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第1章　函数、极限、连续 1

1.1　函数的概念及其性质 1

1.1.1 函数概念 1

1.1.2　函数特性 4

1.1.3　反函数 5

1.1.4　基本初等函数 5

1.1.5　复合函数与初等函数 7

1.1.6　双曲函数和反双曲函数 8

习题1.1 9

1.2　极限的概念 10

1.2.1　引例 10

1.2.2　数列的极限 10

1.2.3 函数的极限 11

1.2.4　无穷小量和无穷大量 12

1.2.5　无穷小量的性质 13

习题1.2 13

1.3　极限的性质与计算 14

1.3.1　极限的性质 14

1.3.2　极限的四则运算法则 14

1.3.3　两个重要极限 15

习题1.3 18

1.4　无穷小量阶的比较 18

习题1.4 20

1.5　函数的连续性 20

1.5.1　连续性概念 20

1.5.2　初等函数的连续性 21

1.5.3 函数的间断点 22

1.5.4　闭区间上连续函数的性质 23

1.5.5　函数一致连续性的涵义 24

习题1.5 25

第2章　导数与微分 26

2.1　导数的概念 26

2.1.1　变化率问题举例 26

2.1.2　导数的定义 27

2.1.3　求导举例 28

2.1.4　导数的几何意义 29

2.1.5　可导与连续的关系 29

习题2.1 30

2.2　函数的求导方法和基本公式 30

2.2.1　导数的四则运算法则 30

2.2.2　反函数的求导法则 31

2.2.3　复合函数的导数 32

2.2.4　隐函数的导数 34

2.2.5　对数求导法 35

2.2.6 由参数方程所确定的函数的导数 36

2.2.7　导数基本公式 37

习题2.2 38

2.3　高阶导数 39

习题2.3 40

2.4　函数的微分及其应用 40

2.4.1　微分的概念 40

2.4.2　微分的计算 42

2.4.3　微分形式的不变性 43

2.4.4　微分的应用 43

习题2.4 46

第3章　导数的应用 47

3.1　微分中值定理 47

3.1.1　罗尔定理 47

3.1.2　拉格朗日中值定理 48

3.1.3　柯西中值定理 50

习题3.1 52

3.2　洛必达（L'Hospital）法则 52

习题3.2 54

3.3　函数的单调性 55

习题3.3 57

3.4　函数的极值和最值 58

3.4.1　函数的极值及其求法 58

3.4.2　函数的最值及其求法 61

习题3.4 65

3.5　对函数性态分析及作图 65

3.5.1 函数的凹凸性与拐点 65

3.5.2　曲线的渐近线 67

3.5.3　函数作图 68

习题3.5 69

3.6　曲率 70

3.6.1　弧微分 70

3.6.2　曲率及其计算公式 70

3.6.3　曲率圆与曲率半径 72

习题3.6 74

第4章　不定积分 75

4.1　不定积分的概念及其性质 75

4.1.1　原函数与不定积分 75

4.1.2　不定积分的几何意义 76

4.1.3　不定积分的性质 77

4.1.4　基本积分表 77

习题4.1 79

4.2　换元积分法 80

4.2.1　第一类换元法（凑微分法） 80

4.2.2　第二类换元法 83

习题4.2 86

4.3　分部积分法 87

习题4.3 89

4.4　特殊类型函数的积分 89

4.4.1　有理函数的积分 89

4.4.2　三角函数有理式的积分 91

4.4.3　简单无理函数的积分 92

习题4.4 93

4.5　积分表的使用方法 93

4.5.1　含有ax+b的积分 93

4.5.2　含有？的积分 94

4.5.3　含x2±a2的积分 94

4.5.4　含有ax2+b（a＞0）的积分 94

4.5.5　含有？（a＞0）的积分 95

4.5.6 含有？（a＞0）的积分 95

4.5.7　含有？（a＞0）的积分 96

4.5.8　含有三角函数的积分 96

习题4.5 99

第5章　定积分 100

5.1　定积分的概念与性质 100

5.1.1 引例 100

5.1.2　定积分的概念 101

5.1.3　定积分的几何意义 102

5.1.4　定积分的性质 103

习题5.1 104

5.2　微积分的基本定理——牛-莱公式 104

5.2.1　变上限定积分 104

5.2.2　微积分基本定理 106

习题5.2 107

5.3　定积分的计算 107

5.3.1　定积分的换元积分法 107

5.3.2　定积分的分部积分法 109

习题5.3 110

5.4　广义积分 111

5.4.1　无限区间上的广义积分 111

5.4.2　无界函数的广义积分 112

