.5.2可微与可导的关系 86

2.5.3微分的几何意义 87

2.5.4微分的运算 88

2.5.5微分在近似计算中的应用 90

习题2.5 91

本章小结 92

总习题二 93

第3章 中值定理和导数的应用 96

3.1微分中值定理 96

3.1.1费马定理 96

3.1.2罗尔中值定理 97

3.1.3拉格朗日中值定理 100

3.1.4柯西中值定理 102

习题3.1 104

3.2洛必达法则 105

3.2.1洛必达法则 105

3.2.2几种其他类型不定式极限的求法 108

习题3.2 109

3.3泰勒公式 110

3.3.1麦克劳林公式 111

3.3.2泰勒公式 112

3.3.3几个常用函数的麦克劳林公式 114

习题3.3 115

3.4函数的单调性、极值与最大值最小值问题 116

3.4.1函数的单调性 116

3.4.2函数的极值 118

3.4.3最大值最小值问题 120

习题3.4 123

3.5曲线的凹凸性、拐点与图形的描绘 124

3.5.1曲线凹凸性的概念 125

3.5.2曲线凹凸性的判定 125

3.5.3函数图形的描绘 127

习题3.5 129

本章小结 130

总习题三 134

第4章 不定积分 136

4.1不定积分的概念与性质 136

4.1.1原函数与不定积分 136

4.1.2基本积分表 139

4.1.3不定积分的性质 140

习题4.1 142

4.2换元积分法 144

4.2.1第一类换元法 144

4.2.2第二类换元法 147

习题4.2 149

4.3分部积分法 151

4.3.1被积函数是多项式与指数函数的乘积 151

4.3.2被积函数是多项式与三角函数的乘积 152

4.3.3被积函数是多项式与对数函数的乘积 152

4.3.4被积函数是多项式与反三角函数的乘积 153

习题4.3 155

4.4有理函数的积分 156

4.4.1有理真分式的积分 157

4.4.2有理假分式的积分 159

习题4.4 160

本章小结 160

总习题四 162

第5章 定积分及其应用 164

5.1定积分的概念和性质 164

5.1.1引例 164

5.1.2定积分的概念 167

5.1.3可积条件 168

5.1.4定积分的几何意义 169

5.1.5定积分的性质 171

习题5.1 173

5.2微积分基本公式 173

5.2.1积分上限函数 174

5.2.2牛顿-莱布尼兹公式 176

习题5.2 178

5.3定积分的基本积分法 180

5.3.1换元积分法 180

5.3.2分部积分法 182

习题5.3 183

5.4定积分的应用 184

5.4.1微元法思想初步 184

5.4.2利用微元法解决应用问题 185

5.4.3定积分在几何上的应用 186

5.4.4定积分在物理上的应用 192

习题5.4 195

5.5广义积分 196

5.5.1无限区间上的广义积分 196

5.5.2无界函数的广义积分 197

习题5.5 199

本章小结 200

总习题五 202

第6章 空间解析几何与向量代数 206

6.1空间直角坐标系 206

6.1.1空间直角坐标系的建立 206

6.1.2空间点的坐标 207

6.1.3特殊点的坐标 207

6.1.4空间两点间距离公式 208

6.1.5空间点的轨迹及曲面方程 208

习题6.1 209

6.2常见空间曲面及其方程 210

6.2.1旋转曲面 210

6.2.2常见的二次曲面 212

习题6.2 216

6.3空间曲线及其方程 217

6.3.1空间曲线的一般方程 217

6.3.2空间曲线的参数方程 218

6.3.3空间曲线在坐标面上的投影 218

习题6.3 220

6.4向量及其线性运算 221

6.4.1向量的概念 221

6.4.2向量之间的关系 221

6.4.3向量的线性运算 222

6.4.4向量线性运算的坐标表示 224

习题6.4 229

6.5向量的数量积与向量积 229

6.5.1向量的数量积 229

6.5.2向量的向量积 231

习题6.5 232

6.6平面及其方程 233

6.6.1平面的点法式方程 233

6.6.2平面的一般式方程 234

6.6.3两平面的夹角 235

6.6.4点到平面的距离 236

习题6.6 236

6.7空间直线 237

6.7.1直线的对称式方程 237

6.7.2直线的一般式方程 238

6.7.3两直线的夹角 239

6.7.4直线与平面的夹角 240

习题6.7 241

本章小结 242

总习题六 245

附录 248

A1基本初等函数 248

A1.1幂函数 248

A1.2指数函数 249

A1.3对数函数 250

A1.4三角函数 251

A1.5反三角函数 257

A2应用Mathematica软件解决高等数学中的问题 258

A2.1函数与极限问题 258

A2.1.1基础性介绍 258

A2.1.2二维作图 261

A2.1.3函数计算与求近似值 269

A2.1.4极限问题 270

习题A2.1 271

A2.2微分与导数问题 271

A2.2.1（显）函数的求导问题 272

A2.2.2隐函数及参数方程的求导问题 272

A2.2.3微分与微分的近似应用 274

习题A2.2 275

A2.3导数与微分的应用问题 276

A2.3.1求函数的泰勒展开式问题 276

A2.3.2判断函数的单调性与曲线的凹凸性 277

A2.3.3函数的最大值与最小值问题 279

习题A2.3 280

A2.4积分运算问题 280

A2.4.1求不定积分的运算 281

A2.4.2定积分的运算 282

A2.4.3积分上限函数的求导与求极限问题 283

A2.4.4定积分的数值解 284

A2.4.5定积分的应用 285

习题A2.4 286

A2.5空间解析几何与向量代数 287

A2.5.1向量运算及其应用 287

A2.5.2三维作图问题 289

A2.5.3平面与空间直线问题 295

习题A2.5 297

总习题 297

A3简单数学建模练习题 302

习题答案与提示 303