5.4.3　广义积分的计算 113

习题5.4 114

5.5　定积分的应用 115

5.5.1　平面图形的面积 115

5.5.2　体积 117

5.5.3　平面曲线的弧长 119

习题5.5 120

第6章　常微分方程及其应用 122

6.1　微分方程的一般概念 122

6.1.1　引例 122

6.1.2　微分方程的基本概念 123

习题6.1 125

6.2　一阶微分方程的解法 125

6.2.1　可分离变量的一阶微分方程 125

6.2.2　一阶线性微分方程 126

习题6.2 128

6.3　特殊二阶微分方程的解法 129

习题6.3 134

6.4　微分方程的简单应用 134

6.4.1　几何上的应用 135

6.4.2　物理上的应用 135

6.4.3　经济上的应用 136

6.4.4　数学建模中的应用 136

习题6.4 141

第7章　多元函数微分学 142

7.1　空间直角坐标系简介 142

7.1.1　空间直角坐标系 142

7.1.2　曲面及其方程 143

习题7.1 145

7.2　二元函数的概念、极限与连续 146

7.2.1　二元函数的概念 146

7.2.2　二元函数的极限与连续 147

习题7.2 148

7.3　偏导数与全微分 149

7.3.1　偏导数 149

7.3.2　全微分 152

习题7.3 154

7.4　复合函数与隐函数的微分法 154

7.4.1　复合函数的微分法 154

7.4.2　隐函数的微分法 156

习题7.4 157

7.5　二元函数的极值和应用 158

7.5.1　二元函数的极值 158

7.5.2　二元函数微分学的几何应用 161

习题7.5 163

第8章　多元函数积分学 165

8.1　二重积分的概念与性质 165

8.1.1　二重积分的概念 165

8.1.2　二重积分的性质 167

习题8.1 167

8.2　二重积分的计算 168

8.2.1　利用直角坐标计算二重积分 168

8.2.2　利用极坐标计算二重积分 171

习题8.2 173

8.3　二重积分的应用 174

8.3.1　求柱体的体积 174

8.3.2　求曲面的面积 175

8.3.3　经济应用 176

习题8.3 177

8.4　三重积分简介 177

8.4.1　三重积分的概念 177

8.4.2　三重积分的计算与应用 178

习题8.4 181

8.5　曲线积分与曲面积分 181

8.5.1　第一类曲线积分（对弧线） 181

8.5.2　第二类曲线积分（对坐标） 183

8.5.3　两类曲线积分之间的联系 185

8.5.4　第一类曲面积分（对面积） 187

8.5.5　第二类曲面积分（对坐标） 189

8.5.6　两类曲面积分之间的联系 193

8.5.7　散度与旋度 196

习题8.5 198

第9章　无穷级数 200

9.1　常数项级数的概念和性质 200

9.1.1　无穷级数的概念 200

9.1.2　无穷级数的性质 202

习题9.1 203

9.2　无穷级数审敛法 204

9.2.1 比较法 204

9.2.2　比值法 206

9.2.3　根值法 206

9.2.4　交错级数及其审敛法 207

9.2.5　绝对收敛与条件收敛 208

习题9.2 209

9.3　幂级数及其展开形式 209

9.3.1　幂级数的基本原理 209

9.3.2　函数展开成幂级数的方法 213

习题9.3 215

9.4　傅里叶级数简介 216

9.4.1　三角级数的有关概念 216

9.4.2　傅里叶级数及其展开式 217

9.4.3　奇函数、偶函数的傅里叶级数 220

9.4.4　周期为2l的周期函数的傅里叶级数 221

习题9.4 222

第10章　高等数学在经济中的应用 223

10.1　常用经济函数 223

10.1.1　需求函数和供给函数 223

10.1.2　总成本函数、收入函数和利润函数 224

10.1.3　经济函数的应用 225

习题10.1 226

10.2　边际分析和弹性分析 227

10.2.1　边际分析 227

10.2.2　弹性分析 227

10.2.3　导数在边际分析和弹性分析中的应用 228

10.2.4　盈亏平衡分析 230

习题10.2 232

10.3　微积分学的经济应用举例 232

10.3.1　极限的应用举例 232

10.3.2　最值的应用举例 233

10.3.3　积分的应用举例 234

10.3.4　微分方程的应用举例 235

10.3.5　经济模型的应用举例 237

习题10.3 241

附录A　常用数学公式 243

附录B　积分表 246

习题参考答案 256

参考文献 